致远管理学院 实验设计7.docx

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致远管理学院实验设计7

致远管理学院

工业管理学系

课程：

实验设计

主讲人：

林东成助理教授

时间：

2002/9/**~2003/1/**

參考資料

1.DouglasC.Montgomery,DesignandAnalysisofExperiments,5thEdition,JohnWiley&Sons,Inc.

2.黎正中译，实验设计与分析，高立图书有限公司。

3.白赐清编着，工业实验计划法，中华民国质量学会发行。

4.吴玉印着，新版实验计划法，中兴管理顾问发行。

5.陈耀茂译，田口实验计划法，沧海书局。

6.吴柏林着，现代统计学，五南图书出版公司。

7.陈顺宇、郑碧娥着，统计学，华泰书局。

8.王文中着，Excel于资料分析与统计学上的应用，博硕文化股份有限公司。

授课目录

第1章简介

第2章简单比较性的实验

第3章一因子实验：

变异数分析

第4章随机化集区，拉丁方阵，与相关设计

第5章因子设计简介

第6章2k因子设计

第7章2k因子设计的集区划分与交络

第8章2水平部份因子设计

第9章3水平与混合水平因子和部份因子设计

第10章配适回归模式

第11章反应曲线法与其他制程优化法

第12章有随机因子之因子实验

第13章套层及分裂图设计

第14章其他设计与分析题目

第7章2k因子設計的集區劃分與交絡

Chap7.BlockingandConfoundinginthe2kFactorialDesign

7-1简介（Introduction）

有多种情况实验者无法在均一的条件下进行2k因子实验的所有试验，如原料不足、或故意改变实验条件，以确保处理于实际上可能遇到的状况能一样地有效（i.e.,即稳健的）。

此种情况用到的设计技巧是集区划分（Blocking），本章集中于2k因子设计的一些特殊的集区划分技巧。

7-2集区划分一个反复的2k因子设计

（BlockingaReplicated2kFactorialDesign）

假设2k因子设计反复n次，此情况与第5章讨论的完全相同，每一种不同的条件就是一个集区，而每个反复就在集区内，在各个集区（或反复）的试验以随机顺序进行。

**************

范例7-1

考虑在6-2节所描述一反应浓度（ReactionConcentration）和触媒量（Catalyst）对化学反应过（制）程合格率效果的研究。

假设单一批原料只容纳4次试验，所以，需要3批原料来进行3次反复，其中每一原料批对应到一个集区，

SSblock=

Bi2/4-y2/12=6.50

由ANOVA分析，集区效果不显著。

****************

7-32k因子设计的交络（Confoundinginthe2kFactorialDesign）

许多情况是在一个集区里进行一次完整的2k因子设计是不可能的。

交络（Confounding）是一个设计技巧，可安排一个完整的因子实验到数个集区，其中集区的大小是小于一次反复中处理组合的个数，此技巧造成某些处理效果（通常指高阶交互作用）的信息成为无法区分于（In-distinguishablefrom）或交络于（Confoundedwith）集区效果。

本章集中于2k因子设计的交络系统。

7-42k因子设计交络于2个集区

（Confoundingthe2kFactorialDesigninTwoBlocks）

假设进行一个未反复的2k因子设计，22=4种处理组合均需要一些原料，而每一批原料只够试验2个处理组合，因此共需2批原料，倘将原料批视成集区，则须指订4种处理组合中的2种到每一个集区里。

