小升初数学专题平面图形.docx

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小升初数学专题平面图形

第二讲

平面图形﹣﹣阴影面积

知识点：

1.用间接法求阴影部分的面积；

2.利用底或者高之间的关系求三角形面积；

3.利用面积之间的等式性质求面积；

4.利用割补法求不规则图形的面积；

5.利用正方形的面积和圆的半径平方之间的关系求解圆（环形）的面积；

6.多个弓形组成的不规则图形面积.

教学目标：

1.熟练使用常见平面图形的周长和面积公式；

2.灵活运用公式解决综合的面积和周长问题；

3.选择合适的方法求阴影部分面积；

4.能独立解决不规则图形（阴影部分）的周长和面积.

教学重点：

1.综合的面积和周长问题、不规则图形（阴影部分）的周长和面积.

教学难点：

1.不规则图形（阴影部分）的周长和面积.

入门测

难度★

1、如图中大小正方形的边长分别是9cm和5cm，求阴影面积.

【答案】40.5平方厘米.

【解析】9×9×

=40.5（平方厘米）

也可以把右上角补齐，用大长方形的面积﹣3个三角形的面积求出阴影部分面积.

【小结】理解两平行线之间的距离相等，注意同底等高的三角形面积相等.

难度★

2、（2018年东城区小升初）求图中阴影部分面积．（单位：

米）

【答案】60厘米

【解析】解：

3.14×（1.5+1）2﹣3.14×1.52

=3.14×6.25﹣3.14×2.25

=19.625﹣7.065

=12.56（平方米）

答：

图形中阴影部分的面积为12.56平方米．

【小结】此题主要考查圆环的面积的计算方法．

难度★★

3、三个正方形如图所示放置，中心都重合，它们的边长依次是1厘米、3厘米、5厘米，那么图中阴影部

分的面积是平方厘米．

【答案】17cm2．

【解析】解：

5×5﹣（3×3﹣1×1）

=25﹣8

=17（平方厘米）

答：

图中阴影部分的面积是17cm2．

【小结】本题关键是观察得出：

阴影部分的面积=大正方形的面积﹣（中正方形的面积﹣小正方形的面积）．

难度★★

4、求阴影部分的面积是多少？

【答案】4.14cm2

【解析】3.14×22÷4=3.14（cm2）

3×2÷2=3（cm2）

2×2÷2=2（cm2）

3.14+3﹣2=4.14（cm2）

【小结】此题考查了三角形的面积及

圆形的面积，对于阴影图形的面积可以用整体面积减去空白图形的面积来解决.

情景导入

小升初的考试中，无论是毕业考还是分班考试，求阴影部分面积是我们的必考题型，也是相对来说比

较好拿分的题型，首先熟练地记忆和使用小学所学的平面图形的周长和面积公式，然后掌握求阴影面积题的类型和方法，再注意计算的准确性和单位的换算，相信大家一定能很快的掌握.

呈现与练习

知识点一用间接法求阴影部分的面积

这种题型比较普遍，就是用整体的面积减去空白部分的面积等于阴影部分的面积；

知识点二利用底或者高之间的关系求三角形面积

①当底相等时，面积之比等于高之比；

②当高相等时，面积之比等于底之比，通过比值和已知的三角形面积求出未知三角形面积.

知识点三利用面积之间的等式性质求面积

有着和差关系的两部分图形面积，同时加上或者减去公共部分的面积，等式关系仍然成立；

知识点四利用割补形法求不规则图形的面积

求不规则图形的面积，可以通过补形，补成规则的图形，用总面积减去补形的面积等于所求；也可以用分割法，分割成规则的几部分面积相加；还可以用分割法后拼凑成规则的图形求解；

知识点五利用正方形的面积和圆的半径平方之间的关系，求解圆（环形）的面积

正方形的面积和圆的半径平方之间存在相等或者倍数的关系，找到关系，直接用公式求圆（环形）的面积；

知识点六多个弓形组成的不规则图形面积

求出一个弓形的面积，然后乘弓形个数.

