5三角形学案.docx

5三角形学案.docx

《5三角形学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《5三角形学案.docx（32页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

5三角形学案

认识三角形

学习重点：

三角形三边关系：

“三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边”。

三角形任意两边之和；三角形任意两边之差。

：

有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，

（1）再取一根长度为2cm的木棒，它们能摆成三角形吗？

为什么？

（2）如果取一根长度为13cm的木棒呢？

（3）聪明的你能取一根木棒,与原来的两根木棒摆成三角形吗？

（4）要选取的第三根木棒的长度x要满足什么条件呢？

（二）自我检测：

1、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？

为什么？

（单位：

cm）

（1）1，3，3

（2）3，4，7（3）5，9，13

（4）11，12，22（5）14，15，30

2、已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围。

若x是奇数，则x的值是。

这样的三角形有个；若x是偶数，则x的值是，这样的三角形又有个。

3、一个等腰三角形的一边是2cm，另一边是9cm,则这个三角形的周长是cm

4、一个等腰三角形的一边是5cm，另一边是7cm,则这个三角形的周长是cm

1、选择题：

（1）用木棒钉成一个三角架，两根小棒分别是7cm和10cm，第三根小棒可取（　　）

Ａ、２０ｃｍ　Ｂ、３ｃｍ　Ｃ、１１ｃｍ　Ｄ、２ｃｍ

（2）下列三条线段，不能组成三角形的是（）

A、346B、8915C、20185D、163014

（3）已知等腰三角形一边等于5cm，一边等于10cm，另一边应等于（　　）

Ａ、５ｃｍ　　Ｂ、１０ｃｍ　Ｃ、５或１０ｃｍ　Ｄ、１２ｃｍ

（4）一个三角形的两边分别是5cm和11cm，第三边的长是一个偶数，则第三边的长是（　　）

Ａ、２ｃｍ　　Ｂ、４ｃｍ　　Ｃ、６ｃｍ　　　Ｄ、８ｃｍ

2、等腰三角形的一边长为3㎝，另一边长是5㎝，则它的第三边长为____.

3、已知一个三角形有两边相等，并且周长为56cm，两不等边之比为3︰2，求这个三角形各边的长。

（2）三角形按内角的大小可以分为三角形、三角形、三角形。

叫直角三角形的斜边，叫直角三角形的直角边。

直角三角形的两个锐角。

2、一个三角形两个内角的度数如下，这个三角形是什么三角形？

（1）30°和60°

（2）40°和70°（3）50°和20°

自我检测：

1、在⊿ABC，∠A=80°，∠B=60°，则∠C=。

2、在⊿ABC中，∠A=55°,∠B=35°，则⊿ABC是三角形。

3、在直角三角形中，一个锐角等于25°，另一个锐角=。

4、在⊿ABC中，∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3，则∠C=。

5、有下列三个说法，其中正确的个数是：

（）

①一个三角形的三个内角中最多有一个钝角

②一个三角形的三个内角中至少有一个锐角

③一个三角形的三个内角中至少有一个直角

A．0B.1C.2D.3

6、已知三角形的三个内角的度数之比是1：

2：

6，则这个三角形是三角形。

7、在⊿ABC中，∠B=∠C=

∠A，则∠A=，∠B=，∠C=。

8、在⊿ABC中，∠B-∠A-∠C=30°，则∠B=。

9、若三角形的一个内角是另外两个内角的差，则这个三角形是（）

A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、不确定

10、直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，求这个锐角的度数。

11、如图，∠1+∠2+∠3+∠4=。

12、在直角三角形中，两个锐角的差为40°，求这两个锐角的度数。

13、如右图，已知△ABC中，∠1=27°，∠2=85°，

∠3=38°求∠4的度数

14、如图，⊿ABC中，AD⊥DC，

∠BAD=30°，∠BCD=18°,求∠B的度数。

1、如图1，AD是△ABC的∠A的平分线，若∠B=450，∠C=740，则∠ADB=；

2、如图2，∠A=360，∠C=720，BD平分∠ABC，则∠ABD的度数是；

3、如图3，AD、BE、CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=，∠3=

，∠6=；

4、如图4，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，则AB=2=2，BD=，AE=

；

6、如图AD、BE、CF分别是△ABC的高、中线、角平

分线，下列表达式中错误的是（）

A、AE=CEB、∠ADC=90°

C、∠CAD=∠CBED、∠ACB=2∠ACF

7、如图所示，在△ABC中，∠B=

，∠C=

，AD中△ABC的角分线，∠BAC=，∠ADC=；

8、已知：

如图，在△ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC于D，

AE平分∠DAC，∠B=500，求∠AEC的度数.

