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类比模型和实际系统的作用相同。

这种模型利用一组参数来表示实际系统的另一组参数。

仿真模型是用计算机对系统进行仿真时所用的模型。

形象模型是把现实的东西的尺寸进行改变（如放大或缩小）后的表示。

模型

概念

思维

描述

字句

符号

图示

数学

形象

物理

图象

类比

仿真

图4－2模型分类

四、构造模型的一般原则

1．建立方框图

建立方框图的目的是简化对系统内部相互作用的说明。

用一个方框代表一个子系统。

图4－3所示的工厂系统，就是用方框图表示的一个例子。

图中将每个车间（子系统）用一个方框来表示。

每个方框有自己的输入和输出。

图4－3清楚表明了工厂系统的各个子系统的相互关系。

生产管理部门

采购部门

制造车间

装配车间

装运部门

原料

成品

用户订货

图4－3工厂生产系统

2．考虑信息相关性

模型中只应包括系统中与研究目的有关的那些信息。

3．考虑准确性

建模时，对所收集的用以构模的信息应考虑其准确性。

4．考虑结集性

建模时需要进一步考虑的因素是把一些个别的实体组成更大实体的程度。

例如，在工厂系统中，图4－3所示的描述形式能满足厂长的工作需要。

但是，不能满足车间管理人员的需要，因为车间管理人员是把车间的每个工段作为一个单独的实体。

五、建模的基本步骤

基本步骤如下：

①明确建模的目的和要求

②对系统进行一般语言描述

③弄清系统中的主要因素（变量）及其相互关系（结构关系和函数关系）

④确定模型的结构

⑤估计模型的参数

⑥实验研究

⑦必要修改

六、模型化的基本方法

1、分析方法分析解剖问题，深入研究客体系统内部细节（如结构形式、函数关系等）。

利用逻辑演绎方法，从公理、定律导出系统模型。

2、实验方法通过对于实验结果的观察、分析，利用逻辑归纳法导出系统模型。

数理模型方法是典型代表。

实验方法基本上包括三类①模拟法②统计数据分析③试验分析。

3、综合法既重视实验数据又承认理论价值，将实验数据与理论推导统一于建模之中。

实验数据与理论不可分。

没有实验就建立不了理论。

没理论指导难以得到有用的数据。

在实际工作中本方法是最常用的方法。

4、老手法（主要有Delphi法）

对于复杂的系统，特别是有人参与的系统，要利用以上方法建模是十分困难的。

其原因就在于人们对于这样的系统认识不足，因此就必须采用Delphi等方法。

通过专家们之间启发式地讨论、逐步完善对系统地认识，构造出模型来。

这在社会系统规划、决策中是常用的方法。

这种方法的本质在于集中了专家们对于系统的认识（包括直觉、印象等不肯定因素）及经验。

通过实验修正，往往可以得到较好的效果。

5、辩证法

其基本的观点是：

系统是一个对立统一体，是由矛盾的两方面构成的。

矛盾双方相互转化与统一乃是真实情景。

同时现象不一定是本质，形式不是内容。

因此必须构成两个相反的分析模型。

相同数据可以通过两个模型来解释。

这样关于未来的描述和预测是两个对立模型解释的辩证发展的结果。

因此可以防止片面性，最终结果优于单方面的结果。

第二节系统结构模型化技术

一、系统结构模型化基础

（一）结构分析的意义

任何系统都是由两个以上有机联系、相互作用的要素所组成的，具有特定功能与结构的整体。

结构即组成系统诸要素之间相互关联的方式。

结构分析是一个实现系统结构模型化并加以解释的过程。

其具体内容包括：

对系统目的--功能的认识；

系统构成要素的选取；

对要素间的联系及其层次关系的分析；

系统整体结构的确定及其解释。

系统结构模型化是结构分析的基本内容。

结构分析是系统分析的重要内容，是系统优化分析、设计与管理的基础。

（二）系统结构的基本表达方式

1、系统结构的集合表达

设系统由n（n≥2）个要素（S1，S2，…，Sn）所组成，其集合为S，则有：

S={S1，S2，…，Sn}

系统的诸多要素有机地联系在一起，并且一般都是以两个要素之间的二元关系为基础的。

所谓二元关系是根据系统的性质和研究的目的所约定的一种需要讨论的、存在于系统中的两个要素（Si、Sj）之间的关系Rij（简记为R）。

通常有影响关系、因果关系、包含关系、隶属关系以及各种可以比较的关系（如大小、先后、轻重、优劣等）。

二元关系是结构分析中所要讨论的系统构成要素间的基本关系，一般有以下三种情形：

Si与Sj间有某种二元关系R，即SiRSj；

Si与Sj间无某种二元关系R，即Si

Sj；

Si与Sj间的某种二元关系R不明，即Si

Sj。

在通常情况下，二元关系具有传递性，即：

若SiRSj、SjRSk，则有SiRSk（Si、Sj、Sk为系统的任意构成要素）。

传递性二元关系反映两个要素的间接联系，可记作Rt（t为传递次数），如何将SiRSk记作SiR2Sk。

有时，对系统的任意构成要素Si和Sj来说，既有SiRSj，又有SjRSi，这种相互关联的二元关系叫强连接关系。

具有强连接关系的各要素之间存在替换性。

以系统要素集合S及二元关系的概念为基础，为便于表达所有要素间的关联方式，我们把系统构成要素中满足其种二元关系R的要素Si、Sj的要素对（Si，Sj）的集合，称为S上的二元关系集合，记作Rb，即有：

