理论力学7-非线性动力学与混沌-讲义...ppt

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第七章.非线性动力学与混沌Chapter7.NonlinearDynamicsandChaos,宋若龙吉林大学物理学院,参考书,刘秉正，非线性动力学与混沌基础，东北师范大学出版社，1994林振山，非线性力学与大气科学，南京大学出版社，1993刘式达，刘式适，非线性动力学和复杂现象，气象出版社，1989,7.1引言,一.“非线性动力学”的表观含义,线性非线性非线性,定义：

运动微分方程含有坐标或速度的非线性项的系统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。

例：

二.决定性系统与不可预测性,存在且唯一，可预测性,1.力学决定论及其伟大成就,设想一位智者在某一瞬间得知激励大自然所有力及组成它的物体的相互位置，如果这位智者又能对众多的数据进行分析，把宇宙间最庞大的物体和最轻微的原子的运动凝聚在一个公式中，没有什么事物是不确定的，将来就像过去一样清晰地展现在眼前。

Laplace，法国数学家，（1749-1827）,1757年，哈雷慧星（Hallycomet）按预测回归。

1846年，海王星在预言的位置被发现。

日月蚀的准确预测，宇宙探测器的成功发射与回收。

广义相对论，量子力学也是决定论的。

0.2352680.235,2.力学决定论不断受到挑战,1883年，英国流体力学家雷诺（Reynolds），湍流实验。

（烟）1903年，法国数学家昂利庞伽莱（HenriPoincare），三体问题，不存在统一的第一积分，混沌。

1963，美国气象学家洛仑兹（Lorenz），天气预报，“蝴蝶效应”：

巴西热带雨林中一只蝴蝶扇一下翅膀，两个星期后，就可能在美国得克萨斯州引起一场龙卷风。

洛仑兹方程,初值敏感演示,Duffing方程：

（带阻尼弹性系统的强迫振动）,初值敏感性,不可预测性，混沌,不可预测性=客观世界的非决定论？

线性系统是特殊的、近似的非线性系统是普遍的、本质的（ex:

弹簧、单摆）,振动、流体力学、声学、光学、气象学、天文学化学、生命学、生态学经济学、金融学、社会学,混沌现象是矛盾的结合体,决定性与随机性稳定与不稳定有序和无序,三.常微分方程的一般形式,1.自治方程与非自治方程,不显含时间，自治的显含时间，非自治的,2.常微分方程一般形式,

（1）自治的,2阶，1维,1阶，2维,

（2）非自治的,n维非自治,n+1维自治,例1：

Duffing方程,一阶常微分方程组,数值计算系统的状态相空间,优点：

四.相空间（相图）,相空间，也就是状态空间，是由广义坐标和广义动量（速度）张成的空间，也称相宇。

相空间中运动状态的变化轨迹称为相图。

弹簧振子,相图,时空轨迹,阻尼弹簧振子,通解,代入方程,当阻尼为正阻尼且很小时,阻尼弹簧振子,时空轨迹,7.2运动稳定性分析,一.非线性方程解的各种形式,1.定态解,平衡点，奇点,2.发散解,之一或几个随时间无限地偏离初值,爆炸，散射,3.振荡解,既不趋于无穷大，也不终止于某一点，而是在一定区域内不断变化。