9、如图，在

中，

，AD是

的一条角平分线，求

的度数。

10、直角三角形两个锐角的平分线所构成的钝角是______度。

11、△ABC中，若∠A=800，I为三条角平分线交点，则∠BIC=．

13、如图，

的周长为9，AD为中线，

的周长为8，

的周长为7，求AD的长。

1、三角形的高：

叫做三角形的高线，简称三角形的高。

结论：

锐角三角形的三条高在三角形的且。

（1）直角三角形的三条高交于。

（2）钝角三角形的三条高交于，此点在三角形的。

自我检测1：

如图，

（1）共有个直角三角形

（2）高AD、BE、CF相对应的底分别是、、。

（3）AD=3、BC=6、AB=5、BE=4，

则S△ABC=、CF=、AC=。

6、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，DE平分∠ADC，且∠A＝40°，求∠BCD和∠CED.

图形的全等

1.能够完全________的两个图形称为全等图形。

全等图形的形状和大小都_______，

（1）叫全等三角形.

（2）全等三角形的对应边________，对应角_________。

（二）1．全等三角形的符号表示及读法和写法．

（1）全等用符号_________表示.读作__________.

（2）三角形ABC全等于三角形DEF,用式子表示为______________

（3）已知△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′∠C=∠C′;

AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′.则△ABC_______△A′B′C′.

（4）如右图△ABC≌△BCD,∠A的对应角是∠D,∠B的对应角∠E,则

∠C与____是对应角;AB与_____是对应边,BC与_____是对应边,

AC与____是对应边.（要特别注意对应顶点写在对应位置上.）

（5）判断题:

①全等三角形的对应边相等,对应角相等.（）

②全等三角形的周长相等.（）

③面积相等的三角形是全等三角形.（）

④全等三角形的面积相等.（）

2、性质应用.

例如：

如图，∵△ABC≌DFE，（已知）

∴AB=DF，AC=DE，BC=FE，（全等三角形的对应边相等）

∠A=∠D，∠B=∠F，∠C=∠E．（全等三角形的对应角相等）

（1）若△ABC≌△DFE，那么AB=____，AC=_____，BC=_____，∠A=∠，

∠B=∠___，∠C=∠____．

（2）已知：

△ABC≌△DFE，∠A=96°，∠B=25°，DF=10cm．则∠E=，

∠F=，AB=．

（3）已知△MNP≌△DEF，且EF=NP，∠F=∠P，∠D=48°,∠E=52°,MN=4cm,求∠P的度数及DE的长。

（画图，结合图形写过程）

3、自主检测：

（1）如右图，已知△ABD≌△CDB，AB=CD，这两个三角形的对应边是与，

与，与；对应角是与，与，与。

（2）如图，已知△ABD≌△ACE，∠B=∠C，这两个三角形的对应边是与，与，与；对应角是与，与，

与。

若AD=3cm，∠CEB=

，则AE=cm，∠ADB=

（3）如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，△ABE≌△ACD，∠C=20°，AB=10，AD=4，G为AB延长线上一点．求∠EBG的度数和CE的长．

三角形全等的条件

1、全等三角形的相等，相等。

2、如图1，已知△AOC≌△BOD，则∠A=∠B，∠C=，=∠2，对应边有AC=，=OB，=OD。

3、如图2，已知△AOC≌△DOB，则∠A=∠D，∠C=，=∠2，对应边有AC=，OC=，AO=。

4、如图3，已知∠B=∠D，∠1=∠2，∠3=∠4，AB=CD，AD=CB，AC=CA。

则△≌△

练习：

下列三角形全等的是

2、三边对应相等的两个三角形全等，简写为或

3、如图，AB=AC，BD=DC4、如图，AM=AN，BM=BN

求证：

△ABD≌△ACD求证：

△AMB≌△ANB

证明：

在△ABD和△ACD中证明：

在△AMB和△ANB中

∴△ABD△ACD（）∴≌（）

5、如图，AD=CB，AB=CD6、如图，PA=PB，PC是△PAB的

中线，∠A=55°

求证：

∠B=∠D求：

∠B的度数

1、如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，

你能找到哪两个三角形全等？

说明你的理由。

2如图，已知AC=AD，BC=BD，CE=DE，则全等三角形共有对，就其中的一对说明全等的理由。

完成下面的推理：

如图，已知AD∥BC，AD=BC.试说明：

（1）AB=DC；

（2）AB∥DC.

