沪科版八年级数学上课本复习讲义Word文件下载.docx
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(说明:
左右平移,横变纵不变,向右平移,横坐标增加,向左平移,横坐标减小;
上下平移,纵变横不变,向上平移,纵坐标增加,向下平移,纵坐标减小。
简记为“右加左减,上加下减”)
六、在平面直角坐标系中求图形的面积
常用“割补法”。
割:
分割,把图形分割成几部分容易求解的图形,分别求解,然后相加即可。
补:
补齐,把图形补成一个容易求解的图形,然后再减去补上的那些部分。
【例1】
(2006,苏州)在图2的直角坐标系中,△ABC的顶点都在网格点上,其中,A点坐标为(2,-1),则△ABC的面积为_______平方单位.
解析:
△ABC的面积可以看作一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积。
3×
4-
=5.所以填5.
【点拨】1)“补”的思想;
2)三角形的面积公式:
“底乘高除以2”你还记得吗?
【例2】如图,在四边形ABCD中,A、B、C、D的四个点的坐标分别为(0,2)(1,0)(6,2)(2,4),求四边形ABCD的面积。
分析:
四边形ABCD可以分成三角形ADC与三角形ABC。
解:
三角形ADC的面积为
=6,
三角形ABC的面积为
所以四边形ABCD的面积为6+6=12.
【点拨】1)“割”的思想;
2)三角形的底和高要一眼看出。
【例3】在直角坐标系中,已知点A(-5,0),点B(3,0),△ABC的面积为12,试确定点C的坐标特点.
设点C的纵坐标为b,则根据题意,
得
×
AB×
│b│=12.
∵AB=3+5=8,
∴
8×
│b│=12.∴b=±
3.
∴点C的纵坐标为3或-3,即点C在平行于x轴且到x轴的距离为3的直线上.
【点拨】1)数形结合是解答此类题的较好方法,最好画个图看看。
2)考虑要全面,不要漏掉纵坐标为-3的情况。
3)如果在该题加一个条件“点C在y轴上”,那么点C的坐标就是(0,3)或(0,-3)。
第十三章一次函数
一、函数的概念
在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数。
思考:
下面2个图形中,哪个图象是y关于x的函数
二、函数有几种表示方式?
正方形的面积S与边长x的函数关系为:
S=x2(x>0)
(1)解析式法
(2)列表法(3)图象法
三、确定函数自变量的取值范围
1、自变量以整式形式出现,自变量的取值范围是全体实数;
2、自变量以分式形式出现,自变量的取值范围是使分母不为0的数;
3、自变量以偶次方根形式出现,自变量的取值范围是使被开方数大于或等于0(即被开方数≥0)的数;
自变量以奇次方根形式出现,自变量的取值范围是全体实数。
4、自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中,自变量的取值范围是使底数不为0的数。
(1)当一个函数解析式含有几种代数式时,自变量的取值范围是各个代数式中自变量取值范围的公共部分;
(2)当函数解析式表示具有实际意义的函数时,自变量取值范围除应使函数解析式有意义外,还必须符合实际意义。
四、一次函数
1、一般形式:
y=kx+b(k、b为常数,k≠0),当b=0时,y=kx(k≠0),此时y是x的正比例函数。
2、一次函数的图像与性质
y=kx+b(k≠0)
k>
k<
b>
直线经过一、二、三象限
直线经过一、二、四象限
b=0
直线经过一、三象限及原点
直线经过二、四象限及原点
b<
直线经过一、三、四象限
直线经过二、三、四象限
性质
(1)y随x的增大而增大(直线自左向右上升)
(2)直线一定经过一、三象限
(1)y随的增大而减小(直线自左向右下降)
(2)直线一定经过二、四象限
3、确定一次函数图像与坐标轴的交点
(1)与x轴交点:
,求法:
令y=0,得kx+b=0,再解方程,求x;
(2)与y轴交点:
(0,b),求法:
令x=0,求y。
4、确定一次函数解析式———待定系数法
确定一次函数解析式,只需x和y的两对对应值即可求解。
具体求法为:
(1)设函数关系式为:
y=kx+b;
(2)代入x和y的两对对应值,得关于k、b的方程组;
(3)解方程组,求出k和b。
5、k和b的意义
(1)
∣k∣决定直线的“平陡”。
∣k∣越大,直线越陡(或越靠近y轴);
∣k∣越小,直线越平(或越远离y轴);
(2)b表示在y轴上的截距。
(截距有正负之分)
6、由一次函数图像确定k、b的符号
(1)直线上升,k>
直线下降,k<
(2)直线与y轴正半轴相交,b>
直线与y轴负半轴相交,b<
