人教版七年级上册 第一章 《有理数》 数轴中的运动类问题同步培优练习一.docx
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人教版七年级上册第一章《有理数》数轴中的运动类问题同步培优练习一
《有理数》数轴中的运动类问题同步培优练习
(一)
1.已知数轴上,点A和点B分别位于原点O两侧,点A对应的数为a,点B对应的数为b,且|a﹣b|=15.
(1)若b=﹣6,则a的值为 .
(2)若OA=2OB,求a的值;
(3)点C为数轴上一点,对应的数为c,若A点在原点的左侧,O为AC的中点,OB=3BC,请画出图形并求出满足条件的c的值.
2.如图1,已知数轴上有三点A、B、C,它们对应的数分别为a、b、c,且c﹣b=b﹣a;点C对应的数是10.
(1)若BC=15,求a、b的值;
(2)如图2,在
(1)的条件下,O为原点,动点P、Q分别从A、C同时出发,点P向左运动,运动速度为2个单位长度/秒,点Q向右运动,运动速度为1个单位长度/秒,N为OP的中点,M为BQ的中点.
①用含t代数式表示PQ、MN;
②在P、Q的运动过程中,PQ与MN存在一个确定的等量关系,请指出它们之间的关系,并说明理由.
3.已知A、B、C为数轴上三点,若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍,则称点C是(A,B)的奇异点,例如图1中,点A表示的数为﹣1,点B表示的数为2,表示1的点C到点A的距离为2,到点B的距离为1,则点C是(A,B)的奇异点,但不是(B,A)的奇异点.
(1)在图1中,直接说出点D是(A,B)还是(B,C)的奇异点;
(2)如图2,若数轴上M、N两点表示的数分别为﹣2和4,
①若(M,N)的奇异点K在M、N两点之间,则K点表示的数是 ;
②若(M,N)的奇异点K在点N的右侧,请求出K点表示的数.
(3)如图3,A、B在数轴上表示的数分别为﹣20和40,现有一点P从点B出发,向左运动.若点P到达点A停止,则当点P表示的数为多少时,P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点?
4.数轴上有两点A,B,点C,D分别从原点O与点B出发,沿BA方向同时向左运动.
(1)如图,若点N为线段OB上一点,AB=16,ON=2,当点C,D分别运动到AO,BN的中点时,求CD的长;
(2)若点C在线段OA上运动,点D在线段OB上运动,速度分别为每秒1cm,4cm,在点C,D运动的过程中,满足OD=4AC,若点M为直线AB上一点,且AM﹣BM=OM,求
的值.
5.在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B,C,其中AB=2,BC=1,如图所示,设点A,B,C所对应数的和是P.
(1)若以B为原点,写出点A,C所对应的数,并计算P的值;若以C为原点,P又是多少?
(2)若原点O在图中数轴上点C的右边,且CO=38,求P.
6.如图,点A,O,B在数轴上表示的数分别为﹣6,0,10,A,B两点间的距离可记为AB.
(1)点C在数轴上的A,B两点之间,且AC=BC,则点C对应的数是 ;
(2)点C在数轴上的A,B两点之间,且BC=3AC,则点C对应的数是 ;
(3)点C在数轴上,且AC+BC=20,求点C对应的数.
7.如图,将一条数轴在原点O和点B处各折一下,得到一条“折线数轴”.图中点A表示﹣10,点B表示10,点C表示18,我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位.动点P从点A出发,以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动,从点O运动到点B期间速度变为原来的一半,之后立刻恢复原速;同时,动点Q从点C出发,以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动,从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍,之后也立刻恢复原速.设运动的时间为t秒.问:
(1)动点P从点A运动至C点需要多少时间?
(2)P、Q两点相遇时,求出相遇点M所对应的数是多少;
(3)求当t为何值时,P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等.
8.已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度,点A在原点的左边,距离原点8个单位长度,点B在原点的右边.
(Ⅰ)求点A,点B对应的数;
(Ⅱ)数轴上点A以每秒1个单位长度出发向左移动,同时点B以每秒3个单位长度的速度向左移动,在点C处追上了点A,求点C对应的数.
