42二次函数的性质及练习.docx

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42二次函数的性质及练习

4．2　二次函数的性质

1、二次函数的性质

已知函数f（x）＝x2－2x－3

1．函数的顶点式是什么？

【提示】　f（x）＝（x－1）2－4.

2．函数的单调区间是什么？

它的图像的对称轴是什么？

【提示】　递增区间为[1，＋∞），递减区间为（－∞，1]，它的对称轴为x＝1.

3．当自变量x为何值时，函数的图像达到最低点？

它的最小值为多少？

【提示】　在x＝1时达到最低点，最小值为－4.

4．该函数在[1,2]上的最小值和最大值分别为多少？

在[0,2]上呢？

【提示】　在[1,2]上的最小值为－4，最大值为－3，在[0,2]上的最小值为－4，最大值为－3.

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的性质如表：

　　a的

符号

性质　

a>0

a<0

图像

开口方向

开口向上

开口向下

顶点

坐标

（－

，

）

（－

，

）

对称轴

x＝－

x＝－

单调

区间

在区间（－∞，－

]

上是减少的，

在区间[－

，＋∞）

上是增加的

在区间（－∞，－

]

上是增加的，

在区间[－

，＋∞）

上是减少的

最大值、

最小值

当x＝－

时，

函数取得最小值

；无最大值

当x＝－

时，

函数取得最大值

；无最小值

　已知函数y＝f（x）＝3x2－6x＋1.

（1）求其对称轴和顶点坐标；

（2）已知f（－1）＝10，不计算函数值，求f（3）；

（3）不直接计算函数值，试比较f（－

）与f（

）的大小．

【思路探究】　本题中已知二次函数f（x）的解析式，故可考虑用配方法将f（x）配成顶点式，进而确定对称轴和顶点坐标．然后再结合对称性求f（3）及比较f（－

）与f（

）的大小．

【自主解答】　∵f（x）＝3x2－6x＋1＝3（x－1）2－2，由于x2项的系数为正数，∴函数图像开口向上．

（1）顶点坐标为（1，－2）；对称轴方程为x＝1.

（2）∵f（－1）＝10，

又|－1－1|＝2，|3－1|＝2，

∴由二次函数的对称性可知，f（3）＝f（－1）＝10.

（3）∵f（x）＝3（x－1）2－2的图像开口向上，且对称轴为1，

∴离对称轴越近，函数值越小．

又|－

－1|>|

－1|，

∴f（－

）>f（

）．

1．已知二次函数的解析式求顶点坐标及对称轴，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：

y＝a（x＋h）2＋k，进而确定顶点坐标为（－h，k），对称轴为x＝－h.

2．比较两函数值大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系；也可以将要比较的两点转化到同一单调区间上，利用函数的单调性比较它们的大小．

（1）下列区间中，使函数y＝－2x2＋x是增函数的是（　　）

A．R　　　　　　　　　　B．[2，＋∞）

C．[

，＋∞）D．（－∞，

]

（2）（2013·保定检测）若函数f（x）＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2.则（　　）

A．f（4）

（1）

（2）B．f

（2）

（1）

C．f

（2）

（1）D．f（4）

（2）

（1）

【解析】　

（1）函数y＝－2x2＋x＝－2（x－

）2＋

的图像的对称轴是直线x＝

，图像的开口向下，所以函数在对称轴x＝

的左边是增加的．

（2）函数f（x）的对称轴为x＝2，所以f

（2）最小，又x＝4比x＝1距对称轴远，故f（4）>f

（1），即f

（2）

（1）

【答案】　

（1）D　

（2）B

2、二次函数的最值

　已知函数f（x）＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．

（1）当a＝－1时，求函数f（x）的最大值和最小值；

（2）用a表示出函数f（x）在区间[－5,5]上的最值．

【思路探究】

（1）将a＝－1代入―→配方―→写最值

（2）配方―→写对称轴―→分类讨论―→结论

【自主解答】　

（1）∵a＝－1，∴f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，

∴f（x）在[－5,1]上单调递减，

f（x）在[1,5]上单调递增．

∴f（x）min＝f

（1）＝1，f（x）max＝f（－5）＝37.

（2）函数f（x）＝x2＋2ax＋2＝（x＋a）2＋2－a2的图像开口向上，对称轴为x＝－a.

①当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上是增加的，所以f（x）max＝f（5）＝27＋10a，

f（x）min＝f（－5）＝27－10a；

②当－5<－a≤0，即0≤a<5时，函数图像如图

（1）所示．

由图像可得f（x）min＝f（－a）＝2－a2，

f（x）max＝f（5）＝27＋10a；

③当0<－a<5，即－5

（2）所示，

由图像可得f（x）max＝f（－5）＝27－10a，

f（x）min＝f（－a）＝2－a2；

④当－a≥5，即a≤－5时，函数在区间[－5,5]上是单调递减的，所以f（x）min＝f（5）＝27＋10a，f（x）max＝f（－5）＝27－10a.