7、两条直线的位置关系
8、x=a和y=b的图象
x=a的图象是经过点(a,0)且垂直于x轴的一条直线;
y=b的图象是经过点(0,b)且垂直于y轴的一条直线。
9、由一次函数图像确定x和y的范围
(1)当x>
a(或x<
a)时,求y的范围。
求法:
直线x=a右侧(或左侧)图象所对应的y的取值范围。
(2)当y>
b(或y<
b)时,求x的范围。
直线y=b上方(或下方)图象所对应的x的取值范围。
(3)当a<
x<
b时,求y的范围。
直线x=a和x=b之间的图象所对应的y的取值范围。
(4)当a<
y<
b时,求x的范围。
求发:
直线y=a和y=b之间的图象所对应的x的取值范围。
例如:
如图
10、一次函数图象的平移
设m>
0,n>
(1)左右平移:
直线y=kx+b向右(或向左)平移m个单位后的解析式为y=k(x-m)+b或y=k(x+m)+b。
(2)上下平移:
直线y=kx+b向上(或向下)平移n个单位后的解析式为y=kx+b+n或y=kx+b-n
规律简记为“左加右减,上加下减”,左右对x而言,上下对y而言。
11、由图象确定两个一次函数函数值的大小
3、二元一次方程组的图象解法(略)
关于学习一次函数部分的必背知识点
一开始接触“函数”这个概念时还是非常陌生的。
因为转眼望去,前面的单元基本是“小学”和“初一”接触过得。
而对于“函数”来说确是几乎“一无所知”。
只知道初一老师说过“可能性”和“函数”有着密切的关系。
翻开这个单元时,真的有点“丈二和尚摸不着头脑”。
下面就把一次函数的一些基础知识进行总结,所有的有关一次函数的试题都是以这些知识为基础的深入和变换。
一次函数的性质
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即:
y=kx+b(k≠0)(k为任意不为零的实数b取任何实数)
2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。
3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角)
一次函数的图像及性质
1.作法与图形:
通过如下3个步骤
(1)列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线];
(2)描点;
(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
2.性质:
(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:
y=kx+b(k≠0)。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。
3.函数不是数,它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。
4.k,b与函数图像所在象限:
y=kx时
当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
当b>0时,直线必通过一、二象限;
当b=0时,直线必通过原点,经过一、三象限
当b<0时,直线必通过三、四象限。
y=kx+b时:
当k>
0,b>
0,这时此函数的图象经过一,二,三象限。
0,b<
0,这时此函数的图象经过一,三,四象限。
当k<
0,这时此函数的图象经过二,三,四象限。
0,这时此函数的图象经过一,二,四象限。
特别地,当b=0时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;
当k<0时,直线只通过二、四象限。
4、特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)
确定一次函数的表达式
已知点A(x1,y1);
B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程:
y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
(3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
一次函数在生活中的应用
1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
设水池中原有水量S。
g=S-ft。
一次函数部分是历届中考的重要部分,有些同学对这一部分有抵触心理,感觉很难学很害怕学,因此学习过后成绩也很不理想,其实只要牢记这些基础知识再加以灵活的运用,相信一次函数也就没那么可怕了!
