《数学分析》课程教学大纲文档格式.doc

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数学分析课程的得失，将直接关系到其它相关数学课程如常微分方程、概率论与数理统计、复变函数与积分变换等教育的成败，关系到学生后继专业课程的学习，对学生基本功的训练与良好素质的培养起着十分重要的作用，甚至可能会影响他们一生的思维方式。

因此，积极开发教学资源，根据学生的具体实际情况，按照课程标准的要求实施教学，对于提高计算科学系学生的综合素质有着深远的影响。

本课程以课堂讲授为主，辅以多媒体教学、习题课，精讲多练注重理论联系实际。

基本内容由教师讲授，通过习题课对所学内容进行巩固和提高。

各章中平行的内容可安排学生自学，以提高学生独立思考、分析问题和解决问题的能力。

由于本课程具有很强的几何背景，因此教学中要注意与几何直观相结合，注重理论联系实际，逐步推广使用多媒体教学手段。

通过本课程的学习，使学生正确理解和掌握数学分析中的基本概念和基本理论，基本掌握数学分析中的论证方法和常用的分析技巧，较熟练地获得本课程所要求的求导、微分、积分等基本运算能力，为进一步学习其它专业课程打下必要的基础。

由于本课程与应用数学关系密切，在条件允许的情况下可适当配置数学实验课以提高学生学习数学的兴趣和利用数学知识解决实际问题的应用能力。

三、课程性质与教学目的

《数学分析》是信息与计算科学专业的一门最重要的基础课，也是全系唯一的一门连续开设三个学期，学分和学时数也最多的基础课。

本课程的教学目的是使学生：

1、正确理解实数理论、极限理论、一元函数微积分、无穷级数和多元微积分等方面的系统知识和基本原理以及它们之间的内在联系。

2、熟练掌握微积分学的基本运算方法和运算技巧，掌握数学分析的思想方法，获得本课程所要求的分析、论证、计算等方面的能力

3、能够运用本课程提供的数学方法解决一些简单的实际应用问题。

四、教学内容及要求

第一章实数集与函数

（一）目的与要求

1．掌握实数的性质、绝对值的性质；

2．理解确界的概念，掌握确界原理；

3．掌握函数概念及其某些特殊性质，熟记几个特殊的函数：

符号函数、狄利克雷函数、黎曼函数。

（二）教学内容

第一节实数

1．主要内容

实数及其性质，绝对值与不等式。

2.基本概念和知识点

有理数、无理数、实数、不足近似、过剩近似、数轴、绝对值、绝对值的性质、三角形不等式。

3.问题与应用

掌握实数的性质，绝对值的性质。

第二节数集·

确界原理

区间与邻域、有界集、确界原理。

2.基本概念和知识点

开区间、闭区间、半开半闭区间、有限区间、无限区间、区间、邻域、右邻域、左邻域、上界、下界、有界集、无界集、上确界、下确界、确界、确界原理、推广的确界原理。

3.问题与应用（能力要求）

掌握上、下确界概念和确界原理。

第三节函数概念

1.主要内容

函数的定义和表示法、函数的四则运算、复合函数、反函数、初等函数。

函数概念、函数的几种表示法（解析法、列表法和图像法，其中包括分段函数、符号函数、狄利克雷函数、黎曼函数等）、函数的四则运算、复合函数、反函数、基本初等函数、初等函数、非初等函数。

