常微分方程习题与答案.docx
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常微分方程习题与答案
第十二章常微分方程
（A）
、是非题
1.任意微分方程都有通解。
（）
2•微分方程的通解中包含了它所有的解。
（）
3.函数y=3sinx-4cosx是微分方程y，y=0的解。
（）
4.函数y=x2・ex是微分方程y'；"-2y'y=0的解。
（）
5.微分方程xy"Tnx=0的通解是y=丄（1nx）2+C（C为任意常数）。
（）
2
6.y"=siny是一阶线性微分方程。
（）
7./=x3y3xy不是一阶线性微分方程。
（）
8./-2/5^0的特征方程为『-2—5=0。
（）
9.dy=1xy2xy2是可分离变量的微分方程。
（）
dx
、填空题
1.在横线上填上方程的名称
1y_3lnxdx_xdy二0是。
2xy2xdxy_x2ydy=0是。
3x-d^=yln丫是。
dxx
4xy：
=yx2sinx是。
5yy-2y=0是。
2.ysinxy"-x=cosx的通解中应含个独立常数。
3.y“=eQx的通解是。
4.y=sin2x-cosx的通解是。
5.x^2x2y2，x3y=x4，1是阶微分方程。
6•微分方程yy-yQ=0是阶微分方程。
i
7.y-丄所满足的微分方程是。
x
8.y=2y的通解为。
x
9.dxdy=0的通解为。
yx
10.--2yx12,其对应的齐次方程的通解
dxx1
为。
11.方程xy-1x2y=0的通解为。
12.3阶微分方程y=x的通解为。
三、选择题
1.微分方程xyyUxW'j3-y4y'=0的阶数是（）。
A.3B.4C.5D.2
2.微分方程厂-x2厂-x5=1的通解中应含的独立常数的个数为（）。
A.3B.5C.4D.2
3.下列函数中,哪个是微分方程dy「2xdx=0的解（）。
A.y=2xB.y=xC.y=-2xD.y=-x
2
4.微分方程y'3y3的一个特解是（）。
A.y=x31B.y=x23C.y=xC2D.y=C1x3
5.函数y=cosx是下列哪个微分方程的解（）。
n
A.yy=0B.y2y=0C.yy=0D.yy-cosx
6.y二是方程y”-y=0的（），其中O,C2为任意常数。
A.通解B.特解C.是方程所有的解D.上述都不对
7.y=y满足y|x=0=2的特解是（）。
A.y=ex1B.y=2exC.y=2eD.y=3ex
8.微分方程y”■y=sinx的一个特解具有形式（）。
A.y=asinxB.y=acosx
*an*
C.y=xasinxbcosxD.y=acosxbsinx
9.下列微分方程中，（）是二阶常系数齐次线性微分方程。
A.y-2y=0B.y'；「xy3y2=0
C.5y-4x=0D.y-2y1=0
10.微分方程y"-y=0满足初始条件y（0）=1的特解为（）。
A.exB.ex-1C.ex1D.2-ex
11.在下列函数中，能够是微分方程y"+y=0的解的函数是（）。
A.y=1B.y=xC.y二sinxD.y=ex
12.过点1,3且切线斜率为2x的曲线方程y二yx应满足的关系是（）。
A.y"=2xB.y"=2xC.y"=2x,y1i；=3D.y"=2x,
y1=3
15.微分方程d^d^=0满足y|xm=4的特解是（）。
yx
D.x2_y2=7
16.微分方程巴-1・y=0的通解是y=（）。
dxx
C1
A.CB.CxC.-CD.xC
xx
17.微分方程y：
y=0的解为（）。
A
xxx.xx
.eB.eC.eeD.-e
18.下列函数中,为微分方程xdx•ydy=0的通解是（）
A.xy=CB.x2y2=C
D.Cx2y=0
19.微分方程2ydy-dx=0的通解为（）。
A.y2-x=CB.y-.x=CC.y二xC
20.微分方程cosydy=sinxdx的通解是（）。
A.sinxcosy=CB.cosy-sinx=C
C.cosx-siny=CD.cosxsiny=C
21.y”=e」的通解为y=（）。
A.-e^B.C.eC1xC2D.-C1xC2
22.按照微分方程通解定义,y二sinx的通解是（）。
A.-sinxC1xC2B.-sinxC1C2
C.sinxGxC2D.sinxGC2
四、解答题
1.验证函数y二Ce^xe^x（C为任意常数）是方程鱼二e^^3y的通解，
dx
并求出满足初始条件yL孑0的特解。
2.求微分方程/"Fx+y—x2斫0的通解和特解。
訶lx=0=1
3.求微分方程型」Tan》的通解。
dxxx
4.求微分方程/yx的特解。
y|x4=2
5.求微分方程y、ycosx=e~smx的通解。
6.求微分方程凹—二sinx的通解。
dxx
7
7.求微分方程/X+1"-2y-（X+1）2=0的特解。
y=1
8.求微分方程y=字x满足初始条件x=0,y=1,y、3的特解。
x+1
9.求微分方程/=2yy•满足初始条件x=0,y=1,/=2的特解。