题型一用间接法求阴影部分的面积

阴影部分是非规则或者无法直接运用公式求出时，我们可以用整体的面积减去空白部分的面积求得.

【例题1】难度★★

如图，两个正方形边长分别为9厘米、6厘米，求图中阴影部分面积.

【答案】31.5平方厘米

【解析】9×9+6×6=117（平方厘米）

9×9÷2=40.5（平方厘米）

6×（9+6）÷2=45（平方厘米）

117﹣45﹣40.5=31.5（平方厘米）

【小结】先求出两个正方形的面积，然后减去空白部分的面积，就可以得到阴影部分的面积.

【练习1】难度★★

如图：

ABCD是长8厘米、宽6厘米的长方形，AF长4厘米，求阴影部分的面积．

【答案】8平方厘米．

【解析】解：

8×6×

=24（cm2），

   8×4×

=16（cm2），

   24﹣16=8（cm2）；

答：

阴影部分的面积是8平方厘米．

【小结】解答此题的关键是弄清楚阴影部分的面积可以由哪些图形的面积差而求得．

【例题2】难度★★

求阴影部分的面积.（单位:

厘米）

【答案】1.14平方厘米

【解析】3.14×22÷4=3.14（平方厘米）

2×2÷2=2（平方厘米）

3.14﹣2=1.14（平方厘米）

【小结】先求出

圆的面积，减去等腰直角三角形的面积，就得到阴影部分弓形的面积.

【练习2】难度★★

如图（甲）、（乙），是两个边长相等的正方形，甲图以边为半径在正方形内画圆弧，联结对角线；乙图以各边为直径在正方形内画半圆，阴影部分的面积分别记为S甲、S乙，那么S甲和S乙的大小关系是：

S甲

S乙．（填“＞”、“=”或“＜”）

【答案】=

【解析】解：

设正方形的边长为1

S甲=3.14×12×

−1×1×

=3.14×1×

−

=0.785﹣0.5

=0.285

S乙=[3.14×（1÷2）2×2﹣1×1]÷2

=[3.14×0.25×2﹣1]÷2

=[1.57﹣1]÷2

=0.57÷2

=0.285

所以，S甲=S乙．

【小结】解答求组合图形的面积，关键是观察分析图形是由哪几部分组成的，是求各部分的面积和、还是求各部分的面积差，再根据相应的面积公式解答．

【例题3】难度★

求图中阴影部分的面积.（单位:

厘米）

【答案】0.86平方厘米

【解析】2×2=4（平方厘米）

3.14×12=3.14（平方厘米）

4﹣3.14=0.86（平方厘米）

【小结】此题考查间接法求阴影面积，空白部分可以拼成半径为1的圆，用正方形的面积减去圆的面积就能求出阴影部分的面积.

【练习3】难度★

求阴影部分的面积.（单位:

厘米）

【答案】

平方厘米

【解析】3+1=4（厘米）

3.14×（42﹣32）×

=

（平方厘米）

【小结】此题考查环形面积的部分扇形，用环形面积公式乘以扇形占大圆形的分率.

【例题4】难度★★

下图中梯形的面积为40平方厘米.求图中阴影部分的面积.

【答案】6.28平方厘米

【解析】40×2÷（8+12）=4（厘米）

4÷2=2（厘米）

3.14×42÷4=12.56（平方厘米）

3.14×22÷2=6.28（平方厘米）

12.56﹣6.28=6.28（平方厘米）

【小结】此题是综合题目，需要体会到梯形的高正好是半圆的直径、四分之一圆的半径.

【练习4】难度★

已知BE=6dm，EC=4dm，求图中阴影部分的面积.