掌握函数概念，并能熟练地运用分段函数、将一个复合函数分解成几个基本初等函数，熟记几个特殊的函数：

第四节具有某些特性的函数

有界函数、单调函数、奇函数和偶函数、周期函数。

有上（下）界函数、有界函数、增（减）函数、严格增（减）函数、单调函数、严格单调函数、奇函数、偶函数、周期、基本周期、周期函数、反函数存在定理。

掌握有界函数、单调函数、严格单调函数、奇函数、偶函数、周期函数等基本概念，并能熟练地进行相关计算，掌握反函数存在定理。

（三）课后练习

P4.习题2，3，5，6，7，8；

P9.习题2，4，5，6，7；

P15习题5，6，7，8，11，12；

P20习题1，2，3，6，8，10；

总练习题1，3，8，10，11，12。

（四）教学方法与手段

本课程教学以讲授为主，辅以多媒体教学、习题课和学生自学。

基本内容由教师讲授，通过习题课对所学内容进行巩固和提高，其余部分〔主要是*号部分〕引导学生自学完成。

初学高等数学的学生会有很多的不适应，教师教学中要注意加强对学生学习方法的指导和课外辅导。

由于本课程与应用数学关系密切，可适当配置数学实验课以提高学生学习数学的兴趣和利用数学知识解决实际问题的应用能力。

第二章数列极限

（一）目的与要求

1．理解并熟练掌握数列极限的概念、性质，收敛数列与无穷小数列之间的关系，掌握数列极限存在的条件；

2．掌握求极限的基本方法，会用定义证明数列极限；

3．会用Cauchy准则证明相关问题。

（二）教学内容

第一节数列极限的概念

1．主要内容

数列极限的定义与几何意义、收敛数列与无穷小数列之间的关系。

2．基本概念和知识点

数列极限的定义与几何意义。

收敛、发散数列与无穷小数列，收敛数列与无穷小数列之间的关系。

3．问题与应用（能力要求）

掌握极限的定义，能用定义证明一些数列的极限。

掌握收敛数列与无穷小数列之间的关系。

第二节收敛数列的性质

收敛数列的性质、四则运算法则、收敛数列与非平凡子列的关系。

收敛数列的性质：

唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性。

收敛数列的四则运算法则、数列的子列、收敛数列与非平凡子列的关系。

掌握收敛数列的性质、四则运算法则，并能熟练地运用极限运算法则进行计算。

理解数列的子列、收敛数列与非平凡子列的关系定理。

第三节数列极限存在的条件

单调数列、单调有界定理、柯西收敛准则。

递增（递减）数列、单调数列、单调有界定理、重要极限、柯西条件、柯西收敛准则。

掌握单调数列、单调有界定理、柯西条件、柯西收敛准则、重要极限，并能进行相关的计算。

（三）课后练习

P27习题1，2，4，6，7，8；

P33习题1，2，3，4，9，10；

P38习题1，3，5，11，12；

总练习题3，4，5，6，7，8。

（四）教学方法与手段

以课堂讲授为主，学生课外自学为辅。

让学生上网看校园网上的高等数学精品课程，了解极限的几何意义，通过几何直观来帮助理解极限的严格定义。

数列极限理论是数学分析中最重要的理论基础，一定要让学生多做练习多看课外辅导书为将来的进一步学习打下扎实的理论基础。

第三章函数极限

1．理解并熟练掌握函数极限的定义与性质；

2．掌握两个重要极限，并能运用它们进行相关的计算，掌握无穷小量与无穷大量概念及它们之间的关系，掌握无穷小量阶的比较并能熟记一些等价无穷小，会求曲线的渐近线；

3．理解并运用归结原则、柯西准则判定某些函数极限的存在性。

第一节函数极限概念

函数极限的定义、单侧极限、函数极限与左（右）极限的关系。

函数极限的定义、左（右）极限、单侧极限、函数极限与左（右）极限的关系。

掌握函数极限的定义，能熟练地计算单侧极限和函数极限，掌握函数极限与左（右）极限的关系。

第二节函数极限的性质

函数极限的性质。

函数极限性质：

唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛性。

函数极限的四则运算法则。

掌握函数极限的性质和四则运算法则，并能熟练地计算函数的极限。

第三节函数极限存在的条件

归结原则、柯西准则。

理解并运用归结原则、柯西准则判定某些函数极限的存在性。

第四节两个重要的极限

重要极限：

和。

两个重要极限及其证明。

掌握两个重要极限，并能熟练地运用它们进行相关的计算。

第五节无穷小量与无穷大量

无穷小量、无穷小量阶的比较、无穷大量、曲线的渐近线。

无穷小量、有界量、高阶无穷小阶、低阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、无穷大量、无穷小量与无穷大量之间的关系、斜渐近线、垂直渐近线。