证明：

∵AD∥BC（）

∴_________（）

∴△ADB≌△CBD（）

∴AB=DC（）

∠ABD=_________（）

∴AB∥CD（）

自我检测：

1、如图，AB=AC,AD=AE,那么∠B＝∠C吗？

为什么？

2、在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线.那么BD＝CD吗？

3、如图：

已知AB＝AC，∠B＝∠C，△ABD与△ACE全等吗？

为什么？

4、如图，E，F在BC上，BE=CF，AB=CD，AB∥CD.

试说明：

（1）⊿ABF≌⊿DCE；

（2）AF∥DE.

5、如图，若AB=AD，BC=DE，∠B=∠ADE.

试说明：

（1）AC=AE，

（2）∠EDC=∠EAF.

1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为或

2、如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AD能平分∠BAC吗？

你能说明理由吗？

解：

AD平分∠BAC。

∵AD是BC边上的中线（已知）

∴＝（中线的定义）

在中

∴≌（）（图1）

∴∠BAD＝∠CAD（）

∴AD平分∠BAC（）

3、如图2，

（1）∵AC∥BD（已知）

∴∠＝∠（）

（2）∵AD∥BC（已知）

∴∠＝∠（）（图2）

4、如图3，

∵EA⊥AD，FD⊥AD（已知）

∴∠＝∠＝90°（）

（1）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成或

（2）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成或

（3）如图，AB＝AC，∠B＝∠C，你能证明△ABD≌△ACE吗？

证明：

在△ABD和△ACE中

∴≌（）

（4）如图，已知AC与BD交于点O，AD∥BC，且AD＝BC，你能说明BO=DO吗？

证明：

∵AD∥BC（已知）

∴∠A=，（）

∠D=，（）

在中，

∴≌（）

∴BO=DO（）

（5）如图，∠B＝∠C，AD平分∠BAC，你能证明△ABD≌△ACD？

若BD＝3cm，则CD有多长？

解：

∵AD平分∠BAC（）

∴∠＝∠（角平分线的定义）

在△ABD和△ACD中

∴△ABD△ACD（）

∴BD＝CD（）

∵BD＝3cm（已知）

∴CD＝＝（等量代换）

（6）如图，在△ABC中，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，且BE＝CF，那么BD与DC相等吗？

你能说明理由吗？

（请模仿上面的说理过程自己写出解题过程）

解：

7）如图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，你能说明△ABO≌△DCO吗？

（请模仿上面的说理过程自己写出证明过程）

（三）自我检测：

1、如图，AB∥CD，∠A＝∠D，BF＝CE，∠AEB＝110°，求∠DFC的度数。

2、

如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2,请你添加一个条件（不

再添加其它线不再标注或使用其他字母），使AC=BD,并给出证明.

你添加的条件是:

．

证明：

1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为或

2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成或

3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成或

4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成或

5、全等三角形的性质：

两三角形全等，对应边，对应角

6、如图；△ADC≌△CBA，那么

，

7、如图；△ABD≌△ACE，那么

，

1.如图：

A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长。

他叔叔帮他出了一个这样的主意：

先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到E，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度；

（1）DE=AB吗？

请说明理由.

（2）如果DE的长度是8m，则AB的长度是多少？

3.如图，要量河两岸相对两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DF，使A、C、E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，试说明理由。

4．没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗？

下面是小彬的做法，他的画法正确吗？

请说明理由．小彬的做法

如图，角平分线刻度尺画法：

①利用刻度尺在∠AOB的两边上，分别取OD＝OC．

②连结CD，利用刻度尺画出CD的中点E．

③画射线OE．

所以射线OE为∠AOB的角平分线．

1、判定两个三角形全等的方法：

、、、

2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是

3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，

（1）若∠A=∠D，AB=DE，

则△ABC与△DEF

（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（2）若∠A=∠D，BC=EF，

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（3）若AB=DE，BC=EF，

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

2

（1）如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，

则△ADB与△ADC（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（2）如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，

①若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，

根据

②若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，

根据

③若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，

根据

④若AC=BD，AE=BF，CE=DF.则△ACE≌△BDF，

根据

⑤若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，

根据

（3）判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）

（A）两条直角边对应相等（B）斜边和一锐角对应相等

（C）斜边和一条直角边对应相等（D）两个锐角对应相等

（4）如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？

说说你的理由

答：

理由：

∵AF⊥BC，DE⊥BC（已知）

∴∠AFB=∠DEC=°（垂直的定义）

在Rt△和Rt△中

∴≌（）

∴∠=∠（）

∴（内错角相等，两直线平行）

5、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB与DE是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？

说说你的理由。

3.

