三角形学案.docx

三角形学案.docx

《三角形学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形学案.docx（21页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

三角形学案

平行线、相交线

（一）【知识梳理】

1.直线、射线、线段之间的区别与联系：

直线有个端点，可无限延伸；射线有个端点，可无限延伸；

线段有个端点，无限延伸。

联系：

射线是的一部分；线段是的一部分，也是的一部分．

2.直线和线段的性质：

（1）直线的性质：

①经过两点直线，即两点确定一条直线；

②两条直线相交，有交点.

（2）线段的性质:

两点之间的所有连线中，，即两点之间，．

3.角的定义：

有公共端点的所组成的图形叫做角；角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．

（1）角的度量：

把平角分成180份，每一份是1°的角，1°=60′，1′=60″

（2）角的分类：

____________

（3）相关的角及其性质：

①余角：

____，那么称这两个角互为余角．

②补角：

____，那么称这两个角互为补角．

③对顶角性质：

____

④互为余角的有关性质：

____

⑤互为补角的有关性质：

____

（4）角平分线：

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．

4.同一平面内两条直线的位置关系是：

相交或平行

5.对“三线八角”的认识有角、__角、角。

8.平行线的定义：

在同一平面内．的两条直线是平行线。

6.平行线的性质：

（1）两条平行线被第三条直线所截，角相等，角相等，

互补．

（2）过直线外一点直线和已知直线平行．（3）两条

平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，长度就是两条平行线之间的距离.

9.如果两条直线都与第三条直线平行，那么．

10.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线；如果内错

角相等．那么这两条直线；如果同旁内角互补，那么这两条直线．这三

个条件都是由角的（相等或互补）来确定直线的（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角．

（二）：

【课堂练习】

1.如果线段AB=5cm，BC=3cm，那么A、C两点间的距离是（）

A．8cmB、2㎝C．4cmD．不能确定

2.计算：

⑴132°19′42″+26°30′28″=_____⑵34.51°=度分秒．

⑶92o3″－55°20′44″=_______；⑷33°15′16″×5=_____

3.下列说法中正确的个数有（）

①线段AB和线段BA是同一条线段；②射角AB和射线BA是同一条射线；③直线AB和直线BA是同一条直线；④射线AC在直线AB上；⑤线段AC在射线AB上．

A．1个B．2个C．3个D．4个

4.如图，直线a∥b，则∠ACB＝________

5.如果一个角的补角是150○，那么这个角的余角是____________

（三）：

【经典考题】

1.已知线段AB=20㎝，C为AB中点，D为CB上一点，E为DB的中点，且EB=3㎝，则CD=________cm．

2.如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）

A．0个B．l个C．2个D．3个

3.如图，AB∥EF∥DC，EG∥BD，则图中与∠1相等的角共有（）

A．6个B．5个C．4个D．2个

4.如图，直线AD与AB、CD相交于A、D两点，EC、BF与

AB、CD交于点E、C、B、F，且∠l=∠2，∠B=∠C，

求证：

∠A=∠D．

5.已知：

如图，CD⊥AB于D，E是BC上一点，EF⊥AB于F．∠l=∠2．

问：

∠AGD与∠ACB有何数量关系？

6.如图，

，

，

，则

=。

7.用不同的方法证明三角形内角和定理。

8.已知边长为

的正三角形

，两顶点

分别在平面直角坐标系的

轴、

轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是．

三：

【课后训练】

5.已知：

△ABC的两边AB=3cm，AC=8cm．

（1）求第三边BC的取值范围；

（2）若第三边BC长为偶数，求BC的长；

（3）若第三边BC长为整数，求BC的长

6.如图，已知∠AOC与∠B都是直角，∠BOC=59○．

（1）求∠AOD的度数；

（2）求∠AOB和∠DOC的度数；

（3）∠AOB与∠DOC有何大小关系；

（4）若不知道∠BOC的具体度数，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？

7.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，交CD于点G，

∠1=50○求∠2的度数．

8.如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，D、F为垂足，G是AB上一点，且∠l=∠2．

求证：

∠AGD=∠ABC．

3.将一长方形纸片，按图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD

的度数为（）

A．60°B．75°C．90°D．95°

2.如图所示，AC为一条直线，O是AC上一点，∠AOB＝120°

OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC，．

（1）求∠EOF的大小；

（2）当OB绕O旋转时，OE、OF仍为∠AOB和∠BOC平分线，问：

OF、OF有怎样的位置关系？

用一句话概括出这个命题________________________________________________________

10.根据补角和余角的定义可知：

10○的补角是170○，余角为80○；15○的补角是165○，余角为75○；40○的补角是140○，余角为50○；52○的补角为128○，余角为38○……观察以上几组数据，你能得出怎样的结论？