掌握无穷小量与无穷大量及它们之间的相互关系，掌握无穷小量阶的比较并能熟记一些等价无穷小，会求曲线的渐近线。

P47习题1，2，3，4，6，8；

P51习题1，2，4，5，7，8；

P55习题1，2，3，4，6；

P58习题1，2，3，4；

P66习题1，2，4，5；

总练习题1，2，9，12，13，14。

改变传统的直陈式讲授，采用分解式、前后呼应等讲授方法，指导学生对比数列极限的相关内容化解课程学习中的难点，提高教学效果。

第四章函数的连续性

1．熟练掌握函数连续、间断的概念，能对间断点进行分类；

2．掌握连续函数的局部性质、整体性质和在闭区间上的基本性质；

3．掌握初等函数的连续性质。

第一节连续性的概念

函数在一点的连续性、间断点及其分类、区间上的连续函数。

自变量（函数）增量、连续、左（右）连续、间断点、可去间断点、跳跃间断点、第一类间断点、第二类间断点、区间上的连续函数。

熟练掌握函数连续、间断的概念，能讨论函数的连续性和对间断点进行分类。

第二节连续函数的性质

连续函数的局部性质、闭区间上连续函数的基本性质、反函数的连续性、一致连续性。

连续函数的局部有界性、局部保号性、连续函数的四则运算定理、复合函数的连续性。

闭区间上连续函数的有界性定理、最大（小）值定理、介值定理、根的存在定理、反函数的连续性、一致连续性、一致连续性定理。

掌握连续函数的局部性质，可去间断点、跳跃间断点、第二类间断点；

掌握闭区间上连续函数的性质和函数的一致连续性。

第三节初等函数的连续性

指数函数的连续性、初等函数的连续性。

掌握任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数的结论，并能熟练地利用该结论计算极限。

P73习题1，2，4，5，6，8；

P80习题1，2，4，8，9，11，14，15，17，18，19；

P84习题1；

总练习题3，4，5，6，8，9，10。

利用几何直观来介绍函数的连续性和一致连续等抽象概念。

采用分解式、前后呼应等讲授方法，对比前面极限相关内容帮助理解教学难点，提高教学效果。

第五章导数和微分

1．理解并熟练掌握导数与微分的定义，明确其几何、物理背景；

搞清函数可导与可微之间的关系；

2．熟练掌握求导法则与公式，能熟练的进行初等函数的求导（微分）运算，了解费马定理、达布定理；

3．会求高阶导数和参变量函数的导数。

第一节导数的概念

导数的定义、导函数、导数的几何意义。

导数、变化率、函数的左（右）导数、单侧导数、导数的几何意义、有限增量公式、导函数、费马定理、达布定理。

掌握导数的定义及其几何、物理意义，掌握可导与连续的关系，了解费马定理、达布定理，会求平面曲线的切线方程和法线方程。

第二节求导法则

导数的四则运算、反函数的导数、复合函数的导数、基本求导法则与公式。

求导运算的四则运算法则、反函数求导公式、复合函数的求导公式、对数求导法、基本初等函数的求导公式。

熟练掌握求导运算的四则运算法则、反函数求导法则、复合函数求导法则及对数求导法，熟记基本初等函数的导数公式。

第三节参变量函数的导数

参变量函数的导数。

参变量函数、参变量函数的求导法则。

熟练掌握参变量函数的导数的求导法则。

第四节高阶导数

高阶导数、莱布尼茨公式。

二阶导数、高阶导数、求高阶导数的莱布尼茨公式。

掌握高阶导数的定义，能熟练计算给定函数的高阶导数，理解参变量函数的二阶导数的求导公式。

第五节微分

微分的概念，微分的运算法则，高阶微分，微分在近似计算中的应用。

可微、微分、微分的运算法则、一阶微分形式的不变性、高阶微分、微分在近似计算中的应用。

掌握微分的概念、运算法则、一阶微分形式的不变性，了解高阶微分，掌握微分在近似计算中的应用。

P94习题1，2，3，4，5，6，8，12,13；

P102习题1，2，3，4；

P105习题1，2，3，4；

P109习题1，3，4，5，6；

P116习题1，2，4；

总练习题1，4，7，8，9。

用极限的观点和方法统率教学内容，提高数学理论上的统一性和科学性。

导数的定义和几何意义，求导法则的掌握和运用对以后的学习至关重要，要通过足量习题使学生掌握求导法则，安排专门时间督促和检查学生学习情况。

第六章微分中值定理及其应用

1．熟练掌握罗尔定理和拉格朗日定理，理解柯西中值定理，掌握带有皮亚诺型余项和拉格朗日型余项的泰勒公式；

2．能熟练计算不定式的极限，会求函数的极值与最值；

3．会讨论函数的性态并能作图。

第一节拉格朗日定理和函数的单调性

罗尔中值定理与拉格朗日中值定理、单调函数。

罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、函数单调性判定定理。

熟练掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的条件、结论和证明方法。

会用导数判别函数的单调性，能用中值定理解决一些证明问题。

第二节柯西中值定理和不定式极限

柯西中值定理和洛必达法则。

柯西中值定理、不定式极限、洛必达法则的使用。

