线性代数复习提纲.docx

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线性代数复习提纲

基本要求

一、基本概念与性质

行列式的定义、性质、特殊行列式的计算；矩阵的运算性质、伴随矩阵、简单的分块矩阵涉及的运算、初等矩阵和逆矩阵等；向量组的系列定义、性质、线性关系、极大线性无关组、秩等；线性方程组有解的条件、基础解系、通解的结构；特征值和特征向量的性质、相似矩阵、对角化等。

二、主要题型：

1．行列式计算（定义、性质、结论、按行（列）展开）；

2．初等变换求逆矩阵（或解矩阵方程）；

3．求向量组的极大无关组（并用其表示其他向量）；

4．非齐次线性方程组（可能带参数）的解的存在性并求通解（利用导出组的基础解系表示），或者讨论（带参数的）向量组的线性关系等问题；

5．借助二次型考察矩阵特征值、特征向量的计算，施密特正交化的方法求正交变换化二次型为标准型，二次型的秩；

6.相关的证明题。

注：

1.二次型部分只要求掌握正交变换法求标准型。

配方法不考。

2．打星号的章节内容均不做要求。

3．分块矩阵的复杂运算，以及需借助分块矩阵的构造来推导的矩阵的秩的相关证明问题不作为考察重点。

《线性代数》复习提纲

第一部分：

基本题型

1.行列式的计算（3,4，n阶）；

2.矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；

3．求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；

4.求矩阵的行列式；

5.讨论一个向量能否用一向量组线性表示；

6.讨论或证明向量组的线性相关性；

7.求向量组的极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示；

8.齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解、基础解系、通解）；含参数的线性方程组解的讨论并求解；

9.将线性无关组正交化、单位化；

10.求方阵的特征值和特征向量；

11.讨论一般方阵能否对角化，如能，写出相似变换的矩阵及对角阵；

12.通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；

13.写出二次型的矩阵，将二次型标准（规范）化，并写出正交变换矩阵。

14.判定二次型或对称矩阵的正定性。

15.矩阵的相等、等价、相似与合同以及相关的性质与结论。

第二部分：

基本知识

一、行列式

1．行列式的定义与性质

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；

（2）展开式共有n!

项，其中符号正负各半；

2．行列式的计算

二、三阶行列式的对角线法则；n阶（n3）行列式的计算：

降阶法，按一行列展开定理：

n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

　方法：

选取比较简单的一行（列），保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况：

（1）三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；

（2）行列式值为0的几种情况：

　（10）行列式某行（列）元素全为0；

（20）行列式某行（列）的对应元素相同；

（30）行列式某行（列）的元素对应成比例；

（40）奇数阶的反对称行列式。

二．矩阵

　1．矩阵的基本概念（特殊：

单位矩阵、数量、对角、对称矩阵与初等矩阵等）；

2．矩阵的运算

（1）加减、数乘、乘法运算的条件、性质；

（2）关于乘法的几个结论：

①矩阵乘法一般不满足交换律；

②矩阵乘法一般不满足消去律、

可能

；

③若A、B为同阶方阵，则

3．矩阵的秩

（1）定义:

行秩、列秩；非零子式的最大阶数；

（2）秩的求法:

按定义；或根据矩阵的初等变换不改变矩阵的秩而利用初等变换将矩阵化为阶梯阵（阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数）。

4．逆矩阵

（1）定义

（2）性质：

（3）可逆的条件：

（10）

；（20）R（A）=n;（30）

（40）A可以写成若干个初等矩阵的乘积；

（4）逆的求法：

伴随矩阵法

；

初等行变换

初等变换法　

5．用逆矩阵求解矩阵方程：

三、向量组的线性相关性

1．n维向量的定义

注：

向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。

2．向量的运算：

（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；

（2）向量内积　

（3）向量长度　

（4）向量的单位化

；

（5）线性无关向量组的正交化（施密特方法）

3．线性组合

（1）定义；

（2）判别方法：

将向量组合成矩阵，记

　A＝（

），B=（

）

若R（A）=R（B），则

可以用向量组

线性表示；

若R（A）

R（B），则

不能用向量组

线性表示。

（3）求线性表示表达式的方法：

　将矩阵B施行初等行变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。

或解非齐次线性方程组

4．向量组的线性相关性

（1）定义

（2）判别方法：

①R（

）

R（

）=n，线性无关。

②对n个n维向量，可用行列式判别：

，线性相关（

0无关）

5．极大无关组与向量组的秩

（1）极大无关组与向量组的秩的定义；

（2）求法：

设A＝（

），将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。

四、线性方程组

1．线性方程组解的判定

定理：

特别地：

对齐次线性方程组

，

2．齐次线性方程组

（1）解的情况：

，（或系数行列式

）只有零解；

，（或系数行列式

）有无穷多组非零解。

（2）解的性质与通解结构：

（3）求解的方法和步骤：

　①将系数矩阵通过初等行变换化为阶梯阵；

②写出对应的同解方程组；

③选择自由未知量，移项利用自由未知量表示其余未知量；

④对自由未知量赋值求出基础解系；

⑤写出通解。

3．非齐次线性方程组：

（1）有解、无解、有唯一解和无穷多解的条件。

（2）非齐次和齐次线性方程组解的关系。

（3）通解的结构：

（4）无穷多组解的求解方法和步骤：

齐次线性方程组的基础解系与齐次线性方程组

的任一特解。

（5）唯一解的求法：

　克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。

五、矩阵的特征值和特征向量

1．定义及其性质；

2．特征值和特征向量的求法：

　求出特征方程

的根即为特征值，将特征值

代入对应齐次线性方程组

，求出方程组的所有非零解即为特征向量。

3．重要结论：

（1）A可逆的充要条件是A的特征值不等于0；

（2）A与A的转置矩阵有相同的特征值；

（3）A与其逆矩阵、伴随矩阵和矩阵多项式的特征值的关系；

（4）A的特征值与其主对角线上元素及行列式的关系。

（5）不同特征值对应的特征向量线性无关。

六、矩阵的相似

1．定义及其性质。

2．求A与对角矩阵∧相似的方法与步骤（求P和∧）：

（1）求出所有特征值；

（2）求出所有特征向量；

若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化）；

（3）将这n个线性无关特征向量作为列向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为∧。

3．求正交变换Q将实对称矩阵A化为（与之合同的）对角阵：

　方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。

七、二次型

1．二次型及其矩阵。

2．正交变换法将二次型标准化。