【答案】24dm2

【解析】（6+4）×（6+4）÷2=50（dm2）

6×6÷2=18（dm2）

4×4÷2=8（dm2）

50﹣18﹣8=24（dm2）

【小结】根据等腰直角三角形的两腰相等，可以得到梯形的上底和下底，再根据梯形的面积公式求得梯形面积，减去两个等腰三角形的面积就得到了阴影部分的面积.

【例题5】难度★★★

计算下面图中阴影部分的周长和面积

【答案】19.716.82

【解析】周长：

6﹣4=2

3.14×6×2÷4=9.42

3.14×4×2÷4=6.28

9.42+6.28+2+2=19.7

面积：

3.14×62÷4=28.26

3.14×42÷4=12.56

6×4=24

28.26+12.56﹣24=16.82

【小结】阴影部分的周长是由四分之一的小圆弧长、四分之一的大圆弧长加2构成；阴影部分的面积等于四分之一大圆面积加四分之一小圆面积减去长方形的面积.

【练习5】难度★★★

下图三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米，以AC、BC分别为直径画半圆，两个半圆的交点D在AB边上，求阴影部分的面积.

【答案】3.85平方厘米

【解析】4÷2=2（厘米）

2÷2=1（厘米）

3.14×22÷2=6.28（平方厘米）

3.14×12÷2=1.57（平方厘米）

4×2÷2=4（平方厘米）

6.28+1.57﹣4=3.85（平方厘米）

【小结】阴影部分的面积是大半圆的面积+小半圆的面积﹣直角三角形的面积

题型二利用底或者高之间的关系求三角形面积

三角形同底等高或者等底等高时面积相等；三角形的底相等时，面积之比等于高之比；三角形的高相等时，面积之比等于底之比.两个正方形的组合图形求阴影三角形面积时注意可以通过同底等高的思路转化去求面积相等的三角形面积

【例题6】难度★★

下图中，BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积.

【答案】18平方厘米

【解析】BO=2DO

三角形CDO的面积：

（平方厘米）

三角形ADO的面积：

4平方厘米

三角形ABO的面积：

（平方厘米）

梯形面积：

（平方厘米）

【小结】此题考查等高三角形的面积之比等于底之比，根据底之比求出个三角形的面积，然后求出梯形的面积.

【练习6】难度★★

如图，已知BO=2DO，CO=5AO，阴影部分面积和是11平方厘米，求四边形ABCD的面积.

【答案】18平方厘米

【解析】BO=2DO，CO=5AO

S△AOB=2S△AOD，S△COB=5S△AOB=10S△AOD

S△COD=5S△AOD，

S△AOD+S△COB=11（平方厘米），S△AOD=1平方厘米

S四边形ABCD=S△AOD+S△AOB+S△COB+S△COD

S四边形ABCD=18S△AOD=18（平方厘米）

【小结】此题考查等高三角形的面积之比等于底之比，根据底之比求出个三角形的面积，然后求出四边形的面积.

【例题7】难度★★

下图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积.

【答案】18

【解析】6×6÷2=18

【小结】三角形ABC和三角形ABE同底等高，所以面积相等，所以求三角形ABC的面积转化成求三角形ABE的面积就很容易了.

【练习7】难度★★

下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积.

【答案】8平方厘米.

【解析】4×4÷2=8（平方厘米）

【小结】三角形ABC和三角形BCD同底等高，所以面积相等.

题型三面积之间的等式性质

有和差关系的两部分面积，同时加上或者减去相同的面积，和差关系仍然成立

【例题8】难度★★

将直角三角形ABC向右平移6厘米，再向下平移1.5厘米，得到一个图形如图，已知三角形的底边BC长

13厘米，求阴影部分的面积.

【答案】15平方厘米

【解析】13﹣6=7（厘米）

（7+13）×1.5÷2=15（平方厘米）

【小结】两个面积相等的三角形减去公共部分的面积，剩余面积相等，将求阴影部分的面积转化成求另一梯形面积.

