数学分析教学大纲.docx
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数学分析教学大纲
数学分析课程教学大纲
一、课程说明
1、课程性质
本课程是数学与应用数学专业的专业基础核心课程，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁，是学生学习数学与应用数学专业其它后继课程的重要基础。
掌握这门课程的基本理论和基本方法，对于学习本专业基础课和专业课以及进一步学习、研究和应用都是至关重要。
数学分析以极限为基本思想和基本运算研究实变实值函数。
主要研究微分和积分两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数,并依据这些运算引进并研究一些非初等函数。
数学分析基本上是连续函数的微积分理论。
2、教学目的与要求和要求
数学分析是数学与应用数学专业的一门主干基础课和必修课，本课程的目的是为后继课程提供必要的知识，同时通过本课程的教学，锻炼和提高学生的思维能力，培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法。
本课程不仅对许多后继课程的学习有直接影响，而且对学生基本功的训练与良好素质的培养起着十分重要的作用。
本课程学习经典数学分析的基本知识，包括极限论、一元微积分学、级数论和多元微积分等基本内容，并用"连续量的演算体系及其数学理论"的观点统率整个体系。
在教学上要求学生能掌握四个基本方面，即基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧。
在教学基本要求上分为三个档次，即牢固掌握、一般掌握和一般了解。
牢固掌握：
基本概念明确，能联系几何与物理的直观背景，并能从正反两方面进行理解（极限论、一元微积分学和级数论的概念按此要求）；基本理论较扎实，具有较好的推理论证和分析问题的能力（极限论、一元微积分学和级数论的理论一般按此要求，但实数理论和定积分可积性理论除外）；基本方法较熟练，具备较好的运算和解决应用问题的能力，并能较灵活地运用基本技巧（本课程的一般方法和技巧按此要求，但含参变量积分的方法和技巧除外）。
一般掌握：
对基本概念一般只要求能从正面理解（广义积分和多元微积分学的概念按此要求）；对基本理论一般要求能应用和了解如何证明（实数理论、定积分可积性理论和多元微积分学的理论按此要求）；对基本方法一般要求能掌握运用，但不要求很熟练和技巧性（含参变量积分的方法按此要求）。
一般了解：
对基本理论只要求能应用，不要求掌握证明方法（隐函数存在定理、重积分一般变量替换公式和富里埃级数收敛性理论按此要求）；对基本方法一般要求会做，不要求灵活技巧（如果讲授本大纲中的选讲内容，则按此要求）。
3、先修课程和后继课程
先修课程：
初等数学，包括：
代数，三角，立体几何，平面解析几何。
后继课程：
常微分方程，复变函数，实变函数，泛函分析。
4、教课时数分配
5、使用教材
《数学分析》第四版上、下册，华东师范大学数学系主编，高等教育出版社，2001年6月。
6、教学方法与手段
本课程以黑板讲授、学生自学、精讲精练相结合的教学方法为主，个别章节辅之以多媒体教学手段或数学实验手段。
在教学过程中，应当积极开展对教学要点与知识点与课程体系、教学方法与教学手段的改革，认真总结经验，并将教学改革的成果逐步吸收到教学中来，不断提高教学质量。
要不断更新教学要点与知识点，逐步实现教学要点与知识点的现代化；要加强不同数学分支间的相互结合和相互渗透，进行课程和内容的重组；要突出数学思想方法的教学，加强数学应用能力的培养，注重运算技巧的训练；要尊重个性，发挥特长，探索现阶段因材施教的新方法、新模式；要不断探索以学生为主体有利于调动学生自主学习积极性的启发式、讨论式、研究式的教学方法；要积极采用现代教育技术手段，使传统的教学手段与现代教学手段相互结合，取长补短。
7、考核方式
本课程采用闭卷考试形式。
8、主要参考书目
《数学分析讲义》（第四版），刘玉琏主编，高等教育出版社，2003年。
二、课程内容
第一章实数集与函数（14课时）
第一节实数（2课时）
1、教学目的与要求：
掌握实数的基本概念和最常见的不等式，以备以后各章应用．
2、教学要点与知识点：
实数的基本性质和绝对值的不等式,实数的有序性，稠密性，阿基米德性．实数的四则运算．
3、教学重点与难点：
用无限小数统一表示实数的意义及引入不足近似值与过剩近似值的作用．
第二节数集.确界原理（2课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；能用一种方式，证明集合
的上确界为
．即：
且
；
或
且
．
（2）较高要求：
掌握确界原理的证明，并用确界原理认识实数的完备性．掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念．
2、教学要点与知识点：
实数的区间与邻域；集合的上下界，上确界和下确界；确界原理．
3、教学重点与难点：
（1）此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明具体集合的确界的习题．