求二次函数在某区间上的最值的要点为：

1．考虑二次函数的对称轴在该区间的两侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；

2．当对称轴在区间内部时，还要考虑区间两端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大．

　本例

（1）已知函数f（x）＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．

（1）当a＝－1时，求函数f（x）的最大值和最小值；中“当a＝－1时”条件不变，求x∈[t，t＋1]时f（x）的最小值g（t）．

【解】　①当t>1时，f（x）在[t，t＋1]上单调递增，

所以当x＝t时，f（x）取得最小值，

此时g（t）＝f（t）＝t2－2t＋2；

②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f（x）在区间[t，t＋1]上先减再增，故当x＝1时，f（x）取得最小值，

此时g（t）＝f

（1）＝1；

③当t＋1<1，即t<0时，f（t）在[t，t＋1]上单调递减，

所以当x＝t＋1时，f（x）取得最小值，

此时g（t）＝f（t＋1）＝t2＋1.

综上得g（t）＝

3、二次函数的实际应用

　在某服装批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈现上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后，当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售．

（1）试建立价格p（元）与周次t之间的函数关系式；

（2）若此服装每周进价q（元）与周次t之间的关系为q＝－0.125（t－8）2＋12，t∈[0,16]，t∈N，试问该服装第几周每件销售利润最大？

【思路探究】　由题设可知，在不同周次，价格是不同的，前5周价格直线上升；中间5周价格保持不变，最后6周价格直线下降，所以价格p与周次t之间的函数关系是一个分段函数，而且有每件利润＝每件售价－每件进价，分段来分析第几周销售利润达到最大．

【自主解答】　

（1）当t∈[0,5]时，p＝10＋2t；

当t∈（5,10]时，p＝20；

当t∈（10,16]时，p＝40－2t.

所以p＝

（2）由于每件销售利润＝售价－进价，所以每件销售利润L＝p－q.

所以，当t∈（0,5]时，

L＝10＋2t＋0.125（t－8）2－12＝0.125t2＋6，t∈N，

当t＝5时，L取最大值9.125；

当t∈（5,10]时，L＝

（t－8）2＋8，t∈N，

当t＝6或t＝10时，L取最大值8.5；

当t∈（10,16]时，L＝0.125t2－4t＋36＝

（t－16）2＋4，t∈N，

当t＝11时，L取最大值7.125.

因此，该服装第5周每件销售利润最大．

求解实际问题“四步曲”

1．读题：

分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系（目标与条件的关系）．

2．建模：

把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转换成函数问题．

3．求解：

选择合适的数学方法求解函数．

4．评价：

对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，做出解释或预测．

也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步骤．

　某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：

R（x）＝

其中x是仪器的月产量．

（1）将利润表示为月产量的函数．

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？

最大利润是多少元？

（总收益＝总成本＋利润）

【解】　

（1）设月产量为x台，则总成本为20000＋100x，从而利润

f（x）＝

（2）当0≤x≤400时，f（x）＝－

（x－300）2＋25000，所以当x＝300时，有最大值25000；

当x>400时，f（x）＝60000－100x是减少的，

所以f（x）<60000－100×400＝20000<25000.

所以当x＝300时，有最大值25000，

即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元.

4、分类讨论思想在二次函数最值问题中的应用

　（12分）求f（x）＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．

【思路点拨】　此题为二次函数中区间固定对称轴移动的问题，应先配方寻找对称轴，分析对称轴与区间[0,2]的关系．

【规范解答】　f（x）＝（x－a）2－1－a2，对称轴为x＝a.2分

（1）当a<0时，由下图①可知，f（x）在区间[0,2]上是增函数，所以f（x）min＝f（0）＝－1，f（x）max＝f

（2）＝3－4a.4分

（2）当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，

所以f（x）min＝f（a）＝－1－a2，f（x）max＝f

（2）＝3－4a.6分

（3）当1

所以f（x）min＝f（a）＝－1－a2，f（x）max＝f（0）＝－1.8分

（4）当a>2时，由图④可知，f（x）在[0,2]上为减函数，

所以f（x）min＝f

（2）＝3－4a，f（x）max＝f（0）＝－1.10分

1．分类讨论思想的实质是：

整体问题化为部分问题，化成部分问题后相当于增加了题设条件，从而使问题符号顺利解决．

2．本题不是分a<0,0≤a≤2，a>2三种情况讨论，而是分四种情况，这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f（0），也有可能是f

（2）．

一、选择题

1．抛物线y＝x2－mx＋m－2与x轴交点的情况是（　　）

A．无交点　　　　　　　B．有一个交点

C．有两个交点D．无法确定

2．函数f（x）＝ax2＋2（a－3）x＋1在区间（－2，＋∞）上是减函数，则a的取值范围是（　　）

A．[－3,0]B．（－∞，－3]

C．[－3,0）D．[－2,0]

3．函数f（x）＝x2－mx＋4（m>0）在（－∞，0]上的最小值是（　　）

A．4B．－4

C．与m的取值有关D．不存在

4．已知二次函数f（x）＝ax2－6ax＋1，其中a>0，则下列关系中正确的是（　　）

A．f（

）

）B．f（2π）>f（π）

C．f（

）

（1）

5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：

万元）分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量（单位：

辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（　　）

A．45.606万元B．45.56万元

C．45.6万元D．45.51万元

二、填空题

6．若f（x）＝x2＋（a＋2）x＋3，x∈[a，b]的图像关于x＝1对称，则b＝________.

