偏微分方程答案整理第五章.docx
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偏微分方程答案整理第五章
第三章椭圆形方程的有限差分法
3.2两点边值问题的差分格式
321
92页
L用积分插值法导出!
1近徴分方程（21）的差分方程.
Z—汕計煌2a
♦J
川/八C⑴，可遁接积分
在3和內任一小区间［XF⑺］上积分挣彳一兰5字）女+J
；udxdx"“
好理3
dxpG）
dx（中矩形公式）V
4ip（x）
w（X$W,吗丽必）
】勺坷+1
严如普其中s
乙
_2一J0（x）dxP
%+^+lr
3.2.3
p20D4*J
4.构造il近"
{pu）+i^u+ru=/于（（3,b）
的中-!
＞差分恪式.A
為"厂和"12••••••,K心豳恥
X1==（Xh+兀）j=l,2,……,N2访2
也_「咚吗+1-如旳-%-】紅1闵
切+1+鸟
%+1%
.ddL、.dd^u.
［群苕L厂乔L扌
JWV
饥1+闵
2
AA
-du.-duJp乔kF乔
3.3二阶椭圆型方程的差分格式
3.3.1100页
P210*'
1.用积分插值法构造逼近君程初
（3.31）一Nm=—[2（疋—）+2（上更）]=了时第一辺值问题的五点差
空卽卽
分格式，这里k=k（X'y）血刈4
解.
zTJ1•
1）正则内点心
j+1
\/
L4
L3
J-1
i・l
于Q上积分（3.21）式，4
-JJVy\dxdy=JJfdxdy^JG科
■p请（碟）+鲁a詈皿®=n'T
*r
由GmM第—公式得5♦■
・.综上有Sa
=叭小其中ydxQy□九广
力1力2ff
*T
1）非正则内点3
£用积分插值法构造11近方程（久21）冊第二边值间题的五点差分格式.
ft：
1）
3）
正刚內点，同第一题中1）*非正则內点，同第一题中2）0
在畀点q处于曲边三角形ABU上对C3.21）式积分，得：
-If
hASC
V（七Vw）
dT^dy=II/必妙4
hASC
-i
—kds=Jf/dxdy^
iiABC
CLI■"
+）—kdsJjfdxdya
A9冲Axic
上一AB^
h加f咛
L詈上£Q
（2）上心0拠jt尹。
也权二综上有；+'
—J（算昶血+绘土ffc+如C3）=J（fdxdy
禺坷SiAEC
3.4极值定理敛速估计
105页
设厶=g:
i=or…Nxq＜心＜＜心hx是厶上的网函数。
又
M=~（气必-厂勺旳+®X+i）+gMJ=i2-「N-h
其中碣对q恒正，坏i非负，且陽+6兰鸟证明当劭兰0（切＞0）时，”不能在内点取正的极大〔负的极小）,除非等于常数，
342
在题1中，若设Hi=b.-a.-c.+0扌＞0（?
=12….M-l），则差分方程A
切=='2…期-1,
]C的解晒足不等式＞
氐=玲=0
maxIy-伍max'一.屮i」Nj
3.6三角网格（有限体积法）
补充题
7.P21b/2*^
构造逼近（3.21）-=-[—（—）+—（—）]=/ffi三®厕格式.
3兀Sv卽》
解：
卩
如图，设Po是内点，P1，…,久是和Po相邻的节点，务为三角形PoPiPd的外心』刃严
是PoPi的中点，q是由六边形今“….@6围成的对偶单兀$在子域Q积分得
由Green公式得：
A
f上竽ds=[[fiixdy,3込勿bf；
區吨丄牛
a）人[m@+i）-）]+川G）Rgq（h）,
2
其中&即为k（3）在炖，中点的值皿（Q）是Q的面积，Rgq（饥）是截断误差卅
5
•••導点;?
0的差分方程为2
一暫%捫“护如临冰
丄•■
其中卩0=—：
777丨丨您妙Mi是k在莎;中点的值”加（Go）E；5
第五章抛物方程的差分法和有限元法
5.1最简差分格式
5.1.2130页
P24加
3.将向前差分格式和向后差分恪式作加枫平均’得至!
