31 方阵问题 教师版含答案.docx
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31方阵问题教师版含答案
方阵问题
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学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：
一、实心方阵
1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）=每边数×每边数
2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1
3．方阵外一层每边人数比内一层每边人数多2
4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1
5、每层数=（每边数-1）×4
二、空心方阵
1、外边人数=总人数÷4÷层数+层数
2、总数=最外层人数2-最内层人数2
=（最外层每边数-层数）×层数×4
=（最外层数+最内层数）×层数÷2
3、内层数=外层数-8
4、每层数=（每边数-1）×4
5、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。
例1:
学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?
解析：
方阵问题的核心是求最外层每边人数。
根据四周人数和每边人数的关系可以知：
每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数：
60÷4+1=16（人）
整个方阵共有学生人数：
16×16=256（人）。
【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？
这个方阵共有五年级学生多少人？
解析：
根据四周人数和每边人数的关系可以知：
每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
解：
方阵最外层每边人数：
60÷4＋1=16（人）
整个方阵共有学生人数：
16×16=256（人）
答：
方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。
【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？
解析：
方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。
解法1：
最外边一层棋子个数：
（14-1）×4=52（个）
第二层棋子个数：
（14-2-1）×4=44（个）
第三层棋子个数：
（14-2×2-1）×4=36（个）.
摆这个方阵共用棋子：
52+44＋36＝132（个）
解法2：
还可以这样想：
中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4进行计算。
（14-3）×3×4=132（个）
答：
摆这个方阵共需132个围棋子。
【巩固3】一个正方形的队列横竖各减少一排共27人，求这个正方形队列原来有多少人？
解析：
依据：
去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1可知每边的人数是：
（人）
原人数是：
（人）
【巩固4】小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？
解析：
这要用到方阵的公式逆运算，100必然是一个数的平方数
因为
（人），并且是实心的方阵，所以最外层有10人。
例2：
参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。
问参加团体操表演的运动员有多少人？
解析：
如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。
从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：
·····
·····
·····
·····
·····
去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1
解：
方阵问题的核心是求最外层每边人数。
原题中去掉一行、一列的人数是33，
则去掉的一行（或一列）人数＝
人
方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为
（人）
【巩固】参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，如果去掉一行一列，请问：
要去掉多少名学生？
还剩下多少名学生？
解析：
如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列，从图中可以看出正方形队列的特点：
（1）正方形队列每行、每列的人数相等，因此总人数＝每行人数×每列人数。
（2）去掉横竖各一排时，有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的，如图中点A所示。
因此去掉的总人数＝原每行人数×2－1，或去掉的总人数＝减少后每行人数×2＋1。
本题中所求，即去掉的人数＝7×2－1＝13（人）
或去掉的人数＝（7－1）×2＋1＝13（人）
还剩的人数＝（7－1）×（7－1）＝36（人）