（a）

几何上视之

（b）置于2集区里的4个试验

图7-12集区之2k因子设计

上图（a）显示相对对角的处理组合被安置到不同的集区，图（b）视出集区1包含处理组合

（1）与ab、集区2包含处理组合a与b，当然，在集区里处理组合的试验顺序是随机决定的，且随机决定集区顺序。

则A与B的主效果（与似无发生集区般）为，

A=[ab+a-b-

（1）]/2

B=[ab+b-a-

（1）]/2

A与B均无受到集区划分的影响，因为上式中各有来自每个集区的一个正的与一个负的处理组合，亦即，集区1与集区2之间的任何差异均被抵消矣。

续考虑AB交互作用效果

AB=[ab+

（1）-a-b]/2

因2个正号的处理组合[ab与

（1）]在集区1里、而2个负号的处理组合[a与b]在集区2里，集区效果与AB交互作用效果是完全相等的，亦即，AB是交络于集区。

此理由可从2k设计的正负符号表明显视出，

处理

组合

因子效果

A

B

AB

（1）

+

-

-

+

a

+

+

-

-

b

+

-

+

-

ab

+

+

+

+

这作法可用来交络任何效果（A，B或AB）于集区。

如

（1）与b指订到集区1及a与ab指订到集区2，则A的主效果将被交络于集区。

一般是将最高阶交互作用效果交络于集区。

上述作法可用来交络任何2k设计于2个集区。

建构集区的其他方法

（OtherMethodsforConstructingtheBlocks）

此为利用线性组合，

L=1x1+2x2+…+kxk（7-1）

其中xi是出现在处理组合中第i个因子的水平，与i是要被交络的效果中第i个因子的幂次（Exponent）。

对2k系统，i=0或1，及xi=0（低水平）或xi=1（高水平）。

式（7-1）称之为定义对比（DefiningContrast），会产生相同L（Mod2）的可能值只有0与1，如此指订2k个处理组合正好到2个集区里。

兹考虑23设计而且交络ABC于集区，在此x1对应A、x2对应B、x3对应C，与1=2=3=1，因此，对应于ABC的定义对比为，

L=x1+x2+x3

因此处理组合

（1）在（0,1）的符号表示下为000；所以，

L=1（0）+1（0）+1（0）=0=0（Mod2）

同理，处理组合a为100；所以，

L=1

（1）+1（0）+1（0）=1=1（Mod2）

故

（1）与a将分属不同的集区。

对于其他的处理组合，

b:

L=1（0）+1

（1）+1（0）=1=1（Mod2）

ab:

L=1

（1）+1

（1）+1（0）=2=0（Mod2）

c:

L=1（0）+1（0）+1

（1）=1=1（Mod2）

ac:

L=1

（1）+1（0）+1

（1）=2=0（Mod2）

bc:

L=1（0）+1

（1）+1

（1）=2=0（Mod2）

abc:

L=1

（1）+1

（1）+1

（1）=3=1（Mod2）

所以，

（1）,ab,ac,bc属于集区1；a,b,c,abc属于集区2，这与用正负符号表所产生的设计完全相同。

另一种建构这些设计的方法，包含处理组合

（1）的集区称之为主集区（PrincipalBlock），在此集区里的处理组合有一个很有用的群理论性质（Group-TheoreticProperty），即它们以乘法Mod2的运算而形成之一”群”（Group），此意谓着主集区内的任何元素[除

（1）外]可由主集区内任2个元素（处理组合）相乘法的Mod2得到，如ABC交络之23设计在2个集区的主集区，

abac=a2bc=bc；abbc=ab2c=ac；

acbc=abc2=ab

因此主集区的元素为

（1）,ab,ac,bc。

而另一集区，可由一个非主集区的元素（处理组合）乘以主集区的每一个元素Mod2产生。

其中，b是在另一集区里，故另一集区的元素为，

b

（1）=b；bab=ab2=a；bac=abc；

bbc=b2c=c

其结果与先前得到的一致。

误差的估计（EstimationofError）

当因子数目很小时（2k，LevelFactor），如k=2或3，通常有必要反复实验以获得一个误差估计值。

如23因子实验必须以2个集区来进行且ABC被交络，实验者决定反复设计4次，如下图，

图7-3反复4次ABC被交络之23设计

此设计总共32个观测值和31个自由度，有8个集区即7个自由度，此7个自由度分解为A=B=C=AB=BC=AC=ABC=1，而误差平方为反复与因子效果（A,B,C,AB,AC,BC）之二者交互作用。

考虑视交互作用为零且将其均方作为误差估计值的作法是成立的，此均方误差可以检定主效果与2-因子交互作用效果。

ANOVA---反复4次且交络ABC之23设计

变源

自由度

反复

3

集区（ABC）

1

ABC的误差（反复集区）

3

A,B,C,AB,AC,BC各

1

误差（反复效果）

18

总和

31

倘实验资源允许反复的交络设计，较佳方式是稍微以不同方式来设计各个反复的集区，此方式包括在每个反复中交络不同的效果，使得所有的效果都能有一些信息，此法称之为部分交络（PartialConfounding）。