Rb={（Si,Sj）|Si、Sj∈S,SiRSj,i、j=1,2,…,n}

且在一般情况下，（Si,Sj）和（Sj,Si）表示不同的要素对。

这样，“要素Si和Sj之间是否具有某种二元关系R”，也就等价于“要素对（Si,Sj）是否属于S上的二元关系集合Rb”。

例4某系统由七个要素（S1、S2、…S7）组成。

经过两两判断认为：

S2影响S1、S3影响S4、S4影响S5、S7影响S2、S4和S6相互影响。

这样，该系统的基本结构可用要素集合S和二元关系集合Rb来表达，其中：

S={S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7}

Rb={（S2,S1）,（S3,S4）,（S4,S5）,（S7,S2）,（S4,S6）,（S6,S4）}

2、系统结构的有向图表达

图4例4有向图〖TS）〗

有向图（D）由节点和连接各节点的有向弧（箭线）组成，可用来表达系统的结构。

具体方法是：

用节点表示系统的各构成要素，用有向弧表示要素之间的二元关系。

从节点i（Si）到j（Sj）的最小（少）的有向弧数称为D中节点间通路长度（路长），也即要素Si与Sj间二元关系的传递次数。

在有向图中，从某节点出发，沿着有向弧通过其它某些节点各一次可回到该节点时，在D中形成回路。

呈强连接关系的要素节点间具有双向回路。

表达例4给出的系统要素及其二元关系的有向图如图4所示。

其中S3到S5、S3到S6和S7到S1的路长均为2。

另外，S4和S6间具有强连接关系，S4和S6相互到达，在其间形成双向回路。

3、系统结构的矩阵表达

（1）邻接矩阵

邻接矩阵（A）是表示系统要素间基本二元关系或直接联系情况的方阵。

若A=（aij）n×

n，

则其定义式为：

有了表达系统结构的集合（S,Rb）或有向图（D），就可很容易地将A写出，反之亦然。

与例4和图4对应的邻接矩阵如下：

S1S2S3S4S5S6S7

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

A=

很明显，A中“1”的个数与例4中Rb所包含的要素对数目和图4中有向弧的条数相等，均为6。

在邻接矩阵中，若有一列（如第j列）元素全为0，则Sj是系统的输入要素，如图4中的S3和S7；

若有一行（如第i行）元素全为0，则Si是系统的输出要素，如图4中的S1和S5。

（2）可达矩阵

若在要素Si和Sj间存在着某种传递性二元关系，或在有向图上存在着由节点i至j的有向通路时，称Si是可以到达Sj的，或者说Sj是Si可以到达的。

所谓可达矩阵（M），就是表示系统要素之间任意次传递性二元关系或有向图上两个节点之间通过任意长的路径可以到达情况的方阵。

若M=（mij）n×

n，且在无回路条件下的最大路长或传递次数为r，即有0≤t≤r，则可达矩阵的定义式为：

当t=1时，表示基本的二元关系，M即为A；

当t=0时，表示Si自身到达，或SiRSi，也称反射性二元关系；

当t≥2时，表示传递性二元关系。