10.验证二元方程x2-xy，y2=C所确定的函数为微分方程
x-2yy"=2x-y的解。
11.求微分方程exy-exdxex八eydy=0的通解。
12.求d^-ytanx=secx,y|x=0=0的特解。
dx
13.验证y1=cosx,y2=sin「x都是y”…’2y=0的解，并写出该方程的
通解。
14.求微分方程y二——的通解。
x
1
15.求微分方程y‘—ye^0满足初始条件y1=0的特解。
x
16.求微分方程dyy=x13的通解。
dxx+1
17.求微分方程一^dxJdy=0满足条件y0=1的特解。
1+y1+x
18.求微分方程yy-2y=0的通解。
19.求微分方程,‘2,，5厂0的通解。
20.求微分方程y4y4^=0的通解。
21.试求y=x的经过点M0,1且在此点与直线y=上•1相切的积分曲
2
线。
（B）
—一、是非题
1.可分离变量微分方程不都是全微分方程。
（）
2.若y1x,y2x都是y'Pxy二Qx的特解，且y1x与y2x线性无
关，则通解可表为yM^y1xCly1x_y2x1。
（）
3.函数y=e1xe，2x是微分方程y”-r•八’1'2厂0的解。
（）
4.曲线在点x,y处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的
微分方程是y'x2・c（c是任意常数）。
（）
5.微分方程y'e^j，满足初始条件y|x=o=O的特解为e^—e2x1o
2
（）
二、填空题
1.y^i=cosx与y2=sinx是方程y•y=0的两个解，则该方程的通解为_。
2.微分方程y_2y_3y=0的通解为。
3.微分方程y”-2y：
y=0的通解为。
4.微分方程y…=e2x的通解是。
5.微分方程y'y'的通解是。
6.微分方程史=2xy的通解是。
dx
三、选择题
1.微分方程y-4y4^0的两个线性无关解是（）o
A.e2x与2e2xB.e_2x与xe_2xC.e2x与xe2xD.e_2x与
2.下列方程中，不是全微分方程的为（
）。
A.3x26xy2dx6x2y4y2dy=0
B.
eydx亠〔xey-2ydy=0
C.yx-2ydx-x2dy=0
x2-
ydx-xdy=0
3.下列函数中
哪个函数是微分方程的解（
）。
212
B.s=-gtC.sgtD.
4.下列函数中
是微分方程y-7y，12y=0的解（
）。
B.y=x2C.y=e
3x
D.
y=e2x
5.方程1-x2
y-xy=0的通解是（
C
1】x2
--x3-Cx
2
12..x
D.y=Cxe2
6.微分方程y，lnxdx=x
lnydy满足y|x吕=1的特解是（
）。
A.ln2x=In2y
B.
22
lnxlny=1
C.ln2xTn2y=0
22
lnx=lny1
7.微分方程1x2dy1
y2
dx=0的通解是（）。
A.arctanxarctany=C
B.tanxtany=C
D.cotxcoty=C
8.微分方程y=sin-x的通解是（
-sin一x
B.
c.y
--sin-xCmC2
y=sin-xGxC2
9.方程
xy申=3的通解是（
=C3B.yC
xx
C.
y「C-3D.y』-3
xx
四、解答题
1.求微分方程y■9y=24x-6cos3x-2sin3x的通解。
2.求微分方程y"-7y，6y=sinx的通解。
3.求微分方程3x2xy-y2dx•x2-2xydy=0的通解。
（C）
—一、是非题
1.只要给出n阶线性微分方程的n个特解，就能写出其通解。
2.已知二阶线性齐次方程y：
Px/Qx丁=0的一个非零解y，即可
求出它的通解。
（）
二、填空题
1.微分方程y'4y5^0的通解是。
2.已知y=1,y=x,y=x2某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该
方程的通解为。
3.微分方程y-2y2y=ex的通解为
三、选择题
1.微分方程的通解为（）o
A.arctanxC
1
arctanxC
x
C
D.arctanx—x
A.y=Cex
D.y=：
C1ex
xy"+y=3
yy的解是（
訝1x4=0
B・丹121
数）（）。
四、解答题
1.设y=ex是微分方程x/pxy=x的一个解，求此微分方程满足条件
y〔Xdn2=0的特解。
2.已知y^xexe2x,y^xex,y^xexe2^^x是某二阶线性非
齐次微分方程的三个解，求此微分方程。
3.已知f0=1,试确定fx,使ex•fx】ydx•fxdy=0为全微分方
2
程，并求此全微分方程的通解。
第十二章微分方程
（A）
、是非题
1.X；2.x；3.V；4.x；5.V；6.x；7.x；8.V；9.Vo
、填空题
1.在横线上填上方程的名称
①可分离变量微分方程：
②可分离变量微分方程；③齐次方程;
④一阶线性微分方程；⑤二阶常系数齐次线性微分方程。
2.3；3.-e^xC,xC2；4.一-sin2xcosxC,xC25.3；
44
6.2；7
丄2
.yy
2
=0；8.y=Cx
；9.