周期振荡混沌,相轨迹没有确定的形状周期、貌似随机的运动。

闭合曲线,非闭合曲线,准周期振荡,F=0.1,F=0.29,F=0.32,二.解的稳定性,Lyapunov稳定性定义：

（1）设t=t0时方程的解为，t时为，另一受扰动而偏离它的解t0时为，t时为。

如果对于任意小的数，总有一小数存在，使得当时，必有则称解是Lyapunov意义下稳定的，简称Lyapunov稳定的或稳定的。

两矢量间的距离,

（2）如果解是稳定的，且则称此解是渐进稳定的。

（3）不满足上述条件的解是不稳定的。

例2.,解：

是Lyapunov稳定的,例3.,解：

渐进稳定的,三.线性稳定性分析,1.线性稳定性定理,设为方程的一个解（参考解），则为研究该解的稳定性，令为此解附件另一解，称扰动解。

若线性化方程的原点是渐进稳定的，则原非线性方程的参考态是渐进稳定的；若线性化方程的原点是不稳定的，则原非线性方程的参考态是不稳定的。

Lyapunov间接法,非线性方程组在参考态附近的线性化方程组,2.线性化方程组的解及其稳定性,试探解：

系数矩阵的迹,系数行列式的值,特征根,

（1）两特征根实部都是负的,参考态也是渐进稳定的。

是渐进稳定的,

（2）两特征根中至少有一个实部为正,是不稳定的,参考态也是不稳定的。

（3）两特征根中至少有一个实部为零，另一个实部为负,是Lyapunov稳定的,参考态处于临界情况。

奇点（平衡点，定态）的分类（取非线性方程的奇点为参考态）,

（1）,两根都是实的，且符号相同，此时奇点称为结点。

不稳定的结点,稳定的结点,

（2）,两根都是复的，此时奇点称为焦点。

不稳定的焦点,稳定的焦点,（3）,两根都是纯虚数，解是等幅振荡，此时奇点称为中心。

鞍点,（4）,两根都是实数，一正一负，此时奇点称为鞍点。

例4：

分析阻尼单摆定态的稳定性,解：

令,求定态解,两奇点,1.在奇点（0,0）处线性化方程组为,奇点（0,0）为结点,（过阻尼）,稳定的结点,不稳定的结点,稳定的焦点,不稳定的焦点,奇点（0,0）为焦点,（欠阻尼）,奇点（0,0）为中心,（无阻尼）,2.在奇点处线性化方程组为,奇点为鞍点,线性稳定性定理只适用于分析非线性方程奇点及其附近的解的性质，离奇点越远，线性化误差越大。

7.3极限环渐进稳定的周期振荡,一.定义,相空间里孤立的闭曲线，称为极限环,与初始条件有关的周期振荡不是极限环,极限环,与初始条件无关,此轨道极小邻域内不出现其它闭轨道,例5：

VanderPol方程（电子管振荡）,阻尼力与速度同向，负阻尼，对系统供能，振幅逐渐增大，振幅终将大于1。

阻尼力与速度反向，正阻尼，消耗能量，振幅逐渐减小，振幅只能等于1。

F=0,a=0.2,x0=4,F=0,a=0.2,x0=0.5,二.极限环存在的判据,庞伽莱-班狄克生判据（Poincare-Bendixsontheorem）:

有一解的相轨迹总是局限于相平面中不包含任何奇点的有限区域D内，则此轨迹或者是一极限环，或者趋于一极限环。

如果方程,（二维自治系统）,三.极限环的稳定性,稳定环,不稳环,半稳环,如果从包含极限环L的环形域（L的内侧和外侧）出发的任何轨线在时都渐近地趋于该极限环，则称极限环L是稳定的，否则称为不稳定的。

如果从包含L的环域内L的某一侧出发的轨线在时都渐近地逼近L，而从另一侧出发的轨线都远离L，则称L是半稳定的。

半稳定的极限环是不稳定极限环的一种。

例6：

求非线性系统,的极限环性解及其稳定性，c为参数。

解：

令,微分得,代入方程得,联立，令等式两侧的系数分别相等，得极坐标下方程：

在极坐标中系统相轨迹以常角速度旋转，由可求平衡态为：

奇点,极限环（为实数时）,为复数，只有平衡态,为稳定的焦点。

有两个平衡态,为半稳环（不稳环）。

为稳定的焦点，,有三个平衡态,为稳定的焦点，为不稳定极限环，为稳定极限环。

（心脏）,有两个平衡态,为不稳定的焦点，为稳定极限环。

四.极限环的特点,非线性系统周期振荡独有的特征；极限环在相空间中是孤立的；由系统的固有性质（运动方程及其参数）决定，与初始状态无关；包围不稳定奇点的极限环一定是稳定的，而包围稳定奇点的极限环一定是不稳定的；极限环只能包围结点和焦点，而不能包围鞍点。