【练习8】难度★★

（师达中学小升初真题）在三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=10厘米，A为扇形AEF的圆心，且阴影

部分①与②面积相等，求扇形所在圆的面积.

【答案】400平方厘米

【解析】解：

10×10÷2÷

=100÷2÷

=50÷

，

=400（平方厘米），

答：

扇形所在的圆的面积为400平方厘米．

【小结】解答此题的关键是利用等量代换计算扇形的面积，然后再用扇形的面积除以扇形的圆心角占整个圆心角的分率即是扇形所在圆的面积．

【例题9】难度★★

长方形ABCD的面积是24平方厘米，三角形EBC的面积是30平方厘米，两块阴影部分的面积相差多少

平方厘米?

【答案】6平方厘米

【解析】30﹣24=6（平方厘米）

【小结】长方形的面积等于三角形ABF加梯形空白面积，三角形EBC的面积等于三角形EFD加梯形空白面积，所以两个阴影部分的面积差就等于三角形EBC与长方形的面积差

【练习9】难度★★

三角形EBC的面积是40平方厘米，且阴影部分面积比三角形EFG的面积大10平方厘米.求平行四边形

ABCD的面积？

【答案】50平方厘米

【解析】40+10=50（平方厘米）

【小结】平行四边形ABCD的面积等于阴影部分面积加梯形GFBC的面积，三角形EBC的面积等于三角形GFE的面积加梯形GFBC的面积，所以阴影部分与三角形GFE的面积差就是平行四边形ABC与三角形EBC的面积差.

【例题10】难度★★★

如图，长方形ABCD，△ABM，△DCN的面积分别为10，15，求阴影部分的面积．

【答案】25

【解析】10+15=25

【小结】阴影部分的面积+三角形AMF的面积+三角形FND的面积=

长方形面积

三角形AMB的面积+三角形AMF的面积+三角形FND的面积+三角形DNC的面积=

长方形面积

阴影部分的面积=三角形AMB的面积+三角形DNC的面积.

【练习10】难度★★★

如图，长方形ABCD的长BC是20厘米，EF的长是8厘米，长方形中阴影部分的面积是平方厘米．

【答案】160平方厘米．

【解析】解：

三角形BCD与三角形BGC是两个等底等高的三角形，都等于这个长方形的面积的一半，

三角形ABD=三角形ABG+三角形DEG+三角形BGE；

三角形BCG=三角形BEC+三角形BGE；

都减去重合部分的三角形BGE可得：

三角形ABG+三角形DEG=三角形BEC

由此可得图中阴影部分的面积就是三角形BCE的面积的2倍

根据题干分析可得：

上面的两处阴影部分的面积与下面的阴影部分三角形BCE的面积相等，

所以阴影部分的面积是：

20×8÷2×2=160（平方厘米），

答：

阴影部分的面积是160平方厘米．

【小结】组合图形的面积一般都是转化到已知的规则图形中利用公式计算，此题要注意利用图形中的等量关系．

题型四利用割补形法求不规则图形的面积

1、不规则图形补形法：

用补形后规则的图形面积减去补上部分的面积等于所求不规则图形的面积；

2、不规则图形的分割法：

通过添加辅助线将不规则图形分割成规则图形，然后面积相加；

3、不规则图形的割补法：

分割不规则的图形，然后拼凑成容易求解的图形.

【例题11】难度★★★

∠B=∠D=90°，∠A=45°，AD=12厘米，BC=4厘米，求四边形ABCD的面积.

【答案】64平方厘米

【解析】延长AB、CD相交于点E,则△ADE和△BCE都是等腰直角三角形，

S△ADE=12×12÷2=72（平方厘米）

S△BCE=4×4÷2=8（平方厘米）

S四边形ABCD=72﹣8=64（平方厘米）

【小结】此题考查补形法，用大的等腰三角形的面积减去小的等腰三角形的面积就等于四边形的面积.