（2）此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题．
第三节函数概念（2课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
掌握函数的定义与表示法；理解复合函数与反函数；懂得初等函数的定义，认识狄利克莱函数和黎曼函数．
（2）较高要求：
函数是一种关系或映射的进一步的认识．掌握函数概念和不同的表示方法．
2、学要点与知识点：
函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数．
3、教学重点与难点：
通过狄利克莱函数和黎曼函数，使学生对函数的认识从具体上升到抽象．
第四节具有某些特性的函数（4课时）
1、教学目的与要求：
掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性．
2、教学要点与知识点：
有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数．
3、教学重点与难点：
（1）本节的重点是通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象函数性质的方法．
（2）本节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性．对较好学生可初步教会他们用分析语言表述否命题的方法．
第二章数列极限（12课时）
第一节数列极限概念（4课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
理解数列极限的分析定义，学会证明数列极限的基本方法，懂得数列极限的分析定义中
与
的关系．
（2）较高要求：
学会若干种用数列极限的分析定义证明极限的特殊技巧．掌握数列极限概念。
2、学要点与知识点：
数列极限．
3、教学重点与难点：
（1）本节的重点是数列极限的分析定义，要强调这一定义在分析中的重要性．具体教学中先教会他们证明
；
；（
，然后教会他们用这些无穷小量来控制有关的变量（适当放大但仍小于这些无穷小量）．
（2）本节的难点仍是数列极限的分析定义．对较好学生可要求他们用数列极限的分析定义证明较复杂的数列极限，还可要求他们深入理解数列极限的分析定义．
第二节数列极限的性质（2课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
理解数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，并会用其中某些性质计算具体的数列的极限．
（2）较高要求：
掌握这些性质的较难的证明方法，以及证明抽象形式的数列极限的方法．掌握数列极限的主要性质，学会利用数列极限的性质求数列的极限．
2、学要点与知识点：
数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则和数列的子列及有关子列的定理．
3、教学重点与难点：
（1）本节的重点是数列极限的性质的证明与运用．可对多数学生重点讲解其中几个性质的证明，多布置利用这些性质求具体数列极限的习题．
（2）本节的难点是数列极限性质的分析证明．对较好的学生，要求能够掌握这些性质的证明方法，并且会用这些性质计算较复杂的数列极限，例如：
．
第三节数列极限存在的条件（4课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
掌握单调有界定理的证明，会用单调有界定理证明数列极限的存在性，其中包括
存在的证明．理解柯西收敛准则的直观意义．
（2）较高要求：
会用单调有界定理证明数列极限的存在性，会用柯西收敛准则判别抽象数列（极限）的敛散性．
2、教学要点与知识点：
单调有界定理，柯西收敛准则．
3、教学重点与难点：
（1）本节的重点是数列单调有界定理．对多数学生要求会用单调有界定理证明数列极限的存在性．
（2）本节的难点是柯西收敛准则．要求较好学生能够用柯西收敛准则判别数列的敛散性．
第三章 函数极限（16课时）
第一节函数极限概念（2课时）
1、教学目的与要求：
掌握当
；
；
；
；
；
时函数极限的分析定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限．掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限．
2、学要点与知识点：
各种函数极限的分析定义．
3、教学重点与难点：
本节的重点是各种函数极限的分析定义．对多数学生要求主要掌握当
时函数极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函数的极限．
第二节函数极限的性质（2课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
掌握函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，并会用这些性质计算函数的极限．