请用任意角α代替题中的10○，15○，40○，52○，来说明你的结论．

4.如图所示，在△ABC中，∠A＝50°，BO、CO分别平分

∠ABC和∠ACB．求∠BOC的度数．

四：

【课后小结】

三角形

（一）：

【知识梳理】

1.三角形中的主要线段

（1）三角形的角平分线：

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的

顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

（2）三角形的中线：

连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．

（3）三角形的高：

从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．

（4）三角形的中位线：

连接三角形两边的中点的线段。

2.三角形的边角关系

（1）三角形边与边的关系：

三角形中两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边；

（2）三角形中角与角的关系：

三角形三个内角之和等于180o．

3.三角形的分类

（1）按边分：

（2）按角分：

4.特殊三角形

（1）直角三角形性质

①角的关系：

∠A+∠B=900；②边的关系：

③边角关系：

；④

⑤

；⑥

（2）等腰三角形性质

①角的关系：

∠A=∠B；②边的关系：

AC=BC；③

④轴对称图形，有一条对称轴。

（3）等边三角形性质

①角的关系：

∠A=∠B=∠C=600；②边的关系：

AC=BC=AB；

③

；④轴对称图形，有三条对称轴。

（4）三角形中位线：

5.特殊三角形的判定[略]

6.两个重要定理：

（1）角平分线性质定理及逆定理：

角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心）

（2）垂直平分线性质定理及逆定理：

线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）

（二）：

课堂练习

1.三角形中，最多有一个锐角，至少有_____个锐角，最多有______个钝角（或直角），三角形外角中，最多有______个钝角，最多有______个锐角．

2.两根木棒的长分别为7cm和10cm，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm的范围是__________

3.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（）

A．1cm，2cm，4cmB．8crn，6cm，4cm

C．12cm，5cm，6cmD．2cm，3cm，6cm

4.等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，则此三角形的周长是（）

A．15cmB．20cmC．25cmD．20cm或25cm

5.一个三角形三个内角之比为1：

1：

2，则这个三角形的三边比为_______.

6.正三角形的边长为a，则它的面积为_____.

7.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交

AC于点H，则AH：

HE等于（）

A．l：

1B．2：

1C．1：

2D．3：

2

8.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°．

求∠DAC的度数．

9.如图，已知D、E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE、AD，

若S△ABC＝24cm2,求△DEC的面积.

10.已知△ABC的高AD、BE交于点F，若BF=AC，试确定∠ABC的度数.

11.长为2，3，5的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？

若能，它能构成直角三角形吗？

为什么？

作业

12.已知△ABC，

（1）如图1－1－27，若P点是

ABC和

ACB的角平分线的交点，则

P=

；

（2）如图1－1－28，若P点是

ABC和外角

ACE的角平分线的交点，则P=

；

（3）如图1－1－29，若P点是外角

CBF和

BCE的角平分线的交点，则P=

。

13.已知：

如图，在ABC中，A=2B，CD是C的平分线，求证：

BC=AC+BD.

14.已知：

如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连结DE，交BC于点P．

（1）求证：

PD=PE；

（2）若D为AC的中点，求BP的长.

15、如图，在△ABC中，∠A＝960，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于

，∠

BC与∠

CD的平分线相交于

，依此类推，∠

BC与∠

CD的平分线相交于

，则∠

的大小是多少？

16、如图，已知OA＝

，P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝600，

填空：

（1）当OP＝时，△AOP为等边三角形；

（2）当OP＝时，△AOP为直角三角形；

（3）当OP满足时，△AOP为锐角三角形；

（4）当OP满足时，△AOP为钝角三角形。

17.如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．

求证∠CDA＝∠EDB．

1.下列每组数分别是三根小木棒、的长度，用它们能摆成三角形的一组是（）

A．1cm，2cm，3cmB．3cm，4cm，5cm

C．5cm，7cm，13cmD．7cm，7cm，15cm

2.过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这条垂线将∠ACB分为50°和20°的两个角，那么∠A、∠B中较大的角的度数是________．