I下列格式：
3
（113）
加严+1^；：
）+（1-8）（监］-+町_1）］，卩
其中。
込2计算其载断惡并证明当匕_时，载断误差
的阶最高（0（卢+血4））・4
解：
£；”=厶”內也）■［加］卜
班h心）T（®.点）Sc亠，、c,、一-沪［&@（勺+1"上+1）~加（勺/jfc+j
+讥&小纭I））+（1-刃（以号+1以）
血（x.，N）。
'”（才,氐）
-加（勺,fjt）+«（V1，4）］豆+a
*a
⑴以勺An）-以®,er
r
1dugQ?
几（勺如
=-［班亏•以）+17—-—+———+O（T）-W（XpZj］
=必（亏以）卜T九仗沁）十F
&2加
a?
⑵yy［”（X丹以）-2”（勺以）+“（亏小4）］2h
1敢勺以）X几（亏，4）尸护讥右以）
。
（泸）+心以）-血"沁）
方4昔tigtjh'九E认）
4!
丹5!
加
dx
X*心2+^―
2!
沪%（XjQ
I
3!
ra”（x广fj+—
4!
h'3纭（心以）rt
-务jJo（泸）-沁沁p
d^u（a,-,Zjl）护5*£z（x,,Zjl）.
二-^+巨―k起我卄
⑶庐仪（©小如1）-加（勺,纭1）+讥©4如）2
—几（勺，心）严九（S加）+肿12贰
护”（x门Zjt）33%（x门ZjQ护9*w（z.,Zjt）
珂—^+诗（飞^）+。
的召冷尸+書舟严沪））+0（F）］+0@4）
&dx
4.在Richardson式（LID）中以m；=—（皿「1+巧"）代入，便得DuForl2
Frankel式：
d
.K+l“41,i,ui,Jt-l丄“Jt
（1.14）
叫一勺/"I-吟"幻+咲】,=a*2r沪
试求其截断误差n仪
解SSjli=厶以（©・以）一［加］”
“（x门£如）一班®认J班勺小4）一讥勺,（如）-W（X//e）+"
2t
a
⑴"（兀八如1）-”（丐・/—几
1dugG?
d^u（x4k）3?
w（x・，4）
2r八少2!
加3!
a"“
+00））
dugtjF护“（S卢3%（勺血）
一（«（%,■,«）-T——+{——
Jdt2!
况23!
加2
+0（十））］
=警+沖+。
（"
警5”
（2）庐如i）-“（xp仏i）+w（rjH）］4=土［m（勺小At）+"（勺・1,4）-班亏』盼1）一《（勺丄1）］卩=*［（心也）+浑;r）+岁％以），沪a%如+£九（？
4）+兰％（7以）+
4!
dx°5!
a?
）阳
.去（右，4）/?
九（号,G沪九（勺以）
-adT5，
dx2!
&23!
8』
讣3怙（心以）P少"（心4）«08%（儿
+——-——+03&）-（加（5+卢-J
4!
贰5!
去5八
r*少班心以）,
+正r^+対恥
h珈挈』+兰*4+几（挈“+斗
9x212a?
X&2'护
沪“山山）X223如（心以）,?
=^7^+（kJ^^+0（X）+0d
P24了屮
5.设肓B近热传导方程的带枫三层差分格式：
卩
（1.15）
〔1+0）幻=&肚勿;+以JT,d
rr沪
其中牡。
・试计算其截断误差，并证明当“尹式曲截断误差的
阶最高屮
9（F）+W））.4
解2E：
u=L谀（Xj.tJ-［Lu］^^
=（］+刃臥亏以+1）-臥亏•以）_0以（©•,◎-班勺,f—）
-寻0（勺+1，氐+1）-盼】）
+%“）］_［字_0弩筠”
（1）?
［"（勺/屮）・”（6、氐）］仪
=扣“）+『字+£空泸+。
（亠心Q
4>
=警斗%+。
（》
（2）-［以6・以）-"（©、仏1）2
1du（X"tJF护"（x,X）2
#［心以）-（心也）"；+才■^赵+0（0
二竺&_r兰竺凹+0（F"
4>
dt2&2
⑶由第3题知3
7^［心•+］，◎）-2心畑）+心■］九I）］衣
n
严（x“），8如（巧,如）zv2r2、厂"4、
»［—应—+（—+
r）———+O{z）+0（Th）+03）
代入得•
劭=（1+屛警+*答岀+。
（內胡字
_彳答出+00”［警如+（害询半2
2otox12ox
+Q/）+QC%2）+a；?