第十四章三角形中的边角关系
一、三角形的分类
1、按边分类:
2、按角分类:
不等边三角形直角三角形
三角形三角形锐角三角形
等腰三角形(等边三角形是特例)斜三角形
钝角三角形
二、三角形的边角性质
1、三角形的三边关系:
三角形中任何两边的和大于第三边;
任何两边的差小于第三边。
2、三角形的三角关系:
三角形内角和定理:
三角形的三个内角的和等于180°
。
三角形外角和定理:
三角形的三个外角的和等于360°
3、三角形的外角性质
(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;
(2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三、三角形的角平分线、中线和高
三角形的角平分线、中线和高都是线段)
四、命题
1、命题:
凡是可以判断出真(正确)、假(错误)的语句叫做命题。
2、命题分类
真命题:
正确的命题
命题
假命题:
错误的命题
3、互逆命题
4、反例:
符合命题条件,但不满足命题结论的例子,称为反例。
原命题:
如果p,那么q;
逆命题:
如果q,那么p。
交换一个命题的条件和结论就是它的逆命题。
第十五章全等三角形
全等三角形
一、性质:
1:
什么是全等三角形?
一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形?
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2:
全等三角形有哪些性质?
(1):
全等三角形的对应边相等、对应角相等。
(2):
全等三角形的周长相等、面积相等。
(3):
全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
二、判定:
1、“边角边”定理:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS)
在△ABC和△DEF中
∵AB=DE
∠B=∠E
BC=EF
∴△ABC≌△DEF
2、“角边角”定理:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)
在△ABC和△DEF中
∵∠B=∠E
BC=EF
∠C=∠F
∴△ABC≌△DEF
3、“角角边”定理:
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)
∠C=∠F
AB=DE
∴△ABC≌△DEF
4、“边边边”定理:
三边对应相等的两个三角形全等。
(SSS)
AC=DF
另外,判定两个直角三角形全等还有另一种方法。
“斜边、直角边”定理:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)
在Rt△ABC和Rt△DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF
三、方法指引
证明两个三角形全等的基本思路:
找第三边
已知两边----找夹角
找是否有直角
找这边的另一个邻角(ASA)
已知一边和它的邻角——找这个角的另一个边(SAS)
找这边的对角(AAS)
(2):
已知一边一角---
已知一边和它的对角——找一角(AAS)
已知角是直角,找一边(HL)
(3):
已知两角---找两角的夹边(ASA)
找夹边外的任意边(AAS)
要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法:
1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段,然后证明剩余的线段与另一条线段相等。
(割)
2、把一个三角形移到另一位置,使两线段补成一条线段,再证明它与长线段相等。
(补)
如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?
请说明理由。
四、学习全等三角形应注意以下几个问题:
1):
要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与“对角”的不同含义;
2):
表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上;
3):
要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等;
4):
时刻注意图形中的隐含条件,如“公共角”、“公共边”、“对顶角”、“余角”、
“补角”、“外角”等等。
第十六章轴对称图形与等腰三角形
一、轴对称图形与轴对称
1、轴对称图形:
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫做对称轴。
轴对称图形的对称轴可以是一条,可能是多条或无数条。
2、轴对称:
如果一个图形沿着一条直线折叠,它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形成轴对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点叫做对称点。
3、轴对称性质:
(1)如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴垂直平分任意一对对应点的所连线段。
(2)如果两个图形各对对应点的所连线段被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
2、线段的垂直平分线
1、定义:
经过线段的中点,并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。
2、性质:
线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等。
∵直线l垂直平分AB,点P在l上
∴PA=PB
3、判定:
与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
∵PA=PB
∴点P在AB的垂直平分线上
三、等腰三角形
有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
(1)等腰三角形两个底角相等。
简称“等边对等角”。
推论:
等边三角形三个内角相等,每一个内角等于60°
(2)等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边。
(等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一)
3、判定:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边相等。
简称“等角对等边”。
推论1:
三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2:
有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形。
四、等边三角形
三边都相等的三角形叫做等边三角形。
等边三角形的三边相等;
三个角都相等,每一个内角等于60°
(1)定义法:
三边都相等的三角形是等边三角形;
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形。
(3)有一个角是60°
的三角形是等边三角形。
五、角的平分线
1、性质:
角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。
2、判定:
在一个角的内部,到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
六、直角三角形
有一个角是90°
的三角形叫做直角三角形。
(1)边性质:
两直角边的平方和等于斜边的平方。
(勾股定理)
(2)角性质:
两个锐角互余。
3、含30°
角的直角三角形性质:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半。