（2）较高要求：
理解函数极限的局部性质，并对这些局部性质作进一步的理论性的认识．掌握函数极限的性质．
2、教学要点与知识点：
函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则．
3、教学重点与难点：
（1）本节的重点是函数极限的各种性质．由于这些性质类似于数列极限中相应的性质，可着重强调其中某些性质与数列极限的相应性质的区别和联系．
（2）本节的难点是函数极限的局部性质．对较好学生，要求懂得这些局部的
（的大小）不仅与
有关，而且与点
有关，为以后讲解函数的一致连续性作准备．
第三节函数极限存在的条件（2课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
掌握函数极限的归结，理解函数极限的柯西准则．
（2）较高要求：
能够写出各种函数极限的归结原理和柯西准则．
（3）函数极限的归结原理和函数极限的单调有界定理，理解函数极限的柯西准则
1、教学要点与知识点：
函数极限的归结；函数极限的单调有界定理；函数极限的柯西准则．
2、教学重点与难点：
（1）本节的重点是函数极限的归结原理．要着重强调归结原理中数列的任意性．
（2）本节的难点是函数极限的柯西准则．要求较好学生能够熟练地写出和运用各种函数极限的归结原理和柯西准则．
第四节两个重要的极限（3课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
掌握
的证明方法，利用两个重要极限计算函数极限与数列极限．
（2）较高要求：
掌握
证明方法．掌握两个重要极限：
；
．
2、学要点与知识点：
两个重要极限：
；
．
3、教学重点与难点：
（1）本节的重点是与两个重要的函数极限有关的计算与证明．可用方法：
；
，其中
、
分别为任一趋于0或趋于∞的函数．
（2）本节的难点是利用迫敛性证明
．
第五节无穷小量与无穷大量（3课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．
（2）较高要求：
能够写出无穷小量与无穷大量的分析定义，并用分析定义证明无穷小量与无穷大量．在计算及证明中，熟练使用“
”与“
”掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．
2、学要点与知识点：
无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷大．
3、教学重点与难点：
（1）本节的重点是无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．
（2）本节的难点是熟练使用“
”与“
”进行运算．
第四章函数的连续性（10课时）
第一节连续性概念（3课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
掌握函数连续性概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点，区间上的连续函数的定义．
（2）较高要求：
讨论黎曼函数的连续性．掌握函数连续性概念．
2、学要点与知识点：
函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类．
3、教学重点与难点：
（1）函数连续性概念是本节的重点．对学生要求懂得函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类．
（2）本节的难点是用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性，可在此节中对较好学生布置有关习题．
第二节连续函数的性质（4课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
掌握函数局部性质概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点；了解闭区间上连续函数的性质．
（2）较高要求：
对一致连续性的深入理解．掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质．
2、学要点与知识点：
连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性．
3、教学重点与难点：
（1）函数连续性概念是本节的重点．要求学生掌握函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类，了解连续函数的整体性质．对一致连续性作出几何上的解释．
（2）本节的难点是连续函数的整体性质，尤其是一致连续性和非一致连续性的特征．可在此节中对较好学生布置判别函数一致连续性的习题．
第三节初等函数的连续性（1课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
掌握初等函数的连续性．
（2）较高要求：
掌握指数函数的严格定义．了解指数函数的定义.