了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求各种不定式极限。

第三节泰勒公式

带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、在近似计算上的应用。

带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式及其在近似计算中的应用。

了解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式，熟记六个常见函数的麦克劳林公式。

第四节函数的极值与最大（小）值

极值判别、最大值与最小值。

函数极值的第一、二、三充分条件、函数的极值和最值的求法。

掌握函数极值的第一、二充分条件和极值的计算；

会求闭区间上连续函数的最值及其应用。

第五节函数的凸性与拐点

函数的凸性与拐点。

凹凸函数及判定定理、詹森不等式、拐点、拐点判定定理。

掌握函数的凸性与拐点的概念及相关判定定理，应用函数的凸性证明不等式，运用詹森不等式证明或构造不等式。

第六节函数图象的讨论

作函数图象。

确定函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点，画出函数的性态表。

教会学生根据函数的性态表，以及函数的单调区间、凹凸区间，大致描绘函数图象。

P124习题2，4，5，6，7，9，15；

P132习题1，2，3，5，7；

P141习题1，2，3，4；

P146习题1，2，4，7，13；

P153习题1，2，3，5，8；

总练习题1，3，7，12，13。

本章所讲中值定理是利用数学理论解决实际问题的桥梁。

学生普遍觉得数学分析的理论抽象，且用处不大，可通过选择与实际应用密切相关的问题，让学生自己来解决，使他们体会到数学理论在应用方面的巨大威力，增强学习的积极性和主动性。

第七章实数的完备性

1．了解区间套定理、柯西收敛准则，聚点定理和有限覆盖定理；

2．了解闭区间上连续函数性质的证明；

3．了解实数完备性基本定理的等价性、上下极限。

第一节关于连续集完备性的基本定理

区间套定理与柯西收敛准则、聚点定理与有限覆盖定理。

闭区间套、区间套、聚点、开覆盖、区间套定理、聚点定理、致密性定理、有限覆盖定理。

理解区间套定理、聚点定理、致密性定理、有限覆盖定理的条件和结论。

理解这些定理的含意及关系，了解各定理的证明思路。

这一节中定理证明多，且非常抽象，可根据学生的情况掌握讲解的程度。

*第二节闭区间上连续函数性质的证明

闭区间上连续函数性质和一致连续性定理。

有界性定理、最大最小值定理、介值性定理和一致连续性定理。

理解闭区间上连续函数性质的证明思路和证明方法，了解一致连续性定理的证明思路和证明方法。

P168习题1，2，3；

P172习题1，3，4，5；

总练习题1，2，3，4，5。

本章是第一学期内容最难的部分，理论推导复杂、繁难，对学生抽象思维能力要求很高。

因此对学习能力一般的学生只要他们了解定理证明思路即可，过高的要求只会挫伤他们的学习积极性和自尊心，对学生要多鼓励。

第八章不定积分

1．熟练掌握原函数与不定积分的定义、换元积分法、分部积分法；

2．会求有理函数的不定积分、三角有理式的不定积分和某些无理根式的不定积分。

第一节不定积分概念与基本积分公式

原函数与不定积分、基本积分表。

原函数、不定积分、不定积分的几何意义、基本积分公式表、不定积分性质。

熟练掌握原函数的概念、基本积分公式及不定积分的线性运算法则。

第二节换元积分法与分部积分法

换元积分法和分部积分法。

第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法。

熟练掌握换元积分法和分部积分法。

第三节有理函数和可化为有理函数的不定积分

有理函数的不定积分、三角函数有理式的不定积分、某些无理根式的不定积分。

真分式、假分式、万能代换。

有理函数、三角函数有理式、某些无理根式的不定积分的计算。

会计算有理函数的不定积分、三角函数有理式的不定积分、某些无理根式的不定积分。

P181习题1，2，5；

P188习题1，2，3，4，5；

P198习题1，2；

P199总练习题

（1），

（2），……，（18）。

不定积分是以后各种积分计算的基础，要求熟记基本积分公式表，布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题，量变才能达到质变。

适当布置有理函数不定积分，三角函数有理式不定积分，某些无理根式不定积分的习题。

第九章定积分

1．熟练掌握定积分的概念、性质、牛顿—莱布尼茨公式、换元积分法与分部积分法；

2．*掌握可积的必要条件、可积的充要条件、可积函数类、积分第一中值定理和微积分基本定理；

3．了解定积分的几何意义及*可积性理论。

第一节定积分概念

定积分的定义及几何意义。

曲边梯形、分割、黎曼和、可积、定积分的定义及几何意义。

掌握定积分的定义，及其几何意义，并能用定义求一些简单的定积分。

第二节牛顿—莱布尼茨公式

牛顿—莱布尼茨公式。

熟练掌握和运用牛顿—莱布尼茨公式。