7．（2013·四平高一检测）若f（x）＝－x2＋4x＋k，x∈[0,1]的最大值为2，则f（x）的最小值为________．

8．若函数f（x）＝x2＋ax＋b的图像与x轴的交点为（1,0）和（3,0），则下列关于函数f（x）单调性的说法正确的是________（填序号）．

①在（－∞，2]上是减少的；

②在[2，＋∞）上是增加的；

③在（－∞，3）上是增加的；

④在[1,3]上是增加的．

三、解答题

9．已知：

二次函数f（x）与g（x）的图像开口大小相同，开口方向也相同，且g（x）＝－2x2－x－2，f（x）图像的对称轴为x＝－1，且过点（0,6）．

（1）求函数y＝f（x）的解析式；

（2）求函数y＝f（x）在[－2,3]上的最大值和最小值．

10．某企业生产的一种电器的固定成本（即固定投资）为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本（即另增加投资）25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入（R）与销售量（t）的关系可用抛物线表示如图2－4－2.

图2－4－2

（注：

年产量与销售量的单位：

百台，纯收益的单位：

万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元）

（1）写出销售收入（R）与销售量（t）之间的函数关系R＝f（t）；

（2）认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年产量的函数关系式，并求年产量是多少时，纯收益最大．

11．求二次函数f（x）＝x2－2x＋2在[t，t＋1]上的最小值．

参考答案：

1、【解析】　因x2－mx＋m－2＝0的判别式

Δ＝（－m）2－4（m－2）

＝m2－4m＋8

＝（m－2）2＋4>0，

故方程有不相等的两个根．

【答案】　C

2、【解析】　当a＝0时，f（x）＝－6x＋1显然成立；

当a≠0时，要使f（x）在（－2，＋∞）上是减函数，需满足

解得－3≤a<0.

综上可知，a的取值范围是[－3,0]．

【答案】　A

3、【解析】　由于f（x）的对称轴为x＝

>0，f（x）在（－∞，0]上单调减少，因此，f（x）的最小值是f（0）＝4.

【答案】　A

4、【解析】　函数f（x）＝ax2－6ax＋1的对称轴为x＝3，其图像开口方向向上，离对称轴越近，对应的函数值越小．

∵2π－3>π－3，∴f（2π）>f（π）．故选B.

【答案】　B

5、【解析】　设该公司在甲地销售了x辆车，在乙地销售了（15－x）辆车，

获得的总利润为y，由题意得

y＝5.06x－0.15x2＋2（15－x）

＝－0.15x2＋3.06x＋30（0≤x≤15，x∈N）．

此函数的图像开口向下，对称轴为直线x＝10.2，

∴当x＝10时，y取得最大值45.6，即获得的最大利润为45.6万元．

【答案】　C

6、【解析】　由题意知a＋2＝－2，即a＝－4，

又1－a＝b－1得b＝6.

7、【解析】　由于f（x）＝－x2＋4x＋k＝－（x－2）2＋k＋4，显然f（x）在[0,1]上单调递增，所以f（x）max＝f

（1）＝k＋3＝2，∴k＝－1，f（x）min＝f（0）＝k＝－1.

8、【解析】　由题意知，f（x）＝x2＋ax＋b＝0的两根分别x＝1和x＝3.

所以1＋3＝－a,1×3＝b，即a＝－4，b＝3.

所以f（x）＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，在（－∞，2]上单调减少，在[2，＋∞）上单调增加，故选①②正确．

9、【解】　

（1）设f（x）＝－2x2＋bx＋c，由题意得

∴

∴f（x）＝－2x2－4x＋6.

（2）∵f（x）＝－2（x＋1）2＋8，x∈[－2,3]，

∴x＝－1时，f（x）max＝8，

x＝3时，f（x）min＝－24.

10、【解】　

（1）由图可知：

R＝a（t－5）2＋

，

由t＝0时，R＝0，得a＝－

.

∴R＝－

（t－5）2＋

（0≤t≤5）；

（2）年纯收益y＝－

t2＋5t－0.5－

t

＝－

t2＋

t－0.5，

当t＝

＝4.75时，y取得最大值10.78万元．

故年产量为475台，纯收益取得最大值10.78万元．

11、【解】　∵函数图像的对称轴是x＝1，

∴当t＋1<1，即t<0时，

f（x）在[t，t＋1]上是减函数，

∴f（x）min＝f（t＋1）

＝（t＋1）2－2（t＋1）＋2＝t2＋1.

当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，

f（x）min＝f

（1）＝1.

当t>1时，f（x）在[t，t＋1]上是增函数，

∴f（x）min＝f（t）＝t2－2t＋2.

∴f（x）min＝