矩阵A和M的元素均为“1”或“0”，是n×

n阶0—1矩阵，且符合布尔代数的运算规则，即：

0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1,0×

0=0,0×

1=0,1×

0=0,1×

1=1。

通过对邻接矩阵A的运算，可求出系统要素的可达矩阵M，其计算公式为：

M=（A+I）r（4—1）

其中I为与A同阶次的单位矩阵（即其主对角线元素全为“1”，其余元素为“0”），反映要素自身到达；

最大传递次数（路长）r根据下式确定：

（A+I）≠（A+I）2≠（A+I）3≠…≠（A+I）r-1≠（A+I）r=（A+I）r+1=…=（A+I）n（4—2）

以与例4和图4对应的邻接矩阵为例有：

S1S2S3S4S5S6S7

A+I=

其中主对角线上的“1”表示诸要素通过零步（自身）到达情况（单位矩阵I），其余“1”表示要素间通过一步（直接）到达情况（邻接矩阵A）。

（A+I）2=A2+A+I=

其中带圆圈的“1”表示要素间通过两步（间接）到达情况（矩阵A2）。

按照前述布尔代数的运算规则，在原式（A+I）2的展开中利用了A+A=A的关系。

进一步计算发现：

（A+I）3=（A+I）2

由（4—2）式即有r=2。

这样，根据（4—1）式，与例4和图4对应的可达矩阵为：

M=（A+I）2=

（3）其它矩阵

在邻接矩阵和可达矩阵的基础上，还有其它表达系统结构并有助于实现系统结构模型化的矩阵形式，如缩减矩阵、骨架矩阵等。

①缩减矩阵

根据强连接要素的可替换性，在已有的可达矩阵M中，将具有强连接关系的一组要素看作一个要素，保留其中的某个代表要素，删除掉其余要素及其在M中的行和列，即得到该可达矩阵M的缩减矩阵M′。

如原例可达矩阵的缩减矩阵为：

S1S2S3S4S5S7

M′=

②骨架矩阵

对于给定系统，A的可达矩阵M是唯一的，但实现某一可达矩阵M的邻接矩阵A可以具有多个。

我们把实现某一可达矩阵M、具有最小二元关系个数（“1”元素最少）的邻接矩阵叫M的最小实现二元关系矩阵，或称之为骨架矩阵，记作A′。

系统结构的三种基本表达方式相互对应，各有特色。

用集合来表达系统结构概念清楚，在各种表达方式中处于基础地位；

有向图形式较为直观、易于理解；

矩阵形式便于通过逻辑运算，用数学方法对系统结构进行分析处理。

以它们为基础和工具，通过采用各种技术，可实现复杂系统结构的模型化。

（三）常用系统结构模型化技术

常用的系统结构模型化技术有：

关联树法、解释结构模型化技术、系统动力学结构模型化技术等，其中解释结构模型化（ISM）技术是最基本和最具特色的系统结构模型化技术。

ISM技术是美国J·

N·

沃菲尔德教授于1973年作为分析复杂的社会经济系统结构问题的一种方法而开发的。

其基本思想是：

通过各种创造性技术，提取问题的构成要素，利用有向图、矩阵等工具和计算机技术，对要素及其相互关系等信息进行处理，最后用文字加以解释说明，明确问题的层次和整体结构，提高对问题的认识和理解程度。

