立体几何专题.docx

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立体几何专题

立体几何专题

小故事大道理

从前在夏威夷有一对双胞胎王子，有一天国王想为儿子娶媳妇了，便问大王子喜欢什么样的女性。

王子回答：

“我喜欢瘦的女孩子。

”而知道了这个消息的年轻女性想：

“如果顺利的话，或许能攀上枝头做凤凰。

”于是大家争先恐后地开始减肥。

不知不觉，岛上几乎没有胖的女性了。

不仅如此，因为女孩子一碰面就竞相比较谁更苗条，甚至出现了饿死的情况。

但后来事情的变化急转直下，大王子因为生病一下子就过世了，因此仓促决定由弟弟来承王位。

于是国王想为小王子娶媳妇，便问他同样的问题。

“比起这样的女孩子，我比较喜欢丰满的女性。

”小王子说。

而知道消息的岛上年轻女性，又开始大吃大喝以求增肥，不知不觉间，岛上几乎没有瘦的女性了。

岛上的食物被吃得乱七八糟，为预防饥荒而储存的粮食也几乎被吃光了。

而最后王子所选的新娘，却是一位不胖不瘦的女性。

王子的理由是：

“如果是不瘦不胖的女性，不必担心她会饿死，永远都能保持健康。

”

大道理：

你的缺陷可能是你的优势，不要一味地掩饰自己的缺陷，也不要努力使自己的缺陷去迎合世俗，那大可不必，积极面对你的缺陷，放对了地方，那缺陷也就变成了优势。

1、知识点回顾

立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线面平行的判定：

线面平行的性质：

三垂线定理（及逆定理）：

线面垂直：

面面垂直：

2、专题讲解：

1、三类角的定义及求法

三类角定义

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

（三垂线定理法：

A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。

）

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。

例题解析

（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。

（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。

①求BD1和底面ABCD所成的角；

②求异面直线BD1和AD所成的角；

③求二面角C1—BD1—B1的大小。

（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……）

2、空间距离的种类和求法

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：

三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：

正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：

（1）点C到面AB1C1的距离为___________；

（2）点B到面ACB1的距离为____________；

（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；

（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；

（5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

变式练习

1．（2010年东北四校联考）已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，

，2，则其外接球的表面积为________．

2．（2009年高考上海卷）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_________．

3．（2010年南京调研）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．

3、巩固练习：

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．

（1）求证：

CE∥平面C1E1F；

（2）求证：

平面C1E1F⊥平面CEF.

4、拓展训练：

（2010年江苏淮安模拟）如图，已知空间四边形ABCD中，BC＝AC，AD＝BD，E是AB

的中点．

求证：

（1）AB⊥平面CDE；

（2）平面CDE⊥平面ABC；

（3）若G为△ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF∥平面CDE.

5、反思总结

本章内容为立体几何初步，学习后应注意以下问题：

（1）空间几何体

①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.

③会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.

④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.

⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.

（2）点、直线、平面之间的位置关系

①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.

◆公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.

◆公理2：

过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

◆公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

◆公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行.

◆定理：

空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.

②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.

理解以下判定定理.

◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.

◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.

◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.

理解以下性质定理，并能够证明.

◆如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.

◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.

◆垂直于同一个平面的两条直线平行.

◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.

③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功）

1．[2009年高考全国卷Ⅱ改编]纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图的平面图形，则标“△”的面的方位是________．

2．[2009年高考安徽卷]对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．

①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；

②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；

③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；

④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；

⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．

3．[2009年高考安徽卷]对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．

①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；

②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；

③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；

④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；

⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．

4．（原创题）已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：

（1）一条直线；

（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是________．

5．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝

，AB＝1，AD＝2，E为BC的中点，点M为棱AA1的中点．

（1）证明：

DE⊥平面A1AE；

（2）证明：

BM∥平面A1ED.

立体几何练习题

1．[2012·福建卷]一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（　　）

A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱

2．[2012·湖南卷]某几何体的正视图和侧视图均如图1－1所示，则该几何体的俯视图不可能是（　　）

3．[2012·浙江卷]设l是直线，α，β是两个不同的平面（　　）

A．若l∥α，l∥β，则α∥β

B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β

D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

4．[2012·浙江卷]设l是直线，α，β是两个不同的平面（　　）

A．若l∥α，l∥β，则α∥β

B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β

D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

5．[2012·四川卷]下列命题正确的是（　　）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

6．[2012·辽宁部分重点中学联考]棱长为1的正方体和它的外接球被一个平面所截，截面是一个圆及其内接正三角形，那么球心到截面的距离等于________．

7．[2012·四川卷]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________

8．[2012·江苏卷]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）直线A1F∥平面ADE.

9．[2012·陕西卷]直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝

.

（1）证明：

CB1⊥BA1；

（2）已知AB＝2，BC＝

，求三棱锥C1－ABA1的体积．

10．[2012·三明普通高中联考]如图G8－5，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.

（1）求证：

AB∥平面PCD；

（2）求证：

BC⊥平面PAC；

（3）若M是PC的中点，求三棱锥M－ACD的体积．