函数极值的求法 毕业论文Word格式文档下载.docx
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定义：
设函数
f x f x0
，则f x0
是函数f x 的一个极小值，极大值与极小
值统称为极值。
在
x0附近有定义，如果对
x0附近的所有的点，都有
f x f x0 ，
则f x0
是函数f x 的一个极大值。
如果附近所有的点，都有
则f x0 是函数f x的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。
若函数f在点
x0处可导，且
x0为f的极值点，则
f x0 0.这就是说可导
函数在点取极值的必要条件是 f x0 0.
1.1费马定理
设函数f在点则必有
x0的某邻域内有定义，且在点
f x0 0
x0可导.若点x0为f的极值点，
1.2稳定点
我们称满足方程 f x
0的点为稳定点.对于函数
f x x3，点x
0是稳
定点，但却不是极值点.
o
1.3极值的第一充分条件
设f在点
x0连续，在某邻域U
x0;
内可导.
i 若当
x x0
,x0
时f x
0，当
x x0,x0
0，则f在点x0
取得极小值；
ii 若当
x x0,x0
0，则f在点
x0取得极大值.
1.4极值的第二充分条件
设f 在
x 的某邻域Uo
内一阶可导，在
x x0处二阶可导，且
f x0 0，f x0 0
i若f x0 0，则f在x0取得极大值；
.
ii若
f x0 0，则f在
x0取得极小值.
1.5极值的第三充分条件
n
x0的某邻域内存在直到n
1阶导函数，在
x0处n阶可导，且
k
k 1,2
n 1，f
x0 0，则
i当n为偶数时，f 在
f x0 0时取极小值；
x0取得极值，且当f x0
0时取极大值，
ii当n为奇数时，f在x0处不取极值.
1.6求一元函数极值的步骤
1.求函数f x的导数；
2.令f x
0，解出稳定点
x1,x2
xn；
3.判断xi i
1,2
n两侧的符号，找出局部极值点；
4.根据极值的第二充分条件进行判断；
3 2
5.根据极值的第三充分条件进行判断 .
5
2
2x3
5x3
上连续，且当
x
0时有
例1 求f x
2x 5
x 的极值点和极值
解 f x
2x 5
3x2
10 2 10
1 10x 1
f x x3 x3
3 3 3 3x
易见，x
1为f的稳定点，x
0为f的不可导点.这两点是否是极值点，
需作进一步的讨论.
0
0,1
1
1,
y
不存在
y 递增 0 递减 3 递增
由上表可以看出：
点 x
0为f的极大值点，极大值
f 0 0；
x
1为f的极
小值点，极小值 f 1 3.
例2 求函数
解 由
f x 2x
1 x
f x
的极值
2x
2 2
21 x
2x2x 21 x
得 f x
得稳定点为x
2 2 0
1 x2 1 x2
1或x 1
4x1 x2 8x1 x2
3
12x 4x
又 f x f x 3 3
于是 f 1 1 0
f 1 1 0
故1是f x的极大值点，极大值 f 1 1， 1是f x 的极小值点，极小值
f 1 1.
例3 试求函数解 由于
f x x 1 x
1 的极值
f x 2 x 1 x 1
2 2
3 x 1 x 1
x2 1 2 x 1 3x2 1
x2 1 5x2
4x 1
x 1 x
1 5x 1
得 x 1,1,1
f x 2 x 1
x 1 5x 1
2
x 1 5x
1 5 x
1 x 1
x 1 2 5x2 6x
x x 1 20x 8
1 5x2
4x 1 5 x2 1
则f 1 0，故 1不是f x的极值点；
f
1 24 0，故x
1是f x的
极小值点；
5 25
1是f x的极大值点.
所以极小值
f 1 0，极大值f
1 3456.
5 3125
2.二元函数极值的求法
以上我们用导数的方法分析解决了一元函数极值的问题，那么对二元函数极值的问题我们又该怎样解决呢？
设函数f 在点P0
x0,y0
的某邻域
U P0
内有定义.若对于任何点
Px,y U P0 ，成立不等式
f P f P0 （或f P f P0 ）
则称函数f在点
P0取得极大（或极小）值，点
P0称为f的极大（或极小）值
点.极大值和极小值统称为极值 .极大值点和极小值点统称为极值点 .