通过对可达矩阵的处理，建立系统问题的递结构模型，这是ISM技术的核心内容。

根据问题规模和分析条件，可在掌握基本原理及其规范方法的基础上，采用多种手段、选择不同方法来完成此项工作。

二、建立递阶结构模型的规范方法

建立反映系统问题要素间层次关系的递阶结构模型，可在可达矩阵M的基础上进行，且一般要经过区域划分、级位划分、骨架矩阵提取和多级递阶有向图绘制等四个阶段。

这是建立递阶结构模型的基本方法。

现以例4—1所示问题为例说明。

与图4—4对应的可达矩阵（其中将Si简记为i）为：

1234567

1

2

3

4

5

6

7

M=

1、区域划分

区域划分即将系统的构成要素集合S，分割成关于给定二元关系R的相互独立的区域的过程。

为此，需要首先以可达矩阵M为基础，划分与要素Si（i=1,2,…,n）相关联的系统要素的类型，并找出在整个系统（所有要素集合S）中有明显特征的要素。

有关要素集合的定义如下：

（1）可达集R（Si）

系统要素Si的可达集是在可达矩阵或有向图中由Si可到达的诸要素所构成的集合，记为R（Si）。

其定义式为：

R（Si）={Sj|Sj∈S,mij=1,j=1,2,…,n}i=1,2,…,n

如,在给出的可达矩阵中有：

R（S1）={S1},R（S2）={S1,S2}，R（S3）={S3,S4,S5,S6},

R（S4）=R（S6）={S4,S5,S6},R（S5）={S5},R（S7）={S1,S2,S7}。

（2）先行集A（Si）

系统要素Si的先行集是在可达矩阵或有向图中可到达Si的诸系统要素所构成的集合，记为A（Si）。

A（Si）={Sj|Sj∈S,mji=1,j=1,2,…,n}i=1,2,…,n

A（S1）={S1,S2,S7},A（S2）={（S2,S7）,A（S3）}={S3},

A（S4）=A（S6）={S3,S4,S6},A（S5）={S3,S4,S5,S6},A（S7）={S7}。

（3）共同集C（Si）

系统要素Si的共同集是Si在可达集和先行集的共同部分，即交集，记为C（Si）。

C（Si）={Sj|Sj∈S,mij=1,mij=1,j=1,2,,n}i=1,2，…,n

如：

C（S1）={S1},C（S2）={S2},C（S3）={S3},C（S4）=C（S6）={S4,S6},

C（S5）={S5},C（S7）={S7}。

系统要素Si的可达集R（Si）、先行集A（Si）、共同集C（Si）之间的关系如图2—6所示。

图2—6元素Si的可达集、先行集、共同集关系示意图

（4）起始集B（S）和终止集E（S）

系统要素集合S的起始集是在S中只影响（到达）其他要素而不受其他要素影响（不被其他要素到达）的要素所构成的集合，记为B（S）。

B（S）中的要素在有向图中只有箭线流出，而无箭线流入，是系统的输入要素。

B（S）={Si|Si∈S,C（Si）=A（Si）,i=1,2,…,n}。

如,在与图4—4所对应的可达矩阵中，B（S）={S3,S7}。

当Si为S的起始集（终止集）要素时，相当于使图4—6中的阴影部分C（Si）覆盖到了整个A（Si）（R（Si））区域。

这样，要区分系统要素集合S是否可分割，只要研究系统起始集B（S）中的要素及其可达集要素（或系统终止集E（S）中的要素及其先行集要素）能否分割（是否相对独立）就行了。

利用起始集B（S）判断区域能否划分的规则如下：

在B（S）中任取两个要素bu、bv：

①如果R（bu）∩R（bv）≠Φ（Φ为空集），则bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素属同一区域。

若对所有u和v均有此结果（均不为空集），则区域不可分；

②如果R（bu）∩R（bv）=Φ，则bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素不属同一区域，系统要素集合S至少可被划分为两个相对独立的区域。

利用终止集E（S）来判断区域能否划分，只要判定“A（eu）∩A（ev）”（eu、ev为E（S）中的任两个要素）是否为空集即可。

区域划分的结果可记为：

∏（S）=P1,P2,…,Pk,…,Pm（其中Pk为第k个相对独立区域的要素集合）。

经过区域划分后的可达矩阵为块对角矩阵（记作M（P））。

为对给出的与图4所对应的可达矩阵进行区域划分，可列出任一要素Si（简记作i,i=1,2,…，7）的可达集R（Si）、先行集A（Si）和共同集C（Si），并据此写出系统要素集合的起始集B（S），如表2—1所示。

表2—1可达集、先行集、共同集和起始集例表

Si

R（Si）

A（Si）

C（Si）

B（S）

1,2,7

1,2

2,7

3,4,5,6

4,5,6

3,4,6

4,6

因B（S）={S3,S7},且有R（S3）∩R（S7）={S3,S4,S5,S6}∩{S1,S2,S7}=Φ，所以，S3及S4、S5、S6和S7及S1、S2分属两个相对独立的区域，即有：