2、教学要点与知识点：
指数函数的定义；初等函数的连续性．
3、教学重点与难点：
（1）本节的重点是初等函数的连续性．要求学生会用初等函数的连续性计算极限．
（2）本节的难点是理解和掌握指数函数的性质．
第五章导数和微分（20课时）
第一节导数的概念（4课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
掌握函数在一点处的导数是差商的极限．了解导数的几何意义，理解费马定理．
（2）较高要求：
理解达布定理．掌握导数的概念，了解费马定理、达布定理．
2、学要点与知识点：
函数的导数，函数的左导数，右导数，有限增量公式，导函数．
3、教学重点与难点：
（1）本节的重点是导数的定义和导数的几何意义．会用定义计算函数在一点处的导数．
（2）本节的难点是达布定理．对较好学生可布置运用达布定理的习题．
第二节求导法则（4课时）
1、教学目的与要求：
熟练掌握求导法则和熟记基本初等函数的求导公式．
2、学要点与知识点：
导数的四则运算，反函数求导，复合函数的求导，基本初等函数的求导公式．
3、教学重点与难点：
求导法则
第三节参变量函数的导数（2课时）
1.教学目的与要求：
熟练掌握参变量函数的导数的求导法则．
2.教学要点与知识点：
参变量函数的导数的求导法则．
3、教学重点与难点：
参变量函数的求导法则．
第四节高阶导数（2课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
掌握高阶导数的定义，能够计算给定函数的高阶导数．
（2）较高要求：
掌握并理解参变量函数的二阶导数的求导公式掌握高阶导数的概念，了解求高阶导数的莱布尼茨公式．
2、教学要点与知识点：
高阶导数；求高阶导数的莱布尼茨公式．
3、教学重点与难点：
（1）本节的重点是高阶导数的概念和计算．要求学生熟练掌握．
（2）本节的难点是高阶导数的莱布尼茨公式，特别是参变量函数的二阶导数．要强调对参变量求导与对自变量求导的区别．可要求较好学生掌握求参变量函数的二阶导数．
第五节微分（4课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
掌握高阶导数的定义，能够计算给定函数的高阶导数。
（2）较高要求：
掌握并理解参变量函数的二阶导数的求导公式掌握微分的概念和微分的运算方法，了解高阶微分和微分在近似计算中的应用。
2、教学要点与知识点：
微分的概念，微分的运算法则，高阶微分，微分在近似计算中的应用。
3、教学重点与难点：
（1）本节的重点是掌握微分的概念，要讲清微分是全增量的线性主部。
（2）本节的难点是高阶微分，可要求较好学生掌握这些概念。
第六章微分中值定理及其应用（22课时）
第一节拉格朗日定理和函数的单调性（3课时）
1、教学目的与要求：
掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．
2、要点与知识点：
（1）基本要求：
掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．
（2）较高要求：
掌握导数极限定理．罗尔中值定理；拉格朗日中值定理．
3、教学重点与难点：
（1）本节的重点是掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，要求牢记定理的条件与结论，知道证明的方法．
（2）本节的难点是用拉格朗日中值定理证明有关定理与解答有关习题．可要求较好学生掌握通过设辅助函数来运用微分中值定理．
第二节柯西中值定理和不定式极限（4课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求各种不定式极限．
（2）较高要求：
掌握洛必达法则
型定理的证明．了解柯西中值定理。
2、教学要点与知识点：
柯西中值定理；洛必达法则的使用．
3、教学重点与难点：
（1）本节的重点是掌握用洛必达法则求各种不定式极限．可强调洛必达法则的重要性，并总结求各种不定式极限的方法．
（2）本节的难点是掌握洛必达法则定理的证明，特别是
型的证明．
第三节泰勒公式（4课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求各种不定式极限．
（2）较高要求：
掌握洛必达法则
型定理的证明．理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式．
2、教学要点与知识点：
带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式及其在近似计算中的应用．
3、教学重点与难点：
（1）本节的重点是理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式．
（2）本节的难点是掌握带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式的证明．对较好学生可要求掌握证明的方法．
第四节函数的极值与最大（小）值（2课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
掌握函数的极值的第一、二充分条件；学会求闭区间上连续函数的最值及其应用．
（2）较高要求：
掌握函数的极值的第三充分条件．掌握函数的极值与最大（小）值的概念．
2、教学要点与知识点：
函数的极值与最值．
3、教学重点与难点：
函数的不可导点和导函数（以及二阶导数）的零点（稳定点）凸区间，函数极值．
第五节函数的凸性与拐点（2课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