2.1极值必要条件
若函数f在点P0
存在偏导数，且在
P0取得极值，则有
fx xo,y0
0，fy
xo,y0 0
反之，若函数 f在点P0满足上式，则称点P0为f的稳定点.
需要说明的是与一元函数的情形相同， 函数的偏导数不存在的点上也有可能取得
极值,如函数
f（x,y）
x2 y2
在原点无偏导数,但在原点取得极小值.
2.2极值充分条件
设函数z
f（x,
y）在点
（x0,y0）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导
数 , 又 令
f'
x（x0,y0） 0 ,
y（x0,y0） 0 令
'
xx（x0,y0） A ,
f'
xy（x0,y0）
如下:
B, f'
yy
（x0,y0）
C, 则
f（x,y）在（x0,y0）处是否取得极值的条件
（1）D
0，A
0时, f在P0取极大值；
（2）D
0时, f在P0取极小值；
（3）D 0时, f在P0不取极值.
（4）D 0时,不能肯定f在P0是否取得极值.
证明 记
f（x,y）
f（x0,y0）
将 按照具有拉格朗日型余项的泰勒公式展开到第二项 ,结合稳定点条件有
1（f 2 2
2!
x2 x 2fxy x y fy2 y）
令
（1.2）
fx2 x0
x,y0
y A ，
fxy x0
y B ，
fy2 x0
y C ，
由二阶偏导数的连续性,有 x
0， y
0时， 、 、 均趋于0.
令 x cos , y
sin
,其中
,于是有
1 2
（Acos
2Bcos sin
Csin2
cos 2
2 cos sin sin2
） （1.3）
（1）D 0时
这时AC
0,故A
0，（1.3） 式括号中前三项可表示为
1 AcosA
Bsin
AC B2
sin2
（1.4）
显然（1.4） 式恒不为零,且与A同号.其绝对值为 0,2 内的 的连续函数，有最小值m.
另一方面, 0时,由于 、 、 均趋于0，则对一切 都有
cos2
cos sin sin2
m， （1.5）
只要 充分小.
因此：
A
0时, 0,函数取极小值；
0时, 0,函数取极小值.
（2）D 0时
（I）若A
0，仍可利用（1.4） 的变换.
= 1=0时,[, ]内表达式变为
A2,故为
正.反之，若由条件
Acos 2
Bsin
2=0 （
sin 2
0）确定 2，则[, ]内将变成
AC B2 sin2 ，故为负.
充分小时，（1.3） 式括号中后三项，不论在 1或 2时都可成为任意
小，故 的符号即由前三项的符号决定 . 这样，在被考察的点P0的任意近处，在
由角度 1及 2确定的射线上， 有异号的值.因此，在这点，函数不可能
有极值.
（ii） 若A 0，（1.3） 式括号中前三项就变成
2Bcos sin
Csin2
sin （2Bcos
Csin ）
此时必有B
0,故可这样来确定 1 0使C
sin 1
2Bcos
1，于是，当 1
及 2 1时，上面的三项式就有相反的符号，讨论可同上面一样完成 .
所以，D
0时，f在P0取极值，A
0有极大值，A
0有极小值；
D
0时，
f在P0取不到极值，定理证毕.
2.3求二元函数极值的基本方法
（1））利用函数极值的定义求极值
（2））利用函数极值存在的充分必要条件求极值，则求步骤为:
z f（x,y）
的极值的一般
①解方程组
x（x,y）
0，f'
y
（x,y）
0，求得一切实数解，即可求得一切驻
点（x1,y1）,（x2,y2） （xn,yn）；
②对于每一个驻点
（xi,
yi）（i
1,2,
n），求出二阶偏导数的值
A,B,C；
③确定AC
B2的符号，按定理 2的结论判定
f（xi,
yi）
是否是极值，是极大
值还是极小值；
④考察函数值点。
f（x,y）是否有导数不存在的点，若有用定义加以判别是否为极
例1 z x2 y 12
解 解方程组
z 2xx
z 2
y 1 0
得稳定点
P0（0,1），由于
A zxx（0,1） 2，B zxy（0,1） 0，C zyy（0,1） 2，
故极值不存在.
