高中数学平面向量习题与答案.docx
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高中数学平面向量习题与答案
第二章平面向量
一、选择题
１。
在△AＢＣ中,ＡＢ＝AC，D,E分别就是AB,ＡC得中点，则（ ）。
A。
与共线 ﻩＢ．与共线
Ｃ。
与相等 D．与相等
2。
下列命题正确得就是（ ）。
Ａ.向量与就是两平行向量
B.若ａ，b都就是单位向量,则ａ=ｂ
C。
若=，则A,B,C,D四点构成平行四边形
D。
两向量相等得充要条件就是它们得始点、终点相同
3.平面直角坐标系中，Ｏ为坐标原点,已知两点A（3,1）,B（-1,3）,若点C满足＝＋,其中，∈R，且+＝1,则点C得轨迹方程为（ ）.
A。
3ｘ＋2y-11=０ ﻩﻩﻩB。
（x－１）2+（y－１）2=5
C.2x-y＝0ﻩﻩﻩﻩD。
ｘ+2y－5＝0
４。
已知a、b就是非零向量且满足（a－２b）⊥a，（b-2a）⊥b，则a与b得夹角就是（ ）.
A．ﻩﻩﻩB.ﻩﻩﻩﻩC。
ﻩﻩＤ。
5。
已知四边形AＢＣD就是菱形,点P在对角线AC上（不包括端点Ａ,Ｃ）,则＝（）。
A。
λ（+），λ∈（0，１）ﻩB.λ（＋）,λ∈（0,）
C．λ（－），λ∈（0,1）ﻩﻩﻩＤ.λ（－），λ∈（0,）
6.△ABC中，Ｄ，E,F分别就是AB,BC，AC得中点,则=（ ）．
Ａ。
+ﻩﻩB。
－
C。
+ ﻩﻩﻩD。
+
7。
若平面向量a与b得夹角为６0°，|b|＝4,（a＋２b）·（a-３ｂ）=－72,则向量ａ得模为（ ）。
A。
2ﻩﻩﻩB。
4ﻩﻩﻩC。
6ﻩD.１2
8。
点O就是三角形ABC所在平面内得一点,满足·=·=·,则点Ｏ就是△ＡBＣ得（ ）.
A.三个内角得角平分线得交点ﻩﻩﻩB。
三条边得垂直平分线得交点
Ｃ.三条中线得交点ﻩﻩﻩＤ。
三条高得交点
9.在四边形ABCＤ中，=a+2b,＝－4ａ－b，＝－5a－3ｂ,其中a，b不共线,则四边形AＢCD为（ ）.
A。
平行四边形Ｂ.矩形ﻩﻩﻩC．梯形ﻩﻩＤ.菱形
（第10题）
1０．如图，梯形ABＣD中，||＝|｜,∥∥则相等向量就是（ ）。
A.与ﻩＢ．与
Ｃ.与ﻩﻩD.与
二、填空题
11。
已知向量=（ｋ,1２），＝（4,5），=（－ｋ,10）,且A,Ｂ,C三点共线,则ｋ＝ ．
12。
已知向量a=（ｘ+３,x２－3x－4）与相等,其中M（－1,３）,N（1,3）,则x= 。
13。
已知平面上三点Ａ，B,Ｃ满足|｜=3,|｜=4，||=5，则·＋·+·得值等于。
1４.给定两个向量a＝（3，4）,b＝（2,－1），且（a+mb）⊥（ａ－b）,则实数m等于 .
15．已知A,Ｂ,Ｃ三点不共线,O就是△ABC内得一点,若＋＋＝０，则O就是△ABC得 。
1６.设平面内有四边形ABCD与点O,=a,＝b，＝c，=d，若a＋ｃ＝ｂ＋d,则四边形ＡBCD得形状就是 。
三、解答题
17。
已知点A（2,3）,B（5,４）,Ｃ（7,１0），若点Ｐ满足=＋λ（λ∈R）,试求λ为何值时，点P在第三象限内?
（第18题）
18．如图，已知△ABＣ,A（7，8），B（3，5）,C（4,3），M，N，D分别就是ＡB,ＡC,ＢＣ得中点,且MＮ与AD交于F，求。
19。
如图，在正方形ABCD中，E,F分别为AB,ＢC得中点,求证：
AF⊥DＥ（利用向量证明）。
20.已知向量ａ＝（cos θ,ｓin θ），向量b＝（，-１）,则｜2a-ｂ｜得最大值。
参考答案
一、选择题
1．B
解析：
如图,与,与不平行,与共线反向。
2。
A
解析:
两个单位向量可能方向不同，故Ｂ不对。
若＝,可能A,Ｂ,C,D四点共线,故C不对。
两向量相等得充要条件就是大小相等,方向相同,故D也不对.
3.D
解析:
提示:
设＝（x，y）,＝（3，1）,＝（-1,3），=（3,），＝（-，３）,又+=（3-,＋3），
∴（x，ｙ）＝（3－,＋3）,∴,又+=1，由此得到答案为Ｄ.
