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实验4

4.1实验目的与要求

学会建立整数规划模型、对策论模型,学会用LINGO软件求解。

4.2基本实验

1.遗嘱问题

一个行为古怪的阿拉伯酋长留下一份遗嘱,遗嘱中将他的骆驼群分给他的三个儿子:

长子至少得到驼群的1/2,次子至少得到驼群的1/3,三子至少得到驼群的1/9,剩余的捐献给慈善机构。

遗嘱中并没有指出到底驼群的数目是多少,只是告诉了这个驼群的数目是个奇数,并且这个指定的慈善机构刚好得到一匹骆驼。

利用整数线性规划模型确定这个酋长到底留下了多少匹骆驼,并且指出每个儿子各得到多少匹。

解:

目标函数:

maxy=3x1+2x2+5x3

约束条件:

x1+x2+x3+1=y

x1≥y/2

x2≥y/3

x3≥y/9

y为奇数

LINGO程序:

min=y;

x1+x2+x3+1=y;

x1>=y/2;

x2>=y/3;

x3>=y/9;

z=y/2+0.5;

@gin(z);@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);

运行结果:

结果分析:

酋长留下了27匹骆驼,长子分得14匹,次子分得9匹,三子分得3匹。

2.固定费用问题

由于工作需要,张先生打算办理长途电话业务。

现有A、B和C三家电话公司,其中A公司每月固定话费16元,通话费0.25元/min;B公司每月固定话费25元,通话费0.21元/min;C公司每月固定话费18元,通话费0.22元/min。

在一般情况下,张先生每月使用的长途电话时间是200min。

请问张先生如何选择这三家公司,使得每月的电话费最少?

解:

目标函数:

minz=16y1+0.25x1+25y2+0.21x2+18y3+0.22x3

约束条件:

x1+x2+x3=200,y1、y2、y3=0或1,y1+y2+y3≥1

LINGO程序:

min=16*y1+0.25*x1+25*y2+0.21*x2+18*y3+0.22*x3;  

x1+x2+x3=200;

y1+y2+y3>=1;

x1<=200*y1;

x2<=200*y2;

x3<=200*y3;

@bin(y1);

@bin(y2);

@bin(y3);

运行结果:

结果分析:

选择第三家电话公司即可,话费最低为62元。

3.串并联系统可靠性问题

有一台电器由三个部件组成,这三个部件串联,假如有一个部件发生故障,电器就不能工作。

可以通过在每个部件里安装1到2个备份元件来提高该电器的可靠性(不发生故障的概率)。

表4.1列出了可靠性和成本费用。

假如制造该电器的已有资金共10万元,那么怎样来构造这件电器呢?

表4.1每种元件的可靠性及成本费用(单位:

万元)

并联元

件数

部件1

部件2

部件3

可靠性

费用

可靠性

费用

可靠性

费用

1

0.6

1

0.7

3

0.5

2

2

0.8

2

0.8

5

0.7

4

3

0.9

3

0.9

6

0.9

5

解:

LINGO程序:

sets:

part/A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3/:

c,p,x,d,e,f;

endsets

data:

c=123356245;

d=111000000;

e=000111000;

f=000000111;

b=10;

g=1;

p=0.60.80.90.70.80.90.50.70.9;

enddata

max=@prod(part:

p^x);

@sum(part:

c*x)<=b;

@sum(part:

d*x)=g;

@sum(part:

e*x)=g;

@sum(part:

f*x)=g;

@for(part:

@Bin(x));

运行结果:

结果分析:

部件1并联2个元件,部件2并联1个元件,部件3并联3个元件,可靠性最大值为0.504。

4.选课策略

某学校规定,运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过2门数学课程、3门运筹学课程和2门计算机课程.这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课程要求如表4.2所示.那么,毕业时学生最少可以学习这些课程中的哪些课程?

表4.2课程选择

编号

课程名称

所属类别

先修课程

1

数学分析

数学

2

线性代数

数学

3

最优化方法

数学、运筹学

数学分析、线性代数

4

数据结构

数学、计算机

计算机编程

5

应用统计

数学、运筹学

数学分析、线性代数

6

计算机模拟

计算机、运筹学

计算机编程

7

计算机编程

计算机

8

预测理论

运筹学

应用统计

9

数学试验

运筹学、计算机

数学分析、线性代数

 

解:

第xi表示选课表中第i门课程的选择,(i=1,2…..9)

xi=1表示选修题目表中编号顺序的9门课程的第i门

目标函数:

minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9

约束条件:

x1+x2+x3+x4+x5≥2

x3+x5+x6+x8+x9≥3

x4+x6+x7+x9≥2

x1+x2-2x3≥0

x1+x2-2x5≥0

x7–x4≥0

x7–x6≥0

x5–x8≥0

x1+x2–2x9≥0

xi=0or1(i=1,2…..9)

将其转化为matlab标准型为:

MATLAB程序及结果:

>>z=[5,4,4,3,4,3,2,2,3];f=[1,1,1,1,1,1,1,1]

a=[1,1,1,1,1,0,0,0,0;0,0,1,0,1,1,0,1,0;0,0,0,1,0,1,1,0,1;-2,0,0,0,0,0,0;1,1,0,0,-2,0,0,0,0;0,0,0,-1,0,0,1,0,0;0,0,0,0,0,-1,1,0,0;0,0,0,0,1,0,0;1,1,0,0,0,0,0,0,-2];

b=[2;3;2;0;0;0;0;0;0]

[x,y]=bintprog(f,-a,-b,[],[]);x,y,c=z*x

Optimizationtweminzted

结果分析至少学习6门课程,课程编号分别是1,2,5,6,7,8

5.最小覆盖问题

某公司拿出15百万美元,最多建造7个发射台来覆盖15个相邻社区中尽可能多的人口。

表4.3给出了每个发射台可以覆盖的社区以及建造这个发射台的费用,表4.4给出了各个社区的人口数目,确定出哪几个发射台需要建造?

表4.3发射台可以覆盖的社区以及建造发射台的费用

发射台

所覆盖社区

建造费用(百万美元)

1

1,2

3.60

2

2,3,5

2.30

3

1,7,9,10

4.10

4

4,6,8,9

3.15

5

6,7,9,11

2.80

6

5,7,10,12,14

2.65

7

12,13,14,15

3.10

表4.4各个社区的人口数目(单位:

千人)

社区

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

人口

4

3

10

14

6

7

9

10

13

11

6

12

7

5

16

解:

目标函数为:

maxz=7x1+19x2+37x3+44x4+35x5+43x6+40x7-3x1x2-4x1x3-6x2x6-13x3x4-13x3x5-11x3x6-20x4x5-9x5x6-17x6x7+9x3x5x6+13x3x4x5

约束条件为:

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7≤7

3.60x1+2.30x2+4.10x3+3.15x4+2.80x5+2.65x6+3.10x7≤15

x1、x1、x3、x4、x5、x6、x7=0或1

LINGO程序:

max=7*x1+19*x2+37*x3+44*x4+35*x5+43*x6+40*x7-3*x1*x2-4*x1*x3-6*x2*x6-13*x3*x4-13*x3*x5-11*x3*x6-20*x4*x5-9*x5*x6-17*x6*x7+9*x3*x5*x6+13*x3*x4*x5;

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7<=7;

3.60*x1+2.30*x2+4.10*x3+3.15*x4+2.80*x5+2.65*x6+3.10*x7<=15;

@bin(x1);@bin(x2);@bin(x3);@bin(x4);@bin(x5);@bin(x6);@bin(x7);

运行结果:

结果分析:

建2、4、5、6、7号发射台,最多覆盖129千人。

6.对策问题1

重新考虑“石头-剪子-布”的游戏,假定:

石头胜剪子得3分,反之输3分;剪子胜布得2分,反之输2分;布胜石头得1分,反之输1分;平局双方不得分.在这种情况下,双方如何选择策略?

解:

石头

剪子

石头

(0,0)

(3,-3)

(-1,1)

剪子

(-3,3)

(0,0)

(2,-2)

(1,-1)

(-2,2)

(0,0)

7.对策问题2

甲掷一枚硬币,可能出现正面或反面,但甲自己知道而乙不知道.因此,无论硬币出现哪一面,甲可以任意宣称硬币出现正面或反面,并让乙猜是同意还是不同意.当甲的宣称与所掷硬币面相同时,若乙猜同意,乙得5元,甲得2元,若乙猜不同意,则甲得5元,乙得2元;当甲的宣称与硬币出现的面不符时,乙猜同意,则乙得3元,甲得8元,反之,乙得8元,甲得3元.求甲乙二人各自的最优策略和各自的羸得值.

解:

 

4.3加分实验(乒乓球团体赛上场队员排序)

乒兵球团体赛的比赛规则如下:

从一个队中挑选出的三名比赛队员和一个队长(可由参赛队员兼任,亦可由其他人员专任)组成.比赛之前,双方队长应抽签决定A、B、C和X、Y、Z的选择,并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单.现行的比赛顺序:

第一场A-X,第二场B-Y,第三场C-Z,第四场A-Y,第五场B-X.每场比赛为三局两胜制.当一个队已经赢得三场个人比赛时,该次比赛应结束.

现有甲队挑选出的三名比赛队员分别是:

A1,A2,A3,乙队挑选出的三名比

赛队员分别是:

B1,B2,B3根据以往的历史资料,甲队与乙队比赛,甲队运动员在每一局中获胜的概率如表4.5所示.

表4.5两队比赛,甲队运动员在每一局中获胜的概率

队员

B1

B2

B3

A1

0.50

0.55

0.60

A2

0.45

0.50

0.55

A3

0.40

0.45

0.50

你所要完成的问题如下:

(1)甲队教练将如何安排上场运动员的次序,使得本队获胜的概率最大.

(2)如果每一局比赛,Ai胜B3的概率改为0.45,A3胜Bi的概率改为0.55.在这种情况下,甲队教练将如何调整甲队队员的上场次序?

 

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