Homework:

1.用线性稳定性定理讨论中心力场中圆轨道的稳定性。

2.求解如下常微分方程组的定态解、极限环型解，分析其稳定性，若有分岔现象，说明其分岔的类型。

3.用摄动方法求至1级近似解,7.4含弱非线性作用的一维振动摄动方法,一.无阻尼、无强迫力的一维弱非线性振动,为弱非线性作用,无因次化,摄动方法，设解为：

零级解,一级解,二级解,代入方程,的同次项相等,零级解方程,一级解方程,二级解方程,零级解方程为简谐振动方程，其解为,由得各级解初始条件为,可得零级解为,将零级解代入一级解方程,伪共振,非线性项导致系统固有频率改变,小量，可正可负,均为小量，可令,代回到原运动微分方程,将代入得,零级解为,一级解满足的方程,为避免伪共振，必有,一级方程变为,设特解,一级方程齐次方程通解可写为,非齐次方程解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,把代入二级解方程，可得二级解。

当仅求至一级解时，非线性方程的解为,弱非线性作用下非线性振动的特点：

固有振动的频率由变为，且改变量与振幅a有关；整个振动除基频外，还有谐频，当进一步顾及高级近似解时，还有出现等奇数倍高次谐频振动；可推当非线性作用力为时会出现等偶数倍谐频振动；系统本来不受强迫力，但一级解满足的方程出现了强迫力，并且是3倍频的，这是由于非线性振动引起的。

7.5非线性强迫振动振幅破裂,Duffing方程,假定为小量，设试探解为,将试探解代入方程，仅保留至的一次项,利用关系式,令方程两端线性无关项的系数分别相等，可等待定系数满足的方程：

振幅A（近似为系统的振幅）随驱动频率的变化,当时,当时（考虑非线性），用数值方法求解，画出振幅频率响应曲线：

A,A,A,A,在段，同一频率下，振幅出现多值现象，CD段表示不稳定振动。

驱动频率逐渐增大或减小时，出现振幅跳跃（振幅破裂）现象。

例：

洗衣机甩干过程机械（汽车、飞机）,分谐振、组合频率谐振,取特解,小量,代入方程并保留到的一阶量,令方程两端线性无关项的系数分别相等：

分谐振,非线性系统受两个不同频率的外力同时作用时，系统除了以主要的频率振动外，还包含有频率为等组合谐振成份，若非线性项不太弱需要考虑高阶项时，振动将包含各种频率为的成份。

即谐频，则称组合频。

例：

耳膜。

当时，B有实根，特解存在，出现频率为的分谐振，也称为分频，且为主要振动。

例：

石英钟。

非线性受迫振动的特点,驱动频率连续变化时出现振幅跳跃现象。

驱动频率在某值处的微小改变，系统振幅发生剧烈变化。

谐频振动：

基频（驱动频率）为时，当非线性项为x的奇次幂时，会出现等奇数倍谐频；当非线性项为x的偶次幂时，会出现等偶数倍谐频。

当驱动频率远大于系统固有频率时（），会出现分频，也称为倍周期。

x的奇次幂，x的偶次幂。

当强迫力为两不同频率时，有组合频出现。

如耳膜。

7.6亥姆霍兹木马（Helmholtzcarousel）,2013年第26届国际青年物理学家竞赛IYPT题目,图片资料来源于https:

/,参考文献：

R.R.Boullusa,etal.,ThereactionforceonaHelmholtzresonatordrivenathighsoundpressureamplitudes,Am.J.Phys.,60（8）,pp722-726,1992,空气柱输入阻抗,动态粘滞系数,开口辐射阻抗,内口辐射阻抗,颈部空气柱总阻抗，实部为阻（能量损失），虚部为抗（等效质量）,=,m,等效质量,阻尼系数,若振动频率非常低使得可看作绝热过程：