4.Ｂ
解析:
∵（ａ－2b）⊥a,（b-２a）⊥ｂ,
∴（ａ-2ｂ）·a=a2－2a·b＝0，（ｂ-２a）·b＝b２-2a·b=0,
∴ ａ２＝b2,即｜a｜＝｜b｜.∴|a|2＝2|a|｜b|cosθ＝2｜a｜2cｏsθ.解得cosθ=。
∴a与b得夹角就是。
5。
A
解析:
由平行四边形法则,＋=，又+＝,由 λ得范围与向量数乘得长度,λ∈（0,１）。
6。
D
解析：
如图,∵＝,
∴ =+=＋。
（第6题）
７。
Ｃ
解析：
由（a+2b）·（a-3b）＝－72，得a2－ａ·b-6ｂ2＝-72。
而|b|=4，a·b=|a||ｂ｜cｏｓ6０°=2|a｜,
∴|a|2－2|ａ｜－９6=-7２，解得|ａ|＝６。
8。
D
解析：
由·＝·=·，得·＝·,
即·（-）=0，
故·＝0,⊥,同理可证⊥,
∴O就是△ABC得三条高得交点.
９。
C
解析:
∵=＋＋=-8a-2b＝2,∴∥且||≠||．
∴四边形ABＣD为梯形。
１0。
D
解析:
与,与,与方向都不相同,不就是相等向量.
二、填空题
11。
－。
解析：
A，B,C三点共线等价于，共线,
＝-=（４，5）－（k，１２）=（４-k,-7），
=-＝（－ｋ，１0）－（４，5）=（-ｋ－4，５），
又A，B,C三点共线，
∴５（4-ｋ）=－7（－ｋ－4）,∴ｋ=-。
１２。
－1。
解析:
∵M（-1,3），N（1,3）,
∴＝（２,0），又a＝,
∴解得
∴ x＝－１。
1３。
－25.
解析:
思路1:
∵＝3，＝4,=5，
∴△ＡBC为直角三角形且∠ABＣ＝90°，即⊥,∴·=0,
∴·＋·+·
=·＋·
＝·（+）
=－（）２
＝-
=－２5。
思路2:
∵=3，＝4，＝5,∴∠ＡBＣ=９０°,
∴ｃos∠CAB=＝,ｃos∠ＢCＡ==。
根据数积定义,结合图（右图）知·＝0,
·＝·cos∠ACE=4×5×（－）=-16，
·＝·coｓ∠BAＤ＝3×5×（-）＝-9。
∴·+·+·=0―16―9=-25。
１4．。
解析：
a+mb＝（3＋２ｍ,４-m）,a－b=（1,5）。
∵（a+ｍｂ）⊥（a-b），
∴（a+mb）·（a-ｂ）=（3+２m）×1＋（4－m）×5=0m＝．
15。
答案:
重心。
解析:
如图,以,为邻边作□ＡOCＦ交AC于点E，则＝+,又＋=－,
∴ ＝2=-.O就是△ABC得重心。
16.答案：
平行四边形。
解析:
∵a＋ｃ=ｂ＋d，∴ａ-b＝d－c,∴=.
∴四边形ABCＤ为平行四边形。
三、解答题
１7。
λ<－1.
解析:
设点P得坐标为（x,ｙ）,则＝（x，y）－（２,3）=（x－2，y－3）．
+λ=（５，４）-（2,３）+λ［（7，10）－（２,3）]
＝（3，1）+λ（5,7）
=（3＋5λ,１+７λ）。
∵=＋λ,
∴ （ｘ-２，y-3）＝（３＋５λ,1＋7λ）。
∴即
要使点Ｐ在第三象限内，只需 解得λ<－1。
１8。
=（，2）．
解析:
∵A（7,８）,B（3,5）,C（4，3），
=（－4，－3）,=（－3，－5）。
又D就是BＣ得中点,
∴=（+）＝（-４-3，－３-5）
＝（－７,－8）＝（-，－４）.
又M，N分别就是AB,AC得中点,
∴F就是ＡＤ得中点,
∴＝-＝-=－（－,-4）＝（，２）.
１9．证明：
设＝a，＝b,则=a＋ｂ，＝b-a．
∴·＝（ａ＋b）·（b－a）＝ｂ2-a２＋a·ｂ。
又⊥,且=,∴ａ2＝ｂ2,ａ·b=0。
∴·=０，∴⊥。
本题也可以建平面直角坐标系后进行证明。
20。
分析：
思路1:
2a-b=（2ｃoｓθ－,2sinθ+1），
∴|2a－b｜2＝（２cosθ-）2+（2siｎθ+１）２=8＋４ｓin θ－4coｓ θ.
又4siｎθ-4cosθ=8（ｓinθcoｓ-cosθｓiｎ）=8ｓin（θ-）,最大值为8,
∴ ｜２a－b|2得最大值为16,∴|2ａ－b|得最大值为４。
思路2：
将向量2a，b平移,使它们得起点与原点重合,则|2ａ-b|表示2ａ,b终点间得距离.|２a|＝2，所以2ａ得终点就是以原点为圆心,2为半径得圆上得动点P，b得终点就是该圆上得一个定点Ｑ，由圆得知识可知,｜PＱ｜得最大值为直径得长为4.
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