）］一［驾4一/：
；門,
胡吨一护勺答岀+如）+。
（朋+。
宀
5.2稳定行与收敛性
136
521
P2514
1.求证差分恪式（L1耳当一<&<1时恒稳定，当0<总<一时稳定的充要
22
证明：
3
b=器•[见储-釘+晴）+（1・&）（屹】-加;+吃）]
（113”
喟T；二川&（唸;-亦"+唸;）+（1-&）砧+1-2w）+«）_!
）]
一尸Q；；+（1+2同”;d-尸血炸=尸（1--（1-2r（l-砌
+尸（1■0）"；“
A护1=BU^即严=CUJ
虫=（1+2尸0）Z-r空
B=[}-2r（l—&）]!
+r（l一&）S"
C=[（1+2尸&）Z-r笑]"[（1一2尸（1一&））Z+尸（1一&）S卜
禺=[（1+2尸[l・2r（l-&）+Nl-&）禺卜
1-2尸（1-&）+2尸（1一&）（：
0$丿加=2
1+2尸8-2尸&cosjTh
l—4r（l—&）sin20
=:
——-—卩
2
（1）当丄<&<1时，恒有1一4尸（l-&）sm2型<1+4尸Bsin?
匹
222及•
4Nl—&）sin2匹—I22
若（1・13）稳定时<1+M~
l-4r（l-&）sin2匹
J-
l+4r^sin^—
2
右不等式恒成立“
-l-d^sin2¥-M£（1+4“sin2今）<1一4尸（1-0）sin2字2
4r（l-20）sin?
理<2+Mt（1+4"sm?
昼）
5.2.2
P25W
2.证明如下格式恒稳定，4
1J，J，1」
（221〕
1X^j+]-Uj+i，叫―气1Wj_i一Mj—i
11.p
12r6r12t
=细严+巧性:
吃】7犷+眄、+
2护
证明：
+（喑-碳1）*时1-M；"*仅;〔—口L）d=2（唸;-加严+段貰+肚二1_2诡+屹1）P
中
存訓:
;+（討咛+（卜丼;=（卜肌r+◎如+（护討
+（&_厂）八
C=[（|+r）/+（A-5疔【C-川十（加卜
01226122
1[谆+『）+（「护严[（|“+（占+护;]”
^）+（-^+^）2coV?
*
三—i—r卩
（7+厂）+（—--）28$_/加
0122
51n■aj金
—--cos/TK-2rsin
=Q
2+1cosJ朮+2尸sin，
662
TW>0有卩
-+—cosjTih-2rsin<—4--cos;^+2nn及
662662
2尸sin2-（―+—cos7曲）密（―+—cosj加）+2尸sin"
2\6J\6」，2
..格式（2,21）11稳定.4
5.3Fourier方法147页
P265V
1•用Fourier方法证明差分格式（LI3）稳定的充要条件是.r<£（1-2&）・1
（（113）
叫=寻盹爲-加严+屹;）+（1-&）（晴】-2#+
）]>
0•寸.9
a
J-W+1W一（巴蓋汀一岳罚隹回-ZW（冑—匚駅；{寸
ae
鼻心崔凹
a
S-V电V宀训-—（冷丄）十钏-^
Twnwo汕-.-eQQ鼻訓2总亠寸十「w韻肯3®丄mW訓口目逹寸—7劄为PE+I:
少宥®丄¥丄
r*
r*-wiw-E蓋理O般陋介二）
苟焉？
i
dKN（匕蓋）D
剧冷总丄二寸丄
少雹扌
€aH34
罚-丄）寺丄
JQQI宅sox^Iga+亍常工（II卞§）d岛—一一
JR-I竜s£（p丄）命+3aQI窗s£n鸟U2—3A
上（mt+alm◎岂富ID+（它「直+4—卞飞）一鱼击="鼻|一£住
3F工耳+第飞e—浅寻甩七总11）+
4QH■監+曇—刍+/>飞）2佥：
旻¥J監无
祥甘+背’-仝也（电丄）+（呼十H肓—写邑」"曹
bT=/A芳+吃+b临一吃+M>0）T沪X八
稳定性的充要条件是网融—咖右”
证明’旷L-时=吃h-2叭+巧7）+手（屹］-屹J5卜
2«
0咕锻-¥咕唱A二e气严MM_2尹匸+評宀甥
+兰丿（評_/町叩）戒
"Z+L,1n-jtfsfi\也」”£」afi」皿\I_十、E,
V-V=rv@-2+段）+——V住-S）+<7卯A
2k
V魚-yk=2rv^（cos皿-1）+—3dn皿+ctpU2h
V屏1=[1+2r（cos朋-1）+—涉，血曲+
書]卩5
h
Tcfe
=[1-4rsin（0^/2）+—sin皿+:
刃卩。
h
C?