比热容,Taylor展开,密闭空腔产生的恢复力,为小量,设,可解得,一级解将有的谐频振动。

当时振幅最大,密闭空腔对颈部气柱的恢复力,净力（一个周期内的平均）,7.7分岔（Bifurcation）,一.分岔的概念,1.定义：

对常微分方程组,为参数。

如果参数在某一值附近的微小变化将引起解的性质（相轨线的拓扑结构）发生突变，则此现象称为分岔。

称为临界值或分岔值。

在坐标轴上其对应点为分岔点。

例：

极限环求解,2.解的结构稳定性,指在参数发生微小变化时解的轨线仍维持在原轨线某一邻域内。

因次非线性系统在常点的解具有结构稳定性，而分岔点附近的解是结构不稳定的。

二.分岔的类型,1.叉式分岔,系统参数发生微小变化时，一个稳定的定态两个稳定的定态,例1：

水平滑动摆，弹簧原长l，参数a变化,定态,1个奇点,3个奇点,

（1）奇点,（0,0）为中心，Lyapunov稳定的（0,0）为鞍点，不稳定的,线性稳定性定理：

两奇点均为中心，Lyapunov稳定的,

（2）奇点,2.霍普夫（Hopf）分岔,系统参数发生微小变化时，稳定的定态稳定的极限环,例：

VanderPol方程,定态为（0,0）,奇点（0,0）为稳定定态（结点、焦点或中心）奇点（0,0）为不稳定定态，由极限环一节的分析，此时出现了稳定的极限环。

不稳定的定态不稳定的极限环,3.倍周期分岔,系统参数变化时，解的振动周期依次加倍的分岔现象，称为倍周期分岔。

例1：

Duffing方程,取定，令逐渐增大，数值求解。

演示,T2T22T2T混沌,1点（倍）周期,2点（倍）周期,4点（倍）周期,非周期（混沌）,例2：

Logistic映射（虫口模型）,某代虫口（数量）亲代虫口,1点（倍）周期2点（倍）周期,演示Logistic映射,自相似,费根鲍姆（Feigenbaum）数：

在第n次分岔点的参数的取值满足：

出现混沌的分岔点处的值，为系统参数。

费根鲍姆数,普适常数,7.8混沌的概念、特点及描述方法,一.混沌的概念,1.定义：

确定性非线性系统的不是由于随机性外因引起的，而是由系统内在的非线性作用产生的具有随机性的、非周期的运动状态，称为混沌。

例1：

阻尼单摆的受迫振荡,方程两边除以mg，令,无因次化：

令,令仍记,演示,F=1.02单周期极限环F=1.072倍周期极限环F=1.0774倍周期极限环F=1.15混沌（300-700）,F=1.35单周期极限环F=1.452倍周期极限环F=1.474倍周期极限环F=1.50混沌（300-700）,混沌运动是服从一定规律的随机运动，是决定性和随机性矛盾统一体；对初始状态敏感依赖；只有（3维以上自治、2维以上非自治）非线性系统才有可能做混沌运动；倍周期分岔可以通向混沌。

例2：

小行星Kirkwood间隙,二.自然界中混沌现象,n=01245,行星與太陽間的距離,金星,地球,火星,木星,土星,6天王星,3小行星带,处于Kirkwood间隙处的小行星与木星的轨道共振，产生混沌运动，轨道离心率增大，穿越了火星和地球的轨道（JackWisdom模型）。