【练习11】难度★★

把一个圆拼成一个近似长方形（如下图），

（1）如果这个长方形的周长是33.12厘米，求阴影部分的面积

（2）如果这个圆的周长是25.12厘米，求阴影部分的周长

【答案】33.12厘米

【解析】设圆的半径为r

2（πr+r）=33.12

r=33.12÷8.28=4（厘米）

S阴=

πr2=37.68（平方厘米）答：

阴影部分的面积是37.68平方厘米.

25.12÷3.14÷2=4（厘米）

3.14×4×2+3.14×4×2×

=31.4（厘米）

答：

阴影部分的周长是31.4厘米.

【小结】根据已知条件圆的面积和长方形的面积相等，所以阴影部分的面积就是四分之三的圆面积，长方形的长就等于圆周长的一半

【例题12】难度★★

下图中阴影部分的周长和面积分别是多少？

【答案】94.2114

【解析】周长：

3.14×20=62.8

3.14×20×2÷4=31.4

62.8+31.4=94.2

面积：

3.14×20×20÷4=314

20×20÷2=200

314﹣200=114

【小结】阴影部分的周长可以看成是直径20的整圆周长加上半径20的四分之一扇形弧长之和；阴影部分面积可以用分割法，用半径是20的四分之一圆面积减去腰长是20的等腰直角三角形的面积即可

【练习12】难度★★

图中四个等圆的周长都是50.24厘米，求阴影部分的面积.

【答案】200.96平方厘米

【解析】50.24÷3.14÷2=8（厘米）

3.14×82=200.96（平方厘米）

【小结】四边形的内角和是360°，四部分扇形面积拼在一起整好是一个整圆.

【例题13】难度★★

（师达中学小升初真题）小敏用7cm长的半径画了三个圆，并且每个圆都过另外两个圆的圆心（如图所示）.她想求出圆中阴影部分面积的和，但不知如何下手，你能帮助她解决吗？

（圆周率π取

）

【答案】

cm2

【解析】解：

连接AD，BD，BE，EC，DE，EF，如图：

由题意得，S阴影=3×S扇形=3×

=

×

=

cm2

【小结】本题考查了扇形面积的计算，本题的关键是得到每一块阴影部分的面积=正三角形的面积+两个弓形面积﹣一个弓形面积=扇形面积.

【练习13】难度★★

如图，圆内接一个边长为a的正方形，分别以正方形各边为直径向正方形外作半圆，则四个半圆与正方形外接圆的四条弧围成的四个新月形的面积为.

【答案】a2.

【解析】解：

根据以上分析四个新月形的面积是：

4×

×π×（

）2+a2﹣

a2π，

=

a2π+a2﹣

a2π，

=a2．

故答案为：

a2．

【小结】本题的关键是求出大圆的面积，再用四个半圆的面积加正方形的面积，再减大圆的面积．

【例题14】难度★★

如下图，已知四条线段长分别是AB=2，CE=6，CD=5，AF=4，并有两个直角，求四边形ABCD的面积.

【答案】16

【解析】连接AC

5×4÷2=10

6×2÷2=6

10+6=16

【小结】此题考查分割法，可以将不规则图形分割为两个常规的图形来求解.

【练习14】难度★★

下图阴影部分面积.

【答案】22.26

【解析】

4×6÷2=12

6×6÷2=18

3.14×62÷4=28.26

28.26﹣18=10.26

10.26+12=22.26

【小结】此题考查分割法，需把阴影部分分割成两部分，一部分是底是4高是6的三角形，一部分是半径是6的弓形

题型五利用正方形的面积和圆的半径平方之间的关系，求解圆（环形）的面积

此类题型是在求圆（环形）的面积时，我们不需要求出半径是多少，可以通过正方形的面积或者正方形的面积差得到半径的平方或者半径的平方差是多少

【例题15】难度★★★

如下图，阴影部分的面积是40平方厘米，求环形的面积.