（1）判断题：

①一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。

（）

②一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（）

③一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（）

④两直角边对应相等的两个直角三角形全等（）

⑤两边对应相等的两个直角三角形全等（）

⑥两锐角对应相等的两个直角三角形全等（）

⑦一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（）

⑧一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）

（2）如图，∠D=∠C=90°，请你再添加一个条件，使△ABD≌△BAC，并在添加的条件后的（）内写出判定全等的依据。

①（）

②（）

③（）

④（）

（3）如上图，AD⊥DB，BC⊥CA，AC、BD相交于点O，AC=BD，试说明AD=BC

（4）如图，∠BAC=∠DCA=90°，AD=BC，∠1=20°，

你能求出∠D的度数吗？

说说你的理由。

（5）如图，AB//DC，AD//BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，试说明AE=CF.

第五章三角形复习学案

一、（本章主要知识点）：

（一）基本概念：

1．三角形的定义：

2．三角形的分类：

（按角分）

3．三角形的中线、角平分线、高：

①三角形的中线：

.

②三角形的角平分线：

.

③三角形的高线：

.

（2）基本几何格式：

①∵AD是△ABC的中线∴.

②∵BE是△ABC的角平分线∴.

③∵CE是△ABC的高∴.

（3）三角形的三边关系：

.

4.三角形的知识点应用：

（1）三角形的三个内角中最多有个锐角，个钝角，个直角；三角形的三个内角中最少有个锐角。

（2）如果一个三角形三个内角分别是450，450，900，那么这个三角形按角分类叫做三角形。

（3）每个三角形都有条中线，条角平分线，条高；三角形所有的中线都交于点，角平分线、高也是一样，这个交点大部分都在三角形的内部，但三角形的所有的高的交点在三角形的直角顶点上，三角形的高的交点在三角形的外部。

（4）如图1：

△ABC中，BD＝CD，∠1＝∠2，那么ED可以看作是△的中线，可以看作是△ABD的角平分线。

图1图2

（5）如图2：

△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠B＝400，∠C＝700，求∠DAE的度数。

（6）按图中所给的条件，可求出∠1＝、∠2＝、∠3＝.

（7）已知△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，那么这个三角形是三角形；已知△ABC中，∠A＝400，∠B＝6∠C，则∠B＝。

（8）三角形的两条边的长分别是2和7,第三条边的长x的取值范围是。

（9）等腰三角形的两条边长分别为4cm和7cm，那么这个等腰三角形的周长为cm；等腰三角形的两条边长分别为2cm和9cm，那么这个等腰三角形的周长为cm。

（10）一个三角形的两条边的长分别是2和7，而第三边的长为奇数,那么第三边的长是；若三角形的两边长分别是2和5，且这个三角形的周长是偶数,那么第三边的长是。

（二）全等三角形

1．全等三角形的定义：

.2．全等三角形的性质：

.

3．三角形全等的条件：

一般三角形全等的判别方法:

.

直角三角形全等的判别方法:

.

4．三角形全等的条件思路：

当两三角形已具备两角对应相等时，第三条件应找

当两三角形已具备两边对应相等时，第三条件应找

当两三角形已具备一角一边对应相等时，第三条件应找

5．找三角形全等的条件时经常见到的隐含条件有：

二、自我检测：

1、如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。

所添条件为，你得到的一对全等三角形是。

2、如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列添加的条件中，哪一个不能用于判定△ABM≌△CDN的是（）

A．∠M=∠N;B．AB=CD;C．AM=CN;D．AM∥CN

3、如图，已知

，

，增加

下列条件：

①

；②

；③

；④

．其中能使

的条件有（）

Ａ．

个Ｂ．

个Ｃ．

个Ｄ．

个

4、如图，点

分别在线段

上，

相交于点

，要使

，需添加一个条件是：

5、工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的

6、如图，若△OAD≌△OBC，且∠0=65°，∠C=20°，则∠OAD=．

7、已知：

如右上图，

，

，

，求证：

（2）三角形三线的比较