微分方程试题及部分应用题答案整理版.docx
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微分方程试题及部分应用题答案整理版
第十章微分方程习题
.填空题：
（33）
324
1-1-40、微分方程（y'）y'''4xy'、3x的阶数是.
2
1-2-41、微分方程xy'-2yy'x^0的阶数是——
2
dsds
2s=0
1-3-42、微分方程dxdx的阶数是.
（4）
1-
4-43、（y）-4y'''10y''-5y=sinx的阶数是
dy
+y=0
1-6-45、微分方程dx的通解是.
x
1-7-46、方程y=ey的通解是.
1-8-47、方程y、ylny的通解是.
1-9-48、方程y'yy'zy=0的通解是.
1-10-49、方程y''—4y'=°的通解是.
1-11-50、方程y''-4y'V3y=0的通解是.
1-12-51、已知特征方程的两个特征根r1=2，°=-3,则二阶常系数齐次微分方程
为
X
1-13-52、微分方程y一e的通解为.
2x■
1-14-53、微分方程y二e7nx的通解为
1-15-54、若P（x,y）dx+Q（x,y）dy=0是全微分方程，则P，Q应满足.
1-16-55、与积分方程y=x°f（x,y）dx等价的微分方程初值问题
是.
22
1-17-56、方程（xyy）dx（x_2xy）dy=0化为齐次方程是
1-18-57、通解为y=CieC2e（Ci，C2为任意常数）的微分方程
为.
2x』y_0
1-19-58、方程y=e满足条件yx」-0的特解是.
1-19-59、方程xydx-x'dy=0化为可分离变量方程是
1-20-60、方程y^2xy的通解是
y2+x2理=xy收
1-21-61、方程dxdx化为齐次方程是
1-22-62、若y=cos「t是微分方程y'_9y=0的解，则_
dQ
kt0.03Q
1-23-63、若Q=Ce满足dt，则k=.
1-24-64、y^2y的解是
1-25-65、某城市现有人口50（万）,设人口的增长率与当时的人口数x（万）和
1000-X的积成正比，则该城市人口x（t）所满足的微分方程为
222
1-26-66、圆xy=r满足的微分方程是
x
1-27-67、y二aea满足的微分方程是
乎+P（x）y=Q（x）
1-28-68、一阶线性微分方程dx的通解是
1-29-69、已知特征方程的两个根r1=2，「2二-3,则二阶常系数线性齐次微分方
程为.
1-30-70、方程y二5x2是微分方程xy'=2y的解.
1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和.
1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程y'^py'q^0对应的特征方程有两个不
等实根，则其通解为•
22
1-33-73、将微分方程（xy-y）dx-（x-2xy）dy二0写成齐次微分方程的标准形式
为
.选择题：
（29）
dy-
x——=2y
2-1-56、微分方程dx的通解是（）
Ay=x2by=5x2cy=Cx2dy=Cx
□2
2-2-57、微分方程xydx：
-xdy=0的通解是（）
A.
1_x21_x2
y=e“1」b.y=Ce2
C.
y=Carcsinxd
y=C、1_x2
2-3-58
、下列方程中是全微分方程的是
（）
A.
2
（x_y）dx—xdy=0b
ydx-xdy=0
C.
（1xy）ydx（1-xy）dy=0
D.
22
（xy）dxxydy=0
2-4-59
、下列函数组中，线性无关的是
（）
A.
2x3x
e,ebcos2x,sin2x
C.
sin2x,cosxsinxd
lnx,lnx2
2-5-60
、方程y"-2y^3y的通解是
（）
A.
y=Ge」+C2eSB.
y二GexC2e3x
C.
^C1e^HC2e^xd
y二Ge^C2e3x
2-6-61
、方程y'''y=°的通解是（）
A.
y=Csinxby=Ccosxc
y=sinx+Ccosxdy=Gsinx+C2cosx
2-7-62
、下列方程中是可分离变量的方程是
（）
dy33
A.
xy-xy
dxB.