D AC B2 4 0，
例2 z
（5x 7y
25）e
（x2
xyy2）.
z 5ex
（x2
xyy2）
（5x
7y 25）（2x y）e
xyy2） 0
z 7ey
（x2
xyy2）
7y 25）（x
2y）e
（x2
解得稳定点
P（1,3）及P
1, 3 .在P处
0 1 0
26 26
A zxx
（P0） 27e
13，B z
（P） 36e13,
Czyy
（P） 51e13.
xy
于是
故z在P0取得极大值
z（P0）
DAC B2
e13.
81e26 0,
同法可得函数z在点
P1取得极小值
z（P1） 26e
52.
例3 造一个容积为V的长方体盒子，如何设计才能使所用材料最少？
解 设盒子的长为x，宽为y，则高为
V ．故长方体盒子的表面积为
S 2（xy Vx
V）．y
这是关于
x,y的二元函数，定义域为 D
（x,y）x
0,y 0．
由 S 2（y
V）， S
x2 y
2（x
V），得驻点
y2
（3V,3
V）．根据问题的实际意
义，盒子所用材料的最小值一定存在，又函数有唯一的驻点，所以该驻点就是 S
取得最小值的点．即当 x
y z 3V时，函数S取得最小值
6V3，也即当盒子
的长、宽、高相等时，所用材料最少．
3.多元函数极值的求法
以上我们分别解决了一元函数极值问题和二元函数极值的问题，进而推广，面对多元函数的极值问题我们又该如何进行分析解决呢？
3.1普通极值问题
设f x,x,x x 是集合S Rn上的函数，如果对P x x ，存在
1 2 3 n 0 1 n
P在Rn中的邻域U，使得 P x,x,x x S U，恒有
0 1 2 3 n
f x,x,x x f x0 x0
1 2 3 n 1 n
则f x0 x0 称为 f x,x,x x 在S上的局部极大值（极小值） ，P称为
1 n 1 2 3 n 0
f x1,x2,x3
xn 的局部极大值（极小值）点，如果S是开集，则P0称为普通极值
1 2 3
点，否则称为条件极值点 .
0 1 n
定理1 如果
P x0
x0 是
f x,x
,x x 的普通极值点，且
,x x
在P0存在偏导数，则
f x0 0
xi
0,i
1,2 n
证明 P是内点，因而x0是一元函数f x0 x0 的极值点，因此
0 1 1 n
f x0
1,2 n
设
f x,x
xi
x x 在区域D上处处存在偏导数，如果在点
P x0
x0 成
立
1,2
n，则称
P0为
f x1,x2,x3
xn 的判别点.
如果P0为
f x1,x2,x3
xn 的极值点，则其实
f x1,x2,x3
xn 的判别点，但
反之并不成立.
例：
f x,y x2
y2，则
f 0,0 f
0，
0,0
0，但0,0 并不是
f x,y的
极值点.
与一元函数相同，我们需要利用
f x1,x2,x3
xn 在判别点处的二阶 Taylor
展开来讨论所给判别点是否是极值点以及是什么样的极值点 .为此我们需要下面的引理
引理：
设 n阶对称矩阵 A是正定（负定）的，则存在 0，使得对任意
x1,x2,x3 xn ，恒有
x,x
,x x A x,x
T
x x
x2 x2
1 2 3 n 1 2 3 n 1 n
证明 Rn中单位球面
S x,x
/x2
x2 1
是有界闭集，因而是
紧集，Sn上的函数
x1,x2,x3
xn A x1,x2,x3
xn 连续且处处不为零，因而在Sn
上达到最小值，设为 ，则对任意
x1,x2,x3 xn
0恒有
引理得证.
x1,x2,x3
xn x1,x2,x3 xnA
2 2 2
n 1 n
定理 2 设
,x x 在区域D内的判别点，若果
0 1 n 1 2 3 n
f x,x,x x 在P x0 x0 的黑赛（Hesse）矩阵 H P 是正定的，则
1 2 3 n 0 1 n f 0
P x0 x0 是f x,x,x x 的严格极小点， 如果H P 是负定的，则
0 1 n 1 2 3 n f 0
P x0 x0 是f x,x,x x 的严格极大点， 如果H P 是不定的，则
P x0 x0 不是
f x,x,x x 的极值点.
证明设
1 2 3
n
2f
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