【答案】125.6平方厘米

【解析】3.14×40=125.6（平方厘米）

【小结】此题重点需要理解圆环面积，大圆半径的平方减去小圆半径的平方正好等于阴影部分的面积.

【练习15】难度★★★

图中阴影部分面积是50平方厘米，求环形的面积是多少平方厘米？

【答案】157平方厘米

【解析】3.14×50=157（平方厘米）

【小结】此题重点需要理解圆环面积大圆半径的平方减去小圆半径的平方正好等于阴影部分的面积.

题型六等腰直角三角形中多个弓形组成的不规则图形

此类题型是要根据等腰直角三角形的性质利用间接法求出一个弓形的面积，然后乘以弓形的个数即可.

【例题16】难度★★★

求阴影部分的面积（单位：

cm）

【答案】7.695cm2

【解析】

6÷2=3（cm）

3.14×3×3÷2=14.13（cm2）

6×3÷2=9（cm2）

（14.13﹣9）÷2=2.565（cm2）

3.14×6×6÷4=28.26（cm2）

6×6÷2=18（cm2）

28.26﹣18﹣2.565=7.695（cm2）

【小结】此题中阴影面积需要用间接法去求，用四分之一圆的面积减去空白部分的面积即可，注意需要添加一条辅助线来求解.

【练习16】难度★★★

已知直角三角形面积是12平方厘米，求阴影部分的面积.

【答案】5.13平方厘米

【解析】

12÷2=6（平方厘米）

12×2=24（平方厘米）

3.14×24÷4÷2=9.42（平方厘米）

（9.42﹣6）÷2×3=5.13（平方厘米）

【小结】此题考查的是用分割法求阴影部分的面积，需要知道等腰三角形面积与半圆半径的平方之间的关系

小结

1.用间接法求阴影部分的面积；

2.根据底或者高之间的关系求阴影部分的面积；

3.割补法求阴影部分的面积；

4.根据已知面积和阴影面积之间的关系求阴影面积；

5.有和差关系的面积同时加减公共的面积和差关系仍成立的图形面积求解；

6.正方形的面积和半径的平方有关系的图形面积求解.

出门考

难度★

1、下图每个小正方形的面积都为3平方厘米，计算图中阴影部分的面积.

【答案】4.5平方厘米

【解析】3×3÷2=4.5（平方厘米）

【小结】将下面小正方形的一半补形到左边的小正方形.

难度★

2、下图中，正方形的边长是2厘米，四个圆的半径都是1厘米，圆心分别是正方形的四个顶点.求出阴影部分的面积.

【答案】0.86平方厘米

【解析】2×2﹣3.14×12=0.86（平方厘米）

【小结】用正方形的面积减去一个圆的面积就是阴影部分的面积.

难度★★

3、已知阴影部分的面积是8平方厘米，求圆的面积.

【答案】50.24平方厘米

【解析】8×2=16（平方厘米）

3.14×16=50.24（平方厘米）

【小结】此题的关键是要找到阴影部分面积与圆半径平方之间的关系.

难度★★

4、如图，大正方形边长为8厘米，小正方形边长为6厘米，求阴影部分的面积.

【答案】32平方厘米

【解析】8×8÷2=32（平方厘米）

【小结】三角形ADC和三角形DBC同底等高，所以面积相等.

牛刀小试

难度★★

1、如右图.正方形ABGD与正方形EFCG并放在一起.已知小正方形EFCG的边长是6，求三角形AEC（阴影部分）的面积.

【答案】18

【解析】6×6÷2=18

【小结】三角形AEC与三角形EGC同底等高，所以面积相等.

难度★★

2、求图中阴影部分的面积.

【答案】42.39

【解析】3.14×92×

=42.39

【小结】此题需要理解将上边半圆里阴影部分的面积转化到下边半圆空白部分的面积，阴影部分的面积就是求半径是9的六分之一圆的面积.

难度★