线性代数练习题.pdf

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线性代数练习题1一、填空题1.11111111x是关于x的一次多项式，该式中一次项的系数是_。

2.已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D=_。

3.已知333222111=D，则=+131211AAA_。

4.已知矩阵nsijcCBA=）（,满足CBAC=，则A与B分别是_阶矩阵。

5.已知=40060852bA是奇异阵，则=b_。

6.设方阵A满足0322=EAA，则=1A_。

7.设=1100210000120025A，则=1A_。

8.=1011A，k为自然数，则=kA_。

9.若A为n阶方阵，且EAAT=，则=A或。

10.若n阶方阵A的秩小于n，则A的行列式等于_。

11.设A为3阶方阵，且3=A，则*1AA+=_。

12.已知=200020002A，满足BAAB+=，则=B_。

13.设A为n阶方阵，且2=A，则=A2，=*A。

14.若A为n阶方阵，且EAAT=，1=A则=+EA。

15.设A为5阶方阵，且21=A，试求=1*）3（A_。

16.已知矩阵=054032100A，则=）（AR_.17.设向量组）1,2,1,1（1=，）2,0,0,1（2=，）,8,4,1（3k=线性相关，则参数k=_。

18.设（）nmijaA=，若nm，则A的列向量组线性_。

19.设A为nm矩阵,非齐次线性方程组bAX=有解的充分必要条件是_。

20.线性方程组0321=+xxx的一个基础解系是_。

线性代数练习题221.设=5364425313421111A，则齐次线性方程组0=AX包含的基础解系的个数为_。

22.设A是秩为r的nm阶矩阵，则齐次线性方程组0=AX的任一基础解系所含解向量的个数均为_。

二、计算题1.计算行列式

（1）1333313333133331=D；

（2）1001247313226184；（3）ccbbaa1100110011001；（4）n.222.2.3222.2222.221。

2.设A,B均为n阶矩阵，3|2|=B,A，求|2|1BAT。

3.设A为3阶方阵，31=A，求行列式1*）2（3AA的值，其中*A为A的伴随矩阵。

4.设n阶方阵A和B满足条件EABA=2，且已知=100110111A，求矩阵B。

5.设=101011324A，且有关系式XAAX2+=，求矩阵X。

6.已知=231043210A，=251041214B，求X，Y使=+BYXAYX3。

7.已知矩阵=4553251101413223211aA的秩是3，求a的值。

8.设1234012300120001A=，求1A。

线性代数练习题39.设=1111t，=1112t，试确定t的范围，使1，2线性无关。

10.判别向量组=12011，=10212，=03123，=41524的线性相关性，求它的秩和它的一个最大线性无关组，并把其余向量用这个最大线性无关组表示。

11.讨论对于b的不同取值，向量组）1,4,3,1（1=，）,5,4,1（2b=，）3,3,1,2（3=，）0,3,2,1（4=的秩，并求出对应该值的一个最大线性无关组。

12.已知向量组1，2，3线性无关，向量组211k=，322+=，133k+=线性相关，求k值。

13.求齐次线性方程组xxxxxxxxxxxx1234123412342403620220+=+=+=的基础解系。

14.讨论a取何值时，线性方程组=+=+=+1222321321321xaxxxaxxxxax

（1）有唯一解，

（2）无解，（3）有无穷多解，并求通解。

15.求非齐次线性方程组xxxxxxxxxxxx1234123412342433623221+=+=+=的通解。

16.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知123,是它的三个解向量，且=20141，=+210132，求该方程组的通解。

三、证明题1设为n维列向量，1=T,2TnHE=，证明：

H是对称的矩阵。

2设（）（）121233111111xAxyyyx=+，其中123123,xxxyyy为任意常数，证明0A。

3设A,B是n阶方阵，如果B可逆且满足022=+BABA，证明A和BA+均可逆。

4如果2AAE=+，证明A可逆并求1A。

5设向量组321,线性无关，11=，2122+=，321332+=，证明321,也线性无关。

6设向量组1，2，n线性相关，且它的任意1n个向量线性无关，证明向量组1，2，n中任一向量都可以由其余向量线性表示。