倘k不算太小，即k4，且只一次反复时，实验者常假设高阶交互作用效果是可忽略的，并将其平和合并为误差。

范例7-2

回顾再续范例6-2，一个化学产品于一压力槽内生产，在实验工厂进行因子实验来研究产品的过滤比率（FiltrationRate），4个因子为温度（A）、压力（B）、甲醛浓度（C）、与搅拌速度（D），各因子均有2水平，单次反复。

有兴趣于极大化过滤比率。

用此实验来说明一个未反复设计集区划分与交络的概念，假设24=16种处理组合无法利用一批原料进行所有的试验，实验者由一批原料可以试验8个处理组合，所以一个24交络于2个集区的设计是适当的，且交络最高阶交互作用效果（ABCD）于集区。

******************

假设二批原料中有一批的质量低劣，造成所有的反应值均比用另一批原料所得值低20，即原始反应值减去20，低劣质量原料是集区1与良好质量原料批为集区2。

计算结果，

◎4个主效果、6个2-因子交互作用效果、4个3-因子交互作用效果的估计值均与无集区效果的例6-2所得之效果估计值完全相同。

当划出这些效果估计值的常态机率图时，因子A、C、D与AC、AD交互作用为显著重要效果。

◎ABCD交互作用效果的估计值原为1.375，但在此实验其估计值为-18.625，因ABCD交络于集区，ABCD交互作用效果的估计值是原1.375加上区集效果（-20），即ABCD=1.375+（-20）=-18.625。

集区效果亦可由二个集区平均反应差得之，即

集区效果=

=406/8–555/8=-18.625

所以，此效果真正估计=集区+ABCD

◎此实验倘非以集区方式进行，且前8次试验均减去20，则结果可能会非常不同。

7-52k因子设计交络于4个集区

（Confoundingthe2kFactorialDesigninFourBlocks）

建构一个交络于4个集区而每个集区有2k-2个观测值的2k因子设计是有可能的，这种设计对于因子个数k4而集区大小却相当小时特别有效。

兹考虑25设计，如每个集区只能容纳8次试验，则需要4个集区，选出2个效果交络于集区，如ADE与BCE，此二个效果所对应之定义对比为，

L1=x1+x4+x5

L2=x2+x3+x5

则每一个处理组合会产生一个L1（Mod2）与L2（Mod2）的特定成对值，即（L1,L2）=（0,0）,（0,1）,（1,0）,或（1,1），产生相同的（L1,L2）值的处理组合将被指订至同一集区，如，

L1=0,L2=0

（1）,ad,bc,abcd,ab,ace,cde,bde

L1=1,L2=0a,d,abc,bcd,be,abde,ce,acde

L1=0,L2=1b,abd,c,acd,abce,ae,bcde,de

L1=1,L2=1e,ade,bce,ab,abcde,bd,ac,cd

图7-5交络ADE,BCE与ABCD之4个集区之25设计

仔细思量，除了ADE与BCE外，尚有另一个效果被集区交络，因4个集区有3个自由度，而ADE与BCE各有1个自由度，明显地另有一个1个自由度的效果亦被交络矣，此即ADE与BCE的广义交互作用（GeneralizedInteraction），其定义为ADE与BCE的乘积Mod2，因此，ADE与BCE的广义交互作用为（ADE）（BCE）=ABCDE2=ABCD，且亦交络于集区。