2x
y2
二c;
10.y=
Cx12
x2
；11.y二Cxe2；
12.
y二
1
120
x6Gx-C2xC3。
选择题
1.D；
2.A；
3.B；4.B；5.
.C；
6.
A；
7.B；8.C；9.A；
10.A；
11.C；
12.C；13.B；
14.
C；
15.
A；16.B；17.B；
18.B；
19.A；:
20.D；21.C；
22.A.
四、解答题
1.验证函数y二C■eJ3x-e'x（C为任意常数）是方程鱼二e'x-3y的通解,
dx
并求出满足初始条件y|xm的特解。
2.求微分方程:
如+忸皿-宀厂0的通解和特解。
$^犷1
解：
-C,2x2y2=1。
1-x
3.求微分方程-tan'的通解。
dxxx
解:
sin乂二Cx。
x
〔八3
4.求微分方程＜yx的特解。
$lx.=2
解：
y2=2x2lnx2<
5.求微分方程目二目cosx=e_sinx的通解
解：
y=e」inxx・C。
6.求微分方程鱼—二sinx的通解。
dxx
1解：
ysinx_xcosxC。
x
『7
7.求微分方程/x+1“-2y-（X+1）2=0的特解。
ylx=o=1
解：
y=2x12-Xi?
。
IL33
8.求微分方程y“=孕仝满足初始条件x=0,y=1,y、3的特解
x+1
解：
y=x3•3x•1。
9.求微分方程y"=2yy满足初始条件x=0,y=1,y"=2的特解。
加ji（兀）
解:
arctany=x+—或y=tanx+—［。
4l4丿
10.验证二元方程x2-xy*y2=C所确定的函数为微分方程
x-2yy'2x-y的解。
解：
略。
11.求微分方程exy-exdxex八eydy=0的通解。
解：
ex•1ey「1二C。
12.求dy-ytanx二secx,y|x=0=0的特解。
dx
解：
y二亠。
cosx
13.验证y1=cosx,y^sin都是y"・2y=0的解，并写出该方程的通
解：
略
解:
线。
（B）
、是非题
1.X；2.V;3.V;4.X；5.Xo
、填空题
1.y=0cosxC2sinx；2.y二C1e~-C2e3x;3.y=C「C2xex;
12x2xx2
4.y=—eC1xC2xC3;5.y=C1eC26.y=Ce
8
三、选择题
1.C;2.C;3.C;4.C;5.D;6.A;7.A;8.C;9.A.
四、解答题
1.求微分方程y■9y二24x-6cos3x-2sin3x的通解。
解：
y=0xcos3x亠i.C22x2一xsinx3x。
2.求微分方程y-7y6^sinx的通解。
1解：
yC2ex7cosx5sinx。
74
3.求微分方程3x22xy-y2dx•x2-2xydy=0的通解。
C
解：
y2_xy_x2二一。
x
（C）
—一、是非题
1.X;2.V;
二、填空题
1.y=e2xGcosxC2sinx;2.y=Gx-1C2x2-11;
3.y二exGcosxC2sinx1
三、选择题
1.B;2.C;3.A;4.A;5.D;6.D.
四、解答题
1.设y=ex是微分方程x/pxy二x的一个解，求此微分方程满足条件
y心2=0的特解。
解：
代入y=eX到方程xy*pxy=x中，得px[=xe-x-x
原方程为xy：
xe-_x.y=：
x
e「
1-e2
2.已知yj=xex-e2x
y2二xex■e」,衣二xex-e2x—e」是某二阶线性非
齐次微分方程的三个解，求此微分方程。
解：
y1-丫3二e»，y3-y2二e2x—2e」均是齐次方程的解且线性无关。
Ge»C2e2x-2e」是齐次方程的通解。
当C^2，C2=1时，齐次方程的特解为e2x
e＞、e2x都是齐次方程的解且线性无关
C2e2x是齐次方程的通解。
由此特征方程之根为-1，2，故特征方程r2-r-2=0
相应的齐次方程为y-y-2y=0
故所求的二阶非齐方程为
y_y_2y=fxy1是非齐次方程的特解代入上式得
fx=1-2xex
所以y”-y：
2y=1-2xex为所求的微分方程。
3.已知f0=1，试确定fx，使ex•fXlydx•fxdy=0为全微分方2
程，并求此全微分方程的通解。
解：
exfxy，Q二fx，由—得ex点y
fx二exfx，即fx-fxi〕=ex
/.fx二e-vxI-exe—x.cLexxC
f（x）=exx
丄，
2
x-d^0
2y
得全微分方程：
|ex+exx+-i'ydx+e
x-y。
2
xy
解得ux,y=.0odx•.0ex
故此全微分方程的通解为卜c
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