（ex3y2）dx2xydy
=0
dyx4y3
dy1y2
C.
dxxy2d
dxxyx3y
2-8-63
、微分方程y'—ycotx=0的通解是（
）
A.
y=Ccosxby=Csinxc
y=Ctanxd
y=Ccscx
2-9-64、已知微分方程厂一厂P=°的通解为y二e"iC2x）,则p的值是（）
2-
10-65、微分方程y'-2y=0的通解是（）
2-16-71、过点（°,一2）的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的
曲线方程是（）
Ay=x2-3by=x2+5cy=3ex_5dy=Cex_5
虫='tan'
2-
17-72、齐次方程dxxx化为可分离变量的方程,应作变换（）
2-18-73、设方程y'P（x）y=Q（x）有两个不同的解yi,y2,若:
yiy2也是方程
的解，则（）
A.i二-B.「一0C.「一1D.为任意常数
2-19-74、方程xdyxdx=2ydx的通解是（）
2222
Ay=Cx+xby=Csinx+xcy=cosx+Cdy=x+C
2-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是（）
22
Axy'+y=xby'+xy=sinxcyy'=xdy'=_xy
2-21-76、曲线上任一点P的切线均与OF垂直的曲线方程是（）
y'
x
xy'二
2
a.
y
b.
y
c.
x
D.x
2-22-77
、方程
y'y：
=0,y（3）=2的解是
（）
a.y
=2尹
b.
y=-2e3」
c.
x-3
y=2e
x-3
d.y—2e
2-23-78
、微分方程
y'=ylnx的通解是
（）
a.y
xlnx
=e
b.
xlnx
y=Ce
c.
xIn
y=e
x_x
xlnx_x
D.y=Ce
2-24-79、下列哪个不是方程W'f的解（）
2x2x-2xx
a.y=2eb.y=ec.y=ed.y=2e
2-25-80、方程yxyxyyy-siny=°的阶是（）
A.6B.5C.4D.3
空
2-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y，则这条曲线是（）
A.椭圆B.抛物线C.双曲线D.圆
2-27-82、下列可分离变量的方程是（）
A.
dy_
dx
33
xy-xy
x2
B（e+3y）dx+2xydy=0
dy
xy
dy
1y2
C.dx-
xy
D.dx-
_丄3
xyxy
2-28-83、
微分方程
y'-ycotx二
:
0的通解是（）
a.y
二Ccosx
B.y
=Csinxc
y=Ctanxd
y=Ccscx
2-29-84、
已知微分方程y''-y
•P=0的通解为
x
y=e2（G+C2X）,则
P的值（）
1
1
A.1
B.0
C.
2
D.4
3.计算题：
（59）
3-1-52、
secxtanydxsecytanxdy=0
3-2-53、
xy'_y1ny=0
3-3-54、
3extanydx（^ex）secydy-0
3-4-55、
22222
（1「yx「xy）y'二xy
dyx_e亠
3-5-56、
dxyey
3-6-57、
（1x）ydx（1-y）xdy二0
3-7-58、
cosxsinydy=cosysinxdx
J
y|x』=
-4
3-8-59、
22
（x-1）y'2xy=0,y（0）=0
3-9-60、
y'=2ylnx,y（e）=1
3-10-61、
cosxsinydy二cosysinxdx
J
31y|xz0=—
4
3-11-62、
（xy）dy（x-y）dx二0
3-12-63、
dy
xy（lny-1nx）
dx
3-13-64、
22
（y-2xy）dxxdy=0
3-14-65、
y
xy'_y=xtan—
x
3-15-66、
x十yxy'_y=（xy）ln
x
3-16-67、
22dydy
yxxy一
dxdx
3-17-68、
xy
y
yxy|x^=2
J
3-18-69、
y=y》
\xxy|x=e=e
J
3-19-70、
xy'-y「x2-y2,yL厂2
3-20-71、
3-21-72、
3-22-73、
3-23-74、
3-24-75、
3-25-76、
3-26-77、
3-27-78、
3-28-79、
3-29-80、
3-30-81、
3-31-82、
3-32-83、
1sinx
y=
xx
y'_2xy=4x3
.11yy=xInx
1-xe2x
y'y二
xx
y'-ytanx=secxy1x^=0
y|^r1
y'
2x
1x2
ylx£=o
xy'-y二汁
lnx
dy
dx
2
=2xyxe'
变y=y2（cosx-sinx）dx
dy
dx
5
_y二xy
变2xyxy4=0
dx
3-33-84、
dy
dx
1i
3八3（「2x）y4
dyy2-x
3-34-85、
dx2xy
3-35-86、
y''二y'x
3-36-87、
yy''（y'）23=0
3-37-88、
y3y''3=0
3-38-89、
y”=3,y
J
y良才3
J
y'lx卫=2
3-39-90、
..32yp
1
y|x£=3
1
y'|xJ-3
3-40-93、y''2y=°
3-43-92、y''4y'13y=o
3-42-93、y''-2y'y=0
3-43-94、y''-5y'4y=0
3-44-95、y'Ty'Vy=°,
y良=0=0
J
丫去凶=-5
3-45-96、y''4y'29y=°,
y心=0
J
y'l»3?