注意，对某个特定集区里的任何2个效果的符号相乘（e.g.,ADE与BCE）带来该集区另一个效果的符号（即ABCD）。

因此，ADE，BCE与ABCD都是交络于集区。

由25设计的正负符号，可知处理组合被指派至集区如下

处理组合在

ADE的符号

BCE的符号

ABCD的符号

集区1

-

-

+

集区2

+

-

-

集区3

-

+

-

集区4

+

+

+

在上节7-4中提及之主集区的群理论性质仍成立，主集区里的2个处理组合的乘积产生主集区里的另一个元素，亦即，如，

adbc=abcd；abebde=ab2de2=ad

要建构另一集区，则选一个不在主集区里之处理组合（如b）与主集区里的处理组合乘以b，则，

b

（1）=b；bad=abd；

bbc=c；babcd=acd

如此会产生集区3里之8个处理组合。

实务上，主集区可以从定义对比与群理论性质得到，而其他集区之处理组合由上述方法决定。

建构一个4集区的2k设计的一般步骤：

◎选择2效果与集区交络，自然会有第3个效果（即是前2个的广义交互作用）与集区交络，

◎利用2个定义对比（L1,L2）与主集区的群理论性质来建构所要的设计，

◎在选择交络于集区之效果时务必谨慎，以免有兴趣的效果被交络。

牺牲3因子交互作用的信息比牺牲2因子交互作用更合意

（ADE与BCEABCD；ABCDE与ABDCE）

7-62k因子设计交络于2p个集区

（Confoundingthe2kFactorialDesignin2pBlocks）

上述方法可扩至建构一个交络于2p（p

另外，恰有2p-p-1个其他效果亦被交络，即初选之p个独立效果的广义交互作用，当然，选出p个独立交络效果时须谨慎，以免一些有兴趣之效果被交络矣。

这些设计之统计分析，即所有效果平方和的计算如无集区划分般，而集区平方和则为被交络效果平方和之和。

假设建构一个26设计而交络在23=8个集区，且每个集区有8个试验，兹选ABEF,ABCD,与ACE作为p=3个独立将被集区交络之效果，同时亦有2p-p-1=23-3-1=4效果被交络，即这些为3个（ABEF,ABCD,与ACE）之广义交互作用，则为，

（ABEF）（ABCD）=A2B2CDEF=CDEF

（ABEF）（ACE）=A2BCE2F=BCF

（ABCD）（ACE）=A2BC2DE=BDE

（ABEF）（ABCD）（ACE）=A3B2CDE2F=ADF

7-7部份交络（PartialConfounding）

除非实验者有一个误差的事先估计值，或假设某些交互作用可忽略，否则必须反复设计以得到一个误差的估计值，

如23因子实验必须以2个集区来进行且ABC被交络，实验者决定反复设计4次，如下图，

图7-3反复4次的ABC被交络之23设计

由上图（7-3）与其ANOVA表知，交互作用ABC的信息是完全丧失，因每次反复中ABC均与集区交络，此称之为完全交络（CompletelyConfounded）。

图7-6部份交络之23设计

如上图（7-6），仍是23因子实验，反复设计4次，但每次反复所交络的交互作用却不一样，如，

◎反复1交络ABC、反复2交络AB、反复3交络BC、反复4交络AC，

◎ABC的信息可由反复2,3,4数据得知、AB的信息可由反复1,3,4数据得知、AC的信息可由反复1,2,4数据得知、AC的信息可由反复1,2,3资料得知。

称此可得到3/4信息的交互作用，因为4次反复中有3次反复无被交络，Yates（1937）称比值3/4为交互作用的相对信息（RelativeInformationfortheConfoundedEffect），此设计称之为部分交络（PartialConfounding）。

另其ANOVA表如下，

ANOVA---反复4次且比值3/4交络之23设计

变源

自由度

反复

3

反复内的集区[或ABC（rep.1）+AB（rep.2）+BC（rep.3）+AC（rep.4）]

4

A,B,C各

1

AB（从反复1,3,4）

1

AC（从反复1,2,3）

1

BC（从反复1,2,4）

1

ABC（从反复2,3,4）

1

误差

17

总和

31

***************

范例7-3---一个部份交络之23设计

考虑范例6-1，探讨有关碳酸百分比（A）、操作压力（B）、速度（C），对碳酸饮料充填高度影响之研究，假设每一批糖浆只能测试4种处理组合，因此，每一次23设计之反复须在2个集区里进行，计反复2次，反复

交络ABC、反复

交络AB，其资料如下，

经ANOVA分析，三个主效果均显著的。

**********************