（护,£）二1一4nnX（曲/2）+—sin曲+d
h
C+—迪破1*荷足Lipsi^htiz连续dk
则G#—致有界等价于Gf（5=l-4rsiflC曲/幼一致有界4
而G；—致有畀的充要条件是r5.4.3
P2662
3.证明差分恪式卩
“J-幻二"（”*1-巧・+t“JU2.id_一JU2一JUl丄一盼1\9>U）
凹-叫=a®*i-幻-Uj+"h）
（SauTev,1957）恒稳定•卩
（IT+a严（1+a）-応3（l-ar）+a"4«*（1+"）-"严
证明：
“
0+岔）b】-匕哮冷a昭I+（1-岔财
—am算:
+（1+a）以；2=（1—az•比r+am賈；
0+岔）喟-am：
冷a昭I+（1-心：
-aE；T+（l+a）w；4=（l-a厂）w；+onvjLi（w；=x^『）
f/i.\MJUl沽（J・1MJfc,/isti祕
（1+少»1g-arv.&'=arv.&»+（1-ar）v.&
A
-azv扌/（EM+（1+岔）哎9“—（1-^剧严用+ac押时】W
/<.\A+lft+17cAkicAIzq\k
（1+ar）V]—arV]e=arvje+（1—ar）y】
—azvy/M+（1+a/'）'v严二（1—（Xr）谚+azv扌訂曲k=
«a但a_V-/-—,_（1一a）+a"
群侖/il=TV，兄5=r
（1+ar）-曲严（1+ar）-ar&'从
2
1-ar（y-cos朋）+iarsm朋
1+ar（[-cQsoh）+iarsinGh
1-2arsin'（0^/2）+ansindh
1+2arsin?
（<2^/2）+ansin
_（1-2asin2（必/2））2+//•'sin2
（l+2arsin^（ah/2））^+//•'sin'必
1-2arsin'（aA/2）-iarsinah
1+2arsin?
（aA/2）+w尸sin朋（1-2arsin^（0^/2））^sinoh（1+2arsin"必/可）'+//•'sin'ch
…由一致对角化定理知，上述差分格式稳定（这里H=I）
2证期实系数二次方程力-iQ-Q=0的根搜模小于等于1的充要条件是
網假设丸=送亠”
Jb*+4c兰2-&|*3
两边平方得2
01兰1—C且同<24
而胪+4（?
>0,从而14
综上可知*|i|5.7分数步长法
5.7.1
P273*
»+-
-U
1.用Fouvier方法证明ADI法（5一9）绝对稳定.
（7-尹L★礙+可+£碣
字胆”碍-畑
U税】-U3
解：
3
a-加斶总=［心+&；+&）+（/-£&从乙2
（1）7
=M离-—J^uVjxmyyjxm
2
（1昇加;4覇-"利M
（3）卩
由
（2）、（3）得
（Z-尹;礙=（/-|芳）4［噥-1叽］-1叽
（4）“
再由
（2）、（3）得”
（1秤加盂
=a-討;尸｛（z-秤）★（¥；+殆+冴）+购拆3（八尹;）a-?
©a-尹朋
-討;）（/-尹）％
令甘二=pLHw"與*+序的代入上式化简可得R
[：
--（2cos-2）][l--（2cosA-2）][l--（2cos>^-2）^*】
222
r
={—（2COS朋-2）+r（2cos戲-2）+r（2cos炜一2）+1
2
rr
-i[l-l（2cosa^-2）]（2cosA-2）
22
rrr
-L[l-l（2cosM-2）][l--（2cos/^-2]（2cosW-2）}y"
222
利
（1+2厂sin2（型/2））（i+2rin2（戲/2））（1+sin?
（旳/2）»卄】
=[-2rsin2（M/2）-Osin?