3-46-97、4y''4y'y=°,
y7=2
J
y'lx/0
3-47-98、4y''仃y=°,
y2=2
J
y'lx^0
3-48-99、y''-4y'33y=0,
y1x^=0
J
y'lx畀3
3-49-300、y''-4y'4y=°,
y|x=0=0
J
y'|x=0=3
3-50-303、2y''y'—y二右
x
3-53-302、y''y=ecosx
3-52-303、y''-6y'9y=（x
3）e3x
x
3-53-304、y”-y'-2y=2e
3-54-105、y''-2y'-3y=2x1
3-55-106、『''ySin*-0,y—Jyji
3-56-107、y'Ty'£y=5,ylx/二1,y'lx」=2
6t33
3-57-108、y''-10y'9yylx-7,y|x-7
3-58-109、y''-y=4xe,yh",y'h"
3-59-110、yJ5y'6y二xe2x
4.应用解答题：
（14）
4-1-9、一曲线通过点（2,3）,它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求
这曲线方程•
4-3-13、求一曲线，这曲线通过原点，并且它在点（X,y）处的切线斜率等于
y=—+1
4-4-14、试求Wx的经过点M（0；1）且在此点与直线2相切的积分曲线.
4-5-15、设某曲线，它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程.
4-6-16、已知某曲线经过点（11）,它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标求它的方程.
x
（x）（x）cosx2（t）sintdt=x1+「（x）
4-7-17、设可导函数（x）满足、'o'，，求（x）.
4-8-10、已知某商品需求量Q对价格p的弹性为
EQ「2p2
Ep
最大需求量为
Q=1000,求需求函数Q=f（P）.
4-9-11、设质量为m的物体在高空中静止下落，空气对物体运动的阻力与速度成正比.求物体下落的数率v与时间t的关系，再求物体下落距离与时间t的关系
4-10-12、在串联电路中,设有电阻R,电感L和交流电动势E=EoSin「t,在时刻
t=0时接通电路，求电流i与时间t的关系（Eo,为常数）.
4-11-13、如图,位于坐标原点的我舰向位于x轴上A（1，0）点处的敌舰发射制导鱼
雷，鱼雷始终对准敌舰，设敌舰以常数Vo沿平行与y轴的直线行驰，
又设鱼雷的速度为2Vo,求鱼雷的航行曲线方程•
4-12-14、根据经验可知,某产品的纯利润L与广告支出x有如下关系
dL
k（A-L）
dx，（其中k0，A0）,若不做广告，即x=0时纯利润
为L。
，且"A,试求纯利润l与广告费x之间的函数关系.
4-13-15、在宏观经济研究中,知道某地区的国民收入y,国民储蓄S和投资I
丄
均是时间t的函数,且在任一时刻t,储蓄s（t）为国民收入y（t）的10,
dy1
投资额I（t）是国民收入增长率dt的3.设t=0时国民收入为5（亿
元）,假定在时刻t的储蓄全部用于投资，试求国民收入函数.
4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.
5.证明题：
（2）
5-1-18、设y1（x）,y2（x）是二阶齐次线性方程y'「P（x）y'y（x）y=0的两个解，令
%（x）y2（x）
w（x）==y1（x）y2‘（x）-yj（x）y2（x）
y1（x）y2（x）
证明：
w（x）满足方程w'・p（x）w=0
W+P（x）y=Q（x）
5-
的3个相异特解,
2-19、设y1,y2,y3是线性方程dx
y3
证明y2_yi为一常数.