或还剩的人数＝7×7－13＝49－13＝36（人）
答：
如果去掉一行一列，要去掉13名学生，还剩下36名学生。
例3：
解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数？
解法1：
这样想：
把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。
（1）中实方阵总人数：
12×12=144（人）
（2）第四层每边人数：
12-2×（4-1）=6（人）
（3）空心方阵人数：
（6-2）×（6-2）=16（人）
（4）中空方阵人数：
144-16=128（人）
答：
总人数是128人。
小结：
中空方阵总人数=外边人数×外边人数-（内边人数-2）×（内边人数-2）
解法2：
这样想：
把中空方阵分成四个相等的长方形。
（1）每个长方形的长=外边人数-层数12-4=8（人）
（2）每个长方形的宽是层数：
4人
（3）总人数：
8×4×4=128（人）
答：
总人数是128人。
小结：
中空方阵总人数=（每边人数-层数）×层数×4
【巩固】学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。
四个角上都插一面，每边插7面。
一共要准备多少面旗子？
解析：
依据求外层个数的公式：
（边数-1）×4
（面）
例4：
一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？
整个花园中共栽多少棵花？
解析：
①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株，则大三角形边上栽的棵数为：
（棵）。
②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花：
（棵）。
③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上
栽花棵数为：
（棵）
解：
大三角形三条边上共栽花：
（棵）
中间画斜线小三角形三条边上栽花：
（棵）
整个花坛共栽花：
（棵）
答：
大三角形边上共栽花48棵，整个花坛共栽花69棵。
【巩固】同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，小明都是第5个，这个方阵共有多少人？
解析：
如图，实心圆表示小明的位置，可以知道，
这个队列每行都是9人。
解：
每行每列数：
（人）
共有：
（人）
例5：
小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200枚棋子，请问：
最外边一层每边有多少枚棋子？
解析1：
利用“相邻两层之间，每层的总数相差8”的特点，可知最外层共有棋子数：
（200+8+8×2+8×3+8×4）÷5＝56（个）
最外层每边的棋子数：
56÷4+1＝15（个）
解析2：
如练习中的图，把棋子分成相等的四部分。
每一部分的棋子数：
200÷4＝50（个）
每一部分每排的棋子数：
50÷5＝10（个）
最外层每边的棋子数：
10＋5＝15（个）
综合列式为：
200÷4÷5＋5＝15（个）
答：
最外边一层每边有15枚棋子。
【巩固】游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵，最外边一层每边12人，请问：
彩车周围的少先队员共有多少人？
解析1：
请同学们自己画一个图，下图是一个三层中空方阵的示意图，不难发现，有如下特点：
（1）外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多2；
（2）每相邻两层之间，点的总数相差8个。
最外层队员的总数：
（人）
三层共有队员的总数：
=
=
（人）
解析2：
如下图可分成相等的四部分，每一部分的人数：
（12－3）×3＝9×3＝27（人）
三层共有队员数：
27×4＝108（人）
答：
彩车周围的少先队员共有108人。
这个问题还有别的解法，请同学们自己试着做一下。
例6.军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？
还剩下多少人？
分析与解：
如下图：
方法一：
去掉的一行一列的人数为：
（人）
剩下的人数为：
（人）
方法二：
去掉后剩下的是6行6列的正方形队列，即
（人）
去掉的人数为：
（人）
例7.光明小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉27人，问四年级原来准备多少人参加表演？
分析与解：
此题刚好是例1的逆向题，根据正方形队列的特点可知：
原每行人数=（去掉一行一列的人数+1）÷2
即：
原来每行人数是
（人）
原来准备参加表演的人数：
（人）
答：
四年级原准备196人参加表演。
例8.正方形舞厅四周均匀地装彩灯，如果四个角都装一盏，且每边12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？
分析与解：
如下图：
方法一：
从图
（1）可以看出，角上的四盏灯各属于两行，所以彩灯总数应为：
（盏）
方法二：
按图
（2）把彩灯分成相等的四部分，因此彩灯总数为：
（盏）
答：
这个舞厅四周共装彩灯44盏。
例9.游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵。
最外层每边12人，问彩车周围的少先队员共有多少人？
分析与解：
方法一：
这是一个只有3层的中空方阵，最外层每边有12人，最外层一共有
（人），第二层每边少2人，即第二层每边10人，第二层共有