（戲/2）-4rsm^（旳/2）+1
--（l+2rsin2（M/2））（-4sin?
（闻/2））-二（1+"sin?
（朋/2））
22
第六章双曲型方程的有限差分法
6.1波动方程的差分逼近
6.1.1
L就二维波动方程导出5格式，并给出稳定性条件.
解：
驾"（写+与H
（*）7
啜即J
=『如-
+乙
A-啜
其中r：
=az/h2
则有卩
「屮+】・
/（也-
迁沪=/（%弋严严⑺
加;X+"；・LJfc）+尸2（"；JU112噪+〃；•—）
轴+以;卫）+尸2（咲+1-加h+确后1）+2u；z-啜w；F=叹
：
1）卩
令皿=廿",W；严咖'叫溯卩
代入
（1）得*
讨小=f'Qcos朋■2）y：
+厂2（2cos戲-2»：
+2*-Va
卜賈=応
得
「林门
'2（1-"sin2（必/2）-2r^sin?
（戲/2））
-f
•*
1
■
0
V二
Gs^=2（1-2厂2泗2（型⑵-2宀in2（戲⑵）.
°“
；i5-q=[2-2（1-2昇Sin2（朋/2）-2昇sin?
（戲/2））]2+1
=护一（2W）a+1
令|M-G|=0,得门
护-（2W）2+l=0
其中Cl=2rsin（a^/2）,C?
=2尸sin（戲/2）卩
..
（2）的根按模＜1的充要条件是“
2-C；-C扌＜2^nC；＜4d
冃卩4r2（$in2（必⑵+sin2（网/2））＜4
»¥是差分格式稳定的必要条件”因此当尸＜返时，｛G"（g）｝-致有界；卩
补充题
.证躺式g心蔦）轴稳起
解=当F二一时，（L20）如下P
4
咛】-2町+咱/囂-野+唱.叹】-铭+也
句—4P+
2X
吃;-2＜】+町二
4护■
此时差分格式等价于A
+J
»Wj—诃］+沖;-旷：
uj-brrrr
T2h
期fA;
rr
.T
Cl）屮
-2A
c=2rsin
-?
/4
l+?
/4
?
c
l+〃
ic
1+刊4
1—c^/4
1+//4
-1-//4丄3C
=i+/A~i+（；V/
3p_J-亡2/4、2jH
I_1+7/4（1+□疔"可见G（0）的特征值搜绝对值等于1,且G是酉矩阵.因此||Gh=l，从而袒阵族｛G伽一致有界，即门）绝对稳定.2
6.3初值问题的差分逼近
P311b
1.证明逼近〔3.1）的差分格式「
丄+缶——型=0,
rh
碣<}-b
」L十療—「=0,
rh
证明；记…％,将028）改写成：
丄
U.1B+lB+lS
+尸拥JFj-严叫
（!
>'
（328）
以町总吨g是任意实参数）代到方程⑴和
（2）中有=4
（1—r）v話十】=vS'
[J（1+f—尸COS皿尸+厂'sin'皿
兄1="25—:
—5—[
（1+厂一广cos皿）+广Em曲
乂IJ（1一尸+Fcos曲F+严'sin2型
（1-r+尸cos曲卩+尸23in2朋所以差分格式028）绝对稳定。
门
6.3.2
P3112
2.证明逼近01）的隐格式沪
（329）
-2+^1——=Q
T2k
绝对稳定。
屮
证明；记f=萨将（£29）改写成；a
x+l,»+Im+Lk
叫+皿J+】-皿1=巧
以町"曲g是任意实参数）代到方程⑴中有：
4
严.#&宀3’所以我们有：
丄
IJ1+4广2刼2灵41+4八釘朋幻'"所煜分格式（32刃绝对稳定。
6.3.3
P3113-
3.证明逼近01）的蛙跳（Leap-frog）格式是…
丄——+”一=0
2r2h
证明其稳定的条件是乞1…
⑴卩
»+1X-1,/MX\A
Uj-Uj0
•吋碍厂坊J
”町
现在以町=心‘碎，W；=辭诫*（◎是任意实参数“
代到方程组⑵中有：
2
X*'=-小:
62sin必'*
所以其稳定性条件要求
叩=£
「»+11
-i2rsinok
f
•■
1
•
0
所以可以写成:
2
-j2rsinah
（Q+i2rsin朋）2
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