3.如图，OE是∠AOB的平分线，CD∥OB交OA于C，交OE于D，

∠ACD=50o，则∠CDE的度数是（）

A．175°B．130°C．140°D．155°

4.如图，△ABC中，∠C＝90○，点E在AC上，ED⊥AB，垂足

为D，且ED平分△ABC的面积，则AD：

AC等于（）

A．1：

1B．1：

C．1：

2D．1：

4

5.在ΔABC中，AC=5，中线AD=4，则AB边的取值范围是（）

A．1＜AB＜9B．3＜AB＜13

C．5＜AB＜13D．9＜AB＜13

6.如图，直角梯形ABCD中,AB∥CD，CB⊥AB，△ABD是等边

三角形，若AB=2，则CD=_______，BC＝_________.

7.如图所示，在△ABC中，∠A＝50°，BO、CO分别平分

∠ABC和∠ACB．求∠BOC的度数．

8.已知：

△ABC的两边AB=3cm，AC=8cm．

（1）求第三边BC的取值范围；

（2）若第三边BC长为偶数，求BC的长；

（3）若第三边BC长为整数，求BC的长

四：

【课后小结】

初三数学总复习

全等三角形

一：

【课前预习】

（一）：

【知识梳理】

1.全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等，简写成“角边角”或"ASA”

（3）两角和其中一角的对边对应角相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．

（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜过直角边定理”或“HL”．

2.全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等．

3.注意事项：

（1）说明两个三角形全等时，应注意紧扣判定的方法，找出相应的条件，同时要从实际图形出发，弄清对应关系，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．

（2）注意三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，另外已知两个三角形的两边

与一角对应相等的两个三角形也不一定全等．

（二）：

【课前练习】

1.如图，若△ABC≌△DEF，∠E等于（）

A．30°B．50°C．60°D、100°

2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，再添加一个条件____，

就可确定△ABD≌△ACD

3.在下列各组几何图形中，一定全等的是（）

A．各有一个角是45°的两个等腰三角形；B．两个等边三角形

C．腰长相等的两个等腰直角三角形

D．各有一个角是40°腰长都是5cm的两个等腰三角形

4.下列说法中不正确的是（）

A．有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

B．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等

C．有一边对应相等的两个等边三角形全等

D．面积相等的两个直角三角形全等

5.在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在

△ABC中与这个100°角对应的角是（）

A．∠AB．∠BC．∠C或∠C

二：

【经典考题剖析】

1.如图，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，

则∠BCD的度数为（）

A．145°B．130°C、110°D．70°

2.两个直角三角形全等的条件是（）

A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等

C．一条边对应相等D．两条边对应相等

3.如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，且S△DEF=2，

则△ABC的面积为（）

A．4B．6C．8D．12

4.如图，已知AB=CD，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

AE=CF，则图中全等三角形有（）

A．1对B．2对C．3对D．4对

5.如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线

段AB、DC、CA上的点，

（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？

试证明你的结论；

（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？

试证明你的结论．

三：

【课后训练】

1.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙

三个三角形中和△ABC全等的图形是（）

A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙

2.如图，两个平面镜α，β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入

射到α上，经两次反射后的反射光线CB平行于α，则∠α等于（）

A．30oB．45oC．60oD．90o

3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E、AD、

CE交于点H，请你添加一个适当的条件，使△AEH≌△CEB．你的

条件是，

4.如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD=BE．

（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明．

你添加的条件是；

（2）证明：

5.如图，AC和BD相交于点O，AB=DC，∠A＝∠D，

（1）请写出符合条件的五个结论（对顶角除外，且不添加辅助线）

（2）从你写出的五个结论中任选一个说明你的理由．

6.如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形？

并任选其中一对给予证明．

7.如图所示，在△ABC中，∠A＝50°，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．

求∠BOC的度数．

8.如图，AC和BD交于点O，OA=OC，OB=OD，试说明DC∥AB．

9.如图，已知AB、CD相交于点O，AC∥BD，OC=OD，E、F为AB

上两点，且AE=BF，试说明CE＝DF．

10.如图，AB=AE，∠ABC＝∠AED，

BC=ED，点F是CD的中点

（1）求证：

AF⊥CD；

（2）在你连结BE后，还能得出什么新的结论？

请写出三个．（不要求证明）

四：

【课后小结】