6500万年前，估计一颗直径10公里的小行星冲撞地球，全球滔天大火，恐龙等大型生物在这悲剧中消失，全球5080%生态物种从此绝灭，后来哺乳类动物得以繁衍。

例4：

贝纳对流,例5：

卡曼涡流,例3：

土星卡西尼环缝,例6：

天气，虫口模型，香烟烟雾，心脏跳动，脑电波,1倍周期相图,Poincare截面,三.庞加莱（Poincare）截面,在多维相空间中适当选取一截面（有利于观察系统的运动特征和变化，不与轨线相切，更不包含轨线面），在此截面上，某一对共轭变量取固定值，称此截面为庞加莱截面.对于单变量系统，截面常常取为垂直与时间轴的周期性截面。

相空间的轨线轨线与庞加莱截面的交点,2倍周期相图,Poincare截面,演示单摆,F=1.35F=1.45,2变量系统周期运动,为无理数准周期运动,混沌运动,Poincare截面为一闭曲线,Poincare截面为一片或多片密集的点,分别为方向运动的频率,为有理数,Poincare截面有有限个离散点,周期运动,周期运动,Poincare截面上为一不动点,四.相体积演化，李雅普诺夫（Lyapunov）指数,例：

一维线性系统运动时相面积的变化,1.相体积演化，也就是相空间中状态密度随时间的变化。

2.李雅普诺夫（Lyapunov）指数,高维空间相体积（状态密度）演化，利用流体力学理解,物质坐标,对任一体积元单位时间流出量,单位时间内流体质量变化为,Gauss定理,任意,双角标求和,将这一结果推广到2f维相空间：

状态密度,耗散系统正则方程,将正则方程代入,由状态量守恒,对保守系统相体积守恒刘维定理,不求和,Lyapunov指数,该方向相轨线指数地相互远离该方向相轨线指数地收缩到一起,非保守系统,设时，时,

（1）定常吸引子：

2维空间中稳定的结点和焦点,五.吸引子，奇怪吸引子耗散系统混沌,1.吸引子,经足够长的时间后，相空间中系统轨线所趋向的有限区域（如不动点、闭曲线、高维环面等），称为吸引子。

结点,焦点,

（2）周期吸引子：

2维和3维空间中稳定的极限环。

（3）准周期吸引子：

3维空间中的环面。

该系统相体积随时间演化为,整体稳定性和局部不稳定性。

将3维或3维以上状态空间的图像经多次拉伸和折叠而形成的好像体积为零而面积为无穷大的的图像（千层饼），具有无穷层次的自相似结构。

非线性耗散系统独有的现象，具有混沌运动特征，是混沌吸引子。

2.奇怪吸引子,对自由度为3的系统，设其Lyapunov指数,演示洛伦兹吸引子,六.自相似、分维,1.自相似，分形,在标度变换下（完全地或统计地）具有不变的结构，也称为分形。

（图形具有结构的缩尺不变性，拉伸和重标度图形的任意部分将再现全局结构）。

例：

树，海岸线,2.几种理想的规则分形,

（1）康托尔集（Cantorset）,

（2）席尔宾斯基地毯（Sierpinskicarpet）,（3）科赫曲线，科赫雪花（Kochsnowflake）,3.实际的分形,

（1）过饱和水蒸气中形成的雪花,

（2）人体肠的绒毛组织，血管，肺支气管树,人体肠的绒毛组织,（3）海岸线,4.力学系统中的分形魔梯（魔鬼阶梯DevilsStaircase）,阻尼单摆受迫振荡（荡秋千）的运动方程为：

若系统经过最初的暂态会趋于相空间中一条不变曲线上，系统的运动可由一下一维映射描述,一维标准正弦圆周映射,

（1）物理背景,

（2）旋转数,映射每作用一次，转子平均转了几圈,锁频,为有理数,演示魔梯,5.分维,分维，分数维数，Hausdorff（1919）,容量维数（Capacitydimension）,测量一个维数为d的物体的大小所得数M与测量所用单位有关，此关系为,康托尔集（Cantorset）,维数,席尔宾斯基地毯（Sierpinskicarpet）,科赫曲线,中国大陆海岸线,d=1.1597,本课结束！

谢谢同学们！