(Ⅲ)已知在数轴上点M从点A出发向右运动,速度为每秒1个单位长度,同时点N从点B出发向右运动,速度为每秒2个单位长度,设线段NO的中点为P(O为原点),在运动的过程中,线段
的值是否变化?
若不变,请说明理由并求其值;若变化,请说明理由.
9.如图,在数轴上每相邻两点间的距离为一个单位长度,点A,B,C,D应的数分别是a,b,c,d,且d﹣2a=14,求A,B,C,D对应的数.
10.已知数轴上的点A和点B之间的距离为32个单位长度,点A在原点的左边,距离原点5个单位长度,点B在原点的右边.
(1)点A所对应的数是 ,点B对应的数是 ;
(2)若已知在数轴上的点E从点A出发向左运动,速度为每秒2个单位长度,同时点F从点B出发向左运动,速度为每秒4个单位长度,在点C处点F追上了点E,求点C对应的数.
参考答案
1.解:
(1)∵b=﹣6,|a﹣b|=15,
∴|a+6|=15,
∴a+6=15或﹣15,
∴a=9或﹣21,
∵点A和点B分别位于原点O两侧,b=﹣6,
∴a>0,
∴a=9,
故答案为:
9;
(2)∵OA=2OB,
∴|a|=|2b|,
∵点A和点B分别位于原点O两侧,点A对应的数为a,点B对应的数为b,
∴b=﹣
a,
∵|a﹣b|=15,
∴|a+
a|=15,
∴a=±10;
(3)满足条件的C两种情况:
①如图,
设BC=x,则OC=OA=2x,
则有x+2x+2x=15,
解得:
x=3,
∴C对应6
②如图,
设BC=x,则OB=3x,OA=OC=4x,
则有3x+4x=15,
解得,x=
,
则C对应
,
综上所得:
C点对应6或
.
2.解:
依题意,
(1)∵|BC|=15,
∴10﹣b=15,得b=﹣5,同理可得,a=﹣20.
(2)①∵OP=20+2t,N为OP的中点,
∴ON=10+t
又∵OB=5,
∴BN=5+t
∵BQ=15+t;M为BQ的中点,
∴BM=
,
∴MN=NB+BM=
∵|AC|=|﹣20﹣10|=30
∴PQ=PA+AC+CQ=2t+30+t=30+3t;
②根据①可得,PQ﹣2MN=5
理由:
PQ﹣2MN=30+3t﹣(25+3t)=5
3.解:
(1)根据定义:
A、B、C为数轴上三点,若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍,则称点C是(A,B)的奇异点,
可知:
点D是(B,C)的奇异点;
(2)①(M,N)的奇异点K在M、N两点之间,
则K点表示的数是2,
故答案为2;
②(M,N)的奇异点K在点N的右侧,设K点表示的数为x,
则由题意得,
x﹣(﹣2)=2(x﹣4)
解得x
=10
∴若(M,N)的奇异点K在点N的右侧,K点表示的数为10;
(3)设点P表示的数为y,
当点P是(A,B)的奇异点时,
则有y+20=2(40﹣y)
解得y=20.
当点P是(B,A)的奇异点时,
则有40﹣y=2(y+20)
解得y=0.
当点A是(B,P)的奇异点时,
则有40+20=2(y+20)
解得y=10.
当点B是(A,P)的奇异点时,
则有40+20=2(40﹣y)
解得y=10.
∴当点P表示的数是0或10或20时,P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点.
4.解:
(1)设点A在数轴上表示的数为a,点B在数轴上表示的数为b,则,b﹣a=16,
∵点C是OA的中点,点D是BN的中点,
∴点C在数轴上表示的数为
,点D在数轴上表示的数为
,
∴CD=
﹣
=
=
=9,
答:
CD的长为9;
(2)设运动的时间为t秒,点M表示的数为m
则OC=t,BD=4t,即点C在数轴上表示的数为﹣t,点D在数轴上表示的数为b﹣4t,
∴AC=﹣t﹣a,OD=b﹣4t,
由OD=4AC得,b﹣4t=4(﹣t﹣a),
即:
b=﹣4a,
①若点M在点B的右侧时,如图1所示:
由AM﹣BM=OM得,m﹣a﹣(m﹣b)=m,即:
m=b﹣a;
∴
=
=
=1;
②若点M在线段BO上时,如图2所示:
由AM﹣BM=OM得,m﹣a﹣(b﹣m)=m,即:
m=a+b;
∴
=
=
=
=
;
③若点M在线段OA上时,如图3所示:
由AM﹣BM=OM得,m﹣a﹣(b﹣m)=﹣m,即:
m=
=
=﹣a;
∵此时m<0,a<0,
∴此种情况不符合题意舍去;
④若点M在点A的左侧时,如图4所示:
由AM﹣BM=OM得,a﹣m﹣(b﹣m)=﹣m,即:
m=b﹣a;
而m<0,b﹣a>0,
因此,不符合题意舍去,
综上所述,
的值为1或
.