部分应用题答案
487.在串联电路中，设有电阻R,电感L和交流电动势E=E。
sin，・t,在时刻t=0时接通电路，求电流i与时间t的关系（E0,-■为常数）.
didiRE0.+
RiLE0sint-sin，t
解.设丨=i（t）,由回路电压定律dt，即dtLL
-fdtrE0fRt£rE0£
i（t）二e[0sintedtC][0sin，teLdtC]
二L=L
Ce$2E°22（Rsint-Leost）
R+«L
LE0
将iIt曲=0代入通解得
488.设质量为m的物体在高空中静止下落，空气对物体运动的阻力与速度成正比.求物体
下落的数率V与时间t的关系，再求物体下落距离与时间t的关系
解：
.物体重力为w=mg，阻力为R=「kv，其中g是重力加速度，k是比例系数.
dv,dvk
mmg-kvv=g
dt，从而得线性方程dtm
-kdtmdt
v=em[gekdtC]
gCe
，将v|t厂0代入通解得
m
CT
V=mg（1—e“
k,再积分得
2
m,m
s二gt2
kk2
k
t
ge「mC1
将S|y=0代入求得C1
2kt
Smgtmg（e讦1）
Sgtrg（e-1）kk
489.如图，位于坐标原点的我舰向位于X轴上A（1,°）点处的敌舰发射制导鱼雷，鱼雷始终
对准敌舰，设敌舰以常数V。
沿平行与y轴的直线行驰，又设鱼雷的速度为
2v°,求鱼雷的航
行曲线方程.
解:
设鱼雷的航行曲线方程为目二y（x）,在时刻t,鱼雷的坐标巍巍P（x，y）,敌舰的
坐标为Qdot）
vot-y
因鱼雷始终对准敌舰
2
故y=^T，又弧OP的长度为dx=2v0t
从以上两式消去v0t得
（1_x）y''_y'二1.1y'2_y'（1_x）y''二1•1y'2
2，即2
根据题意，初始条件为
y（0）=0y'（0）=0
令八p,原方程化为
1「2
（1-x）p'1P
2,它是可分离变量得方程，
解得P
——1
+p2=G（1—x）弋即y'+j1+y'2=0（1—x）=
2
将y'（0）=o代入上式得G",故y'十E+y"=（1-x）
.2
1
~2
而y'1y'2」1*
-y'=（1-x）
~2
1厶
得Wx）z
舟1
积分得y「「x）3（1
3
-x）2
C2
将y（0）=0代入上式得
所以鱼雷的航行曲线为y（1X）
122
1（_x）2
^=k（A_L）
490.根据经验可知，某产品的纯利润L与广告支出x有如下关系dx,（其中
k0,A0）,若不做广告,即x=0时纯利润为L。
，且0L°A,试求纯利润L与广
告费x之间的函数关系.
kx
间的函数关系为L（x）=A•（L-A）e
若需求供给函数均为线性函数
f（p，r）=-kpb，g（p）=cpd，则方程为
dy1
在任一时刻t,储蓄S（t）为国民收入y（t）的10,投资额l（t）是国民收入增长率dt的3.
设t=0时国民收入为5（亿元），假定在时刻t的储蓄全部用于投资，试求国民收入函数.
C=5,所以国民收入函数为y=5e°
492.试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型
数为g（p）,其中r为参数•于是得微分方程籃w（p"g（p）],p（0）5其
中Po为t=0时商品的价格，
b—dk（k*）tb—d
p（t）=（p。
-）e-（）（
k+ck+c
F面对所得结果进行讨论：
（1）设p为静态均衡价格，则应满足f（P，r）-g（P）=°,即-kpcpd
b-d
pp（t）=（p-p）e±（kc）：
limp（t）二p
则kc,从而价格函数p（t八（p°一p）ep,取极限:
t匸：
它表明：
市场价格逐步趋于均衡价格.若初始价格p°=p,则动态价格就维持在均衡价格p上,整个动态过程就变为静态过程.
dpk（kc）t
（p-p°）k（kc）e
⑵由于dt
-血<0-
所以当p°p时，dt,P（t）单调下降向p
靠拢，这说明：
初始价格高于均衡价格时，动态价格会逐渐降低,逐渐接近均衡价格;而当初始价格低于均衡价格时，动态价格会逐渐增高，逐渐接近均衡价格.
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