掌握函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式．
（2）较高要求：
运用詹森不等式证明或构造不等式，左、右导数的存在与连续的关系．
2、学要点与知识点：
函数的凸性与拐点．
3、教学重点与难点：
（1）判断凸性的充分条件．
（2）本节的难点是运用詹森不等式证明不等式．
第六节函数图象的讨论（4课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
掌握直角坐标系下显式函数图象的大致描绘．
（2）较高要求：
能描绘参数形式的函数图象．掌握函数图象的大致描绘．
2、教学要点与知识点：
作函数图象．
3、教学重点与难点：
根据函数的性态表，以及函数的单调区间，凸区间，大致描绘函数图象．
第七章 实数的完备性（8课时）
第一节关于实数集完备性的基本定理（3课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
掌握和运用区间套定理、致密性定理．
（2）较高要求：
掌握聚点定理和有限覆盖定理的证明与运用．掌握区间套定理和柯西判别准则的证明，了解有限覆盖定理和聚点定理（较熟练运用致密性定理）．
2、教学要点与知识点：
区间套定理、柯西判别准则的证明；聚点定理；有限覆盖定理．
3、教学重点与难点：
本节的重点是区间套定理和致密性定理．教会学生在什么样情况下应用区间套定理和致密性定理以及如何应用区间套定理和致密性定理．
本节的难点是掌握聚点定理和有限覆盖定理．教会较好学生如何应用聚点定理和有限覆盖定理．
第二节闭区间上的连续函数性质的证明（4课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
掌握用有限覆盖定理或用致密性定理证明闭区间上连续函数的有界性；用确界原理证明闭区间上的连续函数的最大（小）值定理；用区间套定理证明闭区间上的连续函数介值定理．
（2）较高要求：
掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的有界性和一致连续性．证明闭区间上的连续函数性质．
2、教学要点与知识点：
闭区间上的连续函数有界性的证明；闭区间上的连续函数的最大（小）值定理的证明；闭区间上的连续函数介值定理的证明；闭区间上的连续函数一致连续性的证明．
3、教学重点与难点：
（1）本节的重点是证明闭区间上的连续函数的性质．
（2）本节的难点是掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性以及实数完备性的六大定理的等价性证明，对较好学生可布置这方面的习题．
第八章不定积分（14课时）
第一节不定积分的概念与基本积分公式（4课时）
1、教学目的与要求：
熟练掌握原函数的概念和基本积分公式．掌握原函数的概念和基本积分公式
2、教学要点与知识点：
原函数的概念；基本积分公式；不定积分的几何意义．
3、教学点与难点：
原函数的概念，基本积分公式
第二节换元积分法与分部积分法（4课时）
1、教学目的与要求：
熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法．
2、教学要点与知识点：
第一、二换元积分法；分部积分法．
3、教学重点与难点：
换元积分法与分部积分法.
第三节有理函数和可化为有理函数的不定积分（4课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．
（2）较高要求：
利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分会计算有理函数和可化为有理函数的不定积分．
2、教学要点与知识点：
有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．
3、教学重点与难点：
（1）三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的不定积分
（2）本节的难点是利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分，可要求较好学生
掌握.
第九章 定积分（20课时）
第一节定积分的概念（3课时）
1、教学目的与要求：
掌握定积分的定义，了解定积分的几何意义和物理意义．引进定积分的概念．
2、教学要点与知识点：
定积分的定义．
3、教学重点与难点：
定积分的定义及定积分的几何意义．
第二节牛顿-莱布尼茨公式（2课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式．
（2）较高要求：
利用定积分的定义来处理一些特殊的极限．
2、学要点与知识点：
牛顿-莱布尼茨公式．
3、教学重点与难点：
应用牛顿-莱布尼茨公式．
第三节可积条件（3课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
掌握定积分的第一、二充要条件．
（2）较高要求：
掌握定积分的第三充要条件．理解定积分的充分条件，必要条件和充要条件．
2、教学要点与知识点：
定积分的充分条件和必要条件；可积函数类
3、教学重点与难点：
（1）理解定积分的第一、二充要条件是本节的重点，要求学生必须掌握．
（2）证明定积分的第一、二、三充要条件是本节的难点．对较好学生可要求掌
握这些定理的证明以及证明某些函数的不可积性．
第四节定积分的性质（3课时）
1、教学目的与要求：
（1）基本要求：
掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理．
（2）较高要求：
较难的积分不等式的证明．
2、教学
升级会员 