5.解:
如图所示:
(1)∵AB=2,BC=1,
∴点A,C所对应的数分别为﹣2,1;
又∵P=﹣2+0+1,
∴P=﹣1,
当以C为原点时,A表示﹣3,B表示﹣1,C表示0,此时P=﹣3+(﹣1)+0=﹣4.
(2)∵原点0在图中数轴上点C的右边,CO=38,
∴C所对应数为﹣38,
又∵AB=2,BC=1,
点A,B在点C的左边,
∴点A,B,所对应数分别为﹣39,﹣41,
又∵P=﹣41+(﹣39)+(﹣38)
∴P=﹣118.
6.解:
设点C对应的数为x.
(1)根据题意得
x﹣(﹣6)=10﹣x,
解得x=2.
答:
点C对应的数是2.
故答案为:
2;
(2)根据题意得
10﹣x=3[x﹣(﹣6)],
解得x=﹣2.
答:
点C对应的数是﹣2.
故答案为:
﹣2;
(3)如果C在A的左边,依题意有
﹣6﹣x+10﹣x=20,
解得x=﹣8;
如果C在B的右边,依题意有
x+6+x﹣10=20,
解得x=12.
答:
点C对应的数是﹣8或12.
7.解:
(1)点P运动至点C时,所需时间t=10÷2+10÷1+8÷2=19(秒),
(2)由题可知,P、Q两点相遇在线段OB上于M处,设OM=x.
则10÷2+x÷1=8÷1+(10﹣x)÷2,
解得x=
.
故相遇点M所对应的数是
.
(3)P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能:
①动点Q在CB上,动点P在AO上,则:
8﹣t=10﹣2t,解得:
t=2.
②动点Q在CB上,动点P在OB上,则:
8﹣t=(t﹣5)×1,解得:
t=6.5.
③动点Q在BO上,动点P在OB上,则:
2(t﹣8)=(t﹣5)×1,解得:
t=11.
④动点Q在OA上,动点P在BC上,则:
10+2(t﹣15)=t﹣13+10,解得:
t=17.
综上所述:
t的值为2、6.5、11或17.
8.(Ⅰ)解:
∵点A在原点的左边,距离原点8个单位长度,
∴点A表示的数为﹣8,
而|AB|=28,且B在原点的右边,
∴点B表示的数为20.
即A、B点对应的数分别为﹣8,20.
(Ⅱ)解:
由题意可设经过x秒后,点B在C处追上了点A,
列方程得3x﹣x=28
解得x=14
因此C点在A点向左14个单位处,即﹣8﹣14=﹣22
故C点表示的数为﹣22.
(Ⅲ)解:
设运动时间为t秒,则NO=20+2t,AM=t,OB=20
而P为线段NO的中点,所以OP=
(20+2t)=10+t
于是
故该线段的值不随时间变化而变化,为常数
9.解:
由图可知:
d=a+8,
∵d﹣2a=14,
∴a+8﹣2a=14,
解得a=﹣6,
则b=a﹣2=﹣8;
c=a+3=﹣3;
d=a+8=2.
故A对应的数是﹣6,B对应的数是﹣8,C对应的数是﹣3,D对应的数是2.
10.解:
(1)根据题意得:
A点所对应的数是﹣5;B对应的数是27;
(2)设经过x秒F追上点E,
根据题意得:
2x+32=4x,
解得:
x=16,
则点C对应的数为﹣5﹣2×16=﹣37.
故答案为:
﹣5;27.