∏（S）=P1,P2={S3,S4,S5,S6},{S1,S2,S7}。

这时的可达矩阵M变为如下的块对角矩阵：

3456127

M（P）=

2、级位划分

区域内的级位划分，即确定某区域内各要素所处层次地位的过程。

这是建立多级递阶结构模型的关键工作。

设P是由区域划分得到的某区域要素集合，若用L1、L2、…、Lk表示从高到低的各级要素集合（其中1为最大级位数），则级位划分的结果可写成：

∏（P）=L1,L2,…,Lk

某系统要素集合的最高级要素即该系统的终止集要素。

级位划分的基本作法是：

找出整个系统要素集合的最高级要素（终止集要素）后，可将它们去掉，再求剩余要素集合（形成部分图）的最高级要素，依次类推，直到确定出最低一级要素集合（即Ll）。

为此，

令L0=Φ（最高级要素集合为L1，没有零级要素），则有：

L1={Si|Si∈P-L0,C0（Si）=R0（Si）,i=1,2,…,n}

L2={Si|Si∈P-L0-L1,C1（Si）=R1（Si）,i＜n}

Lk={Si|Si∈P-L0-L1-…-Lk-1,Ck-1（Si）=Rk-1（Si）,i＜n}（2—3）

式（2—3）中的Ck-1（Si）和Rk-1（Si）是由集合P-L0-L1-…-Lk-1中的要素形成的子矩阵（部分图）求得的共同集和可达集。

经过级位划分后的可达矩阵变为区域块三角矩阵，记为M（L）。

例如，对原例中P1={S3,S4,S5,S6}进行级位划分的过程示于表2—2。

对该区域进行级位划分的结果为：

Π（P1）=L1,L2,L3={S5},{S4,S6},{S3}

同理可得，对P2={S1,S2,S7}进行级位划分的结果为：

Π（P2）=L1,L2,L3={S1},{S2},{S7}

表2—2级位划分过程例表

要素集合

R（S）

A（S）

C（S）

C（S）=R（S）

Π（P1）

P1-L0

L1={S5}

P1-L0-L1

L2={S4,S6}

P1-L0-L1-L2

L3={S3}

这时的可达矩阵为：

5463127

M（L）=

3、提取骨架矩阵

提取骨架矩阵，是通过对可达矩阵M（L）的缩约和检出，建立起M（L）的最小实现矩阵，即骨架矩阵A′。

这里的骨架矩阵，也即为M的最小实现多级递阶结构矩阵。

对经过区域和级位划分后的可达矩阵M（L）的缩检共分三步，即：

第一步：

检查各层次中的强连接要素，建立可达矩阵M（L）的缩减矩阵M′（L）。

例如，对原例M（L）中的强连接要素集合{S4，S6}作缩减处理（把S4作为代表要素，去掉S6）后的新的矩阵为：

543127

M′（L）=

第二步：

去掉M′（L）中已具有邻接二元关系的要素间的越级二元关系，得到经进一步简化后的新的矩阵M″（L）。

例如，在原例的M′（L）中，已有第二级要素（S4，S2）到第一级要素（S5，S1）和第三级要素（S3，S7）到第二级要素的邻接二元关系，即S4RS5、S2RS1和S3RS4、S7RS2，故可去掉第三级要素到第一级要素的越级二元关系“S3R2S5”和“S7R2S1”，即将M′（L）中3→5和7→1的“1”改为“0”，得：

543127

M″（L）=

第三步：

进一步去掉M″（L）中自身到达的二元关系，即减去单位矩阵，将M″（L）主对角线上的“1”全变为“0”，得到经简化后具有最少二元关系个数的骨架矩阵A′。

例如，对原例有：

543127

A′=M″（L）-I=

4、绘制多级递阶有向图D（A′）

根据骨架矩阵A′，绘制出多级递阶有向图D（A′），即建立起了系统要素的递阶结构模型。

绘图一般分为如下三步：

分区域从上到下逐级排列系统构成要素；

同级加入被删掉的与某要素（如原例中S4）有强连接关系的要素（如S6），及表征它们相互关系的有向弧；

按A′所示的邻接二元关系，用级间有向弧连接成有向图D（A′）。

据此，建立起原例的递阶结构模型，如图2—7所示。

综上所述，以可达矩阵M为基础，以矩阵变换为主线的递阶结