（人），比第一层总数少8人，同理，第三层总数是
（人）
三层共有队员的总数：
（人）
方法二：
如下图，可把队员分成人数相等的四部分，每一部分的人数：
（人）
三层共有队员数：
（人）
方法三：
从12行12列的中实方阵中减去中间的空心方阵，就是队员人数：
（人）
例10.小明用围棋子摆了一个五层的空心方阵，共用了200个棋子，问最外边一层每边有多少个棋子？
分析与解：
方法一：
利用相邻两层之间，每层的总数相差8的特点。
可知最外层共有棋子数：
（个）
最外层每边的棋子数：
（个）
方法二：
如下图，把棋子分成相等的四部分，每一部分的棋子数为：
（个），每一部分每排的棋子数为：
（个）
最外层每边的棋子数为：
（个）
列综合算式：
（个）
答：
最外层每边有棋子15个。
课后作业
1、若干名同学排成中实方阵则多12人，若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵则还差9人排满，请问：
原有学生多少人？
解析：
由于纵横两个方向各增加1人，因此不但将剩余12人摆上，而且还差9人，说明一横行与一竖行的人数总和是12＋9＝21人。
又由于纵横两个方向各增加1人，因此只有1人同属于横行与纵行，在数每边上的人数时，总被多数一次，因此可以用21人先加上被重复数过的1人，再除以2，也就得到每边人数。
列式为（21＋1）÷2＝11人。
求出每边人数，就可求出假设排满后的人数，列式为11×11＝121人，用121人减去差的9人就是原来人数，列式为121－9＝112人。
也可以根据原来的方阵再加上12，请你试一试。
答：
原有学生112人。
2、有一队士兵排成一个中实方阵，最外一层有100人，请问：
方阵中一共有士兵多少人？
解析：
要想求出方阵中一共有多少士兵，就应先求出方阵的最外层每边有多少人。
已知方阵最外一层有100人，用100÷4＝25人，每边是不是25人呢？
不是的，因为平均分成4份后，还需要再加上1，才正好是每边上的人数，列式应该为100÷4＋1＝26人。
因此方阵中一共有26×26＝676人。
答：
一共有676人。
3、小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵，最外层每边摆6枚，请问：
要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子？
最外一层的棋子总数是多少？
解析：
如图，最外一层每边摆6枚，根据方阵每行每列个数相等特点，因此一共有6×6＝36枚棋子。
最外一层每边有6枚，如果用6×4＝24枚，就认为是最外一层棋子数的答案的话，那就错了。
因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列，这样棋子在计算总数时就被多数了一次，这样的顶点一共有4个，需要把多数的减去，才能得到正确的结果。
列式是6×4－4＝20枚。
说明：
这道题还可以这样想：
数每边棋子时，可以按上图先划分成4个相等的块，这样每边就有5枚了，因此用5×4＝20枚，也可以得到正确答案。
按照划分块的方法不同，至少还有两种方法，请同学们试一试。
4、一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？
解析1：
把去掉4行4列转化为一行一列的去掉，就可用例6的结论：
去掉一行一列的总人数＝原每行人数×2－1
反复利用4次这个公式，只要注意“原每行人数”的变化，即可列式为：
去掉4行4列的总人数
＝20×2－1+（20－1）×2－1＋（20－2）×2－1+（20－3）×2－1
＝40－1=38－1+36－1+34－1
＝144（人）
解析2：
我们还可以这样想：
原来是一个7行7列的方阵，若去掉4行4列后，仍剩下一个小正方形方阵，因此去掉4行4列的总人数＝原正方形方阵每边人数－4，即去掉的总人数
＝20×20－（20－4）×（20－4）
＝400－256
＝144（人）
答：
去掉4行4列，要减少144人。
5、正方形舞厅四周均匀的装彩灯，如果四个角都装一盏且每边装12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？
解析
（1）：
自己画图可以看出，角上的四盏灯各属于两行，所以彩灯总数应为：
12×4－4＝44
（2）：
还可以把彩灯分成相等的四部分，因此彩灯总数为：
（12－1）×4＝44（盏）
答：
这个舞厅四周共装彩灯44盏。
6、“六一”儿童节前夕，在校园雕塑的周围，用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵，请你求出最外面一层每边有鲜花多少盆?
解析：
分析思路参见例6，最外层每边人数=总数÷4÷层数+层数
204÷4÷3+3=20（盆）
答：
最外面一层每边有鲜花20盆
7、四年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，请问：
方阵最外层每边的人数是多少?
这个方阵共有多少人?
解析：
根据四周人数与每边人数的关系可知：
每边人数=四周人数÷4+1，可以求出这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了。
解：
（1）方阵最外层每边的人数：
20÷4+1=5+1=6（人）
（2）整个方阵共有学生人数：
6×6=36（人）
答：
方阵最外层每边的人数是6人，这个方阵共有36人。
8、明明用围棋子摆成一个三层中空方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子?
摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子？
解析：
（1）方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，知道最外面一层，每边放15个，可以求出最里层每边的个数，就可以求出最里层一周放棋子的总数。
（2）根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数，再乘以层数，再乘以4，计算出这个中空方阵共用棋子多少个。
解：
（1）最里层一周棋子的个数是：
（15-2-2-1）×4=40（个）
（2）这个空心方阵共用的棋子数是：
（15-3）×3×4=144（个）
答：
这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个中空方阵共用144个棋子。
9、若干战士排成一个四层中空方阵，只知道最外一层每边有12人，请你求出总人数。
解析：
我们可以采用先求出每层人数再求总人数的方法进行。
解：
由于最外层每边有12人，因此最外层一共有（12－1）×4＝44人，又根据方阵相邻两层，外层比内层人数多8的特点，因此第二层有44－8＝36人，第三层有36－8＝28人，第四层有28－8＝20人。
因此一共有44+36+28+20＝128人。
还可以这样想，把四层中空方阵划分如例5的形状，我们发现每个长方形可以看成四排战士，每排有8人组成。
因此一个长方形有8×4＝32人，一共有4个长方形，32×4＝128人。
当然还可以先把中空方阵看成中实方阵，然后再减去补上的小中实方阵人数，也可以求出一共有多少人，看成中实方阵后，最外一层每边12人，因此一共有12×12＝144人。
又因为在方阵中相邻两个正方形每边人数相差2，因此第二层每边有12－2＝10人，第三层每边有10－2＝8人，第四层每边有8－2＝6人，第五层每边有6－2＝4人。
因此小的中实方阵有4×4＝16人。
144－16＝128人就表示一共有战士的人数。
答：
一共有128人。
10、有若干盆鲜花摆成一个中空方阵，最外层共摆48盆，最内层共摆24盆，请问：
共摆了多少盆鲜花？
解析：
由于方阵中相邻两个正方形每边相差8，因此第二层应摆鲜花48－8＝40盆，第三层有花40－8＝32盆，第四层有花32－8＝24盆。
这样通过枚举方法求出一共有四层花，及中间两层花的总数。
因此一共摆了48＋40＋32＋24＝144盆。
答：
一共摆了144盆。
11、有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?
方阵中共有杨树，柳树各多少棵?
解析：
根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种，假设黑点表示杨树，白点表示柳树观察图
（1）
（2）不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上，方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。
因而杨树和柳树的棵数相等。
即最外层杨，柳树分别为（7-1）×4÷2=12（棵）。
当柳树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是杨树，即在方阵中，杨树和柳树总数相差1棵。
解：
（1）最外层杨柳树的棵数分别为：
（7-1）×4÷2=12（棵）
（2）当杨树种在最外层角上时，杨树比柳树多1棵：
杨树：
（7×7+1）÷2=25（棵）
柳树：
7×7-25=24（棵）
（3）当柳树种在最外层角上时，柳树比杨树多1树
柳树（7×7+1）÷2=25（棵）
杨树7×7-25=24（棵）
答：
在两种方法中，方阵最外层都有杨树12棵，柳树12棵，方阵中总共有杨树25棵，柳树24棵，或者有杨树24棵，柳树25棵。
二.模拟试题：
1.运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少多少运动员？
（人）
（人）
（人）
答：
要减少32名运动员。
2.学校为庆祝“十一”，用盆花摆了一个中实方阵，最外一层有36盆花。
求这个方阵共有花多少盆？
（盆）
（盆）
答：
这个方阵共有花100盆。
3.一个由圆片摆成的中实方阵，最外一层有12个圆片，把4个这样的中实方阵拼成一个大的中实方阵，那么最外层应该有多少个圆片？
（个）答：
最外层应该有28个圆片。
4.有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？
（个）
（个）
（个）
答：
应再增加16个圆片。
5.解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？
一共 有多少人？
（层）
（人）
答：
这个方阵有5层，一共有160人。
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