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线性代数练习题

精编资料

简介:

3,设行列式,则代数余子式=4,设,则5,=6,已知齐次线性方程组有非零解,...21,已知向量

组,,线性无关,若向量组+,+,+线性无关,则=22,已知向量组,,的...

关键词线性代数,代数,线性

线性代数练习题

一、填空题

010

1、11，a1=

111,a

1023

11472、行列式中，元素的代数余子式为,30,115

2,301

012,5

1,701A3、设行列式，则代数余子式=D,23231,1

0,14,2

aaa3a3a3a111213313233

aaa,d2a2a2a,4、设，则212223212223

aaa,a,a,a313233111213

00001

00020

5、=00300

04000

50000

xxx，2,,0,123,2x，x,x,06、已知齐次线性方程组有非零解，则=,,123

xxx3,4，,,0123,

kx，x,x,0,123,，,,0xkxx7、若齐次线性方程组仅有零解，则的范围为k,123

2x,x，x,0123,

2x，1x,133,68、方程=,的根为0x,1x,221,4

23,,,19、设，则=,,AA,,,01,,

15,,,110、设，则=,,AA,,,10,,

*11、设四阶方阵的秩为2，则其伴随矩阵的秩为AA

1n12、设，为阶方阵，且，，则2AB,ABA,2B,,313、设为阶方阵，且，则A2A,16A,3

1A14、设为阶方阵，且，则3A,3A,5

3102,,,,A,1,12,115、设，则秩r（A）=,,

,13,44,,

1,1210,,,,2,2420,,16、设，则秩r（A）=A,,,306,11,,,,03001,,

,（1,1,1）,,,（1,0,1）,,（0,,1,,1）,,,,（3,5,6）,17、设，，，则被，，线331221

性表示的表示式为

,（2,3,a）a,,（1,2,3）,,（3,,1,2）18、若向量组，线性相关，则=312

,（,1,4,k）,,（1,0,1）,,（k,3,0）19、若向量组，线性相关，则=k312

,（1,4,1）,,,（,1,3,1）,,（2,1,0）,,20、设，，则，，线性关331221

,,,,,,,,,21、已知向量组，，线性无关，若向量组+，+，+线性无关，333222111则=,

,,,,22、已知向量组，，的秩为3，则向量组，,,的秩为332112

，,xxa,121,a,a,a，,xxa23、已知线性方程组有解，则应满足关系式,123232

x,x,a133,

r（A）24、已知是矩阵，且线性方程组有唯一解，则=A5，4AX,b

,,,,,,25、已知秩为3的向量组，，，可由向量组，，线性表示，3324211

则向量组,，,，必定线性关321

,,,？

,,,，,,，？

，,,26、设及都是非齐次线性方程组的解向量，则AX,b12t1122tt

，,，？

，,,12t

x，x，？

，x,027、设齐次线性方程组为，则它的基础解系中所含向量的个数为12n

1111,128、若4阶矩阵与相似，的特征值为，，，，则行列式=B,EABA2345

229、设A,E，则的所有特征值为A

1,10,,,,x,30、设A,2x0的特征值为1，2，3，则,,

,421,,

131、设3阶矩阵的特征值为,,，1，2，则A的特征值为A

*32、设3阶矩阵的特征值为2，1，,5，则A的特征值为A

二、单项选择题

4a2a3aa,aaa11111213111213

4a2a3aaaaa,1,,1、若，则21212223212223

aaa4a2a3aa,31323331313233ABCD,1224,248

31x

4x0,0x2、若，则的范围为

10x

A且B或CDx,0x,2x,0x,2x,0x,2

3x，y,z,0,

4y，z,03、如果方程组有非零解，则=,,

,x,5y,z,0,

ABCD或,,0,,1,,,1,,,3,,,1

abdabc,,,,111111,,,,B,abdA,abc4、设，，，，则A,2B,32A,B,,,,,222222

,,,abcabd333333,,,,ABCD,11513

5、矩阵在（）时，其秩将被改变A

A乘以奇异矩阵B乘以非奇异矩阵C进行初等行变换D转置

n6、设，为阶矩阵，且，则必有ABAB,0

A或BC或D+A,0B,0AB,0A,0B,0A，B,0

7、设和均为n阶方阵，则必有AB

A=+BAB,BAA，BAB

1,1,1（A，B）,A，BC=DABBA

n8、设阶方阵与等价，则AB

ABCD若则必有A,BA,BA,,BA,0B,0

22n（A，B）（A,B）,A,B9、若，均为阶非零矩阵，且则必有AB

A，为对称矩阵BCDABAB,BAA,EB,E

10、设，是同阶对称矩阵，则是ABAB

A对称矩阵B非对称矩阵C反对称矩阵D以上均不对

1T,1[（B）]11、已知为可逆阵，则=B

T,1,1T（B）ABBCBDB

nn12、设是阶可逆矩阵，是阶不可逆矩阵，则AB

A+是可逆矩阵B+是不可逆矩阵AABBC是可逆矩阵D是不可逆矩阵ABAB

,？

,,,？

,13、设向量组I:

可由向量组II:

线性表示，则1s1r

r,sA当时向量组II必线性相关

r,sB当时向量组II必线性相关

r,sC当时向量组I必线性相关

r,sD当时向量组I必线性相关

,,,？

,14、若向量组线性相关，则一定有12s

,,,？

,,,,,？

,A线性相关B线性相关12s,112s，1

,,,？

,,,,,？

,C线性无关D线性无关12s,112s，1

,,15、设，是的解，，是的解，则,AX,BAX,02211

A2+是的解,AX,011

,B+是的解AX,B21

C,+是的解AX,021

,D,是的解AX,B21

,,,？

,16、向量组线性无关的充分条件是12s

,,,？

,A均不是零向量12s

,,,？

,B中有部分向量线性无关12s

,,,？

,C中任意一个向量均不能由其余个向量线性表示s,112s

k,k,？

k,0k,，k,，？

，k,D有一组数，使得=012s1122ss

17、可逆矩阵与矩阵（）有相同的特征值A

T,12ABCDAAAA，E

18、设为一个可逆矩阵，则其特征值中A

A有零特征值B无零特征值C有二重特征值零D以上均不对

三、计算题

102,2

11,341、求02,71

20,23

02,15

1,3172、求20,34

1,3,32

30,1,1

2,1053、求,141,2

03,20

3,112

02,104、求,2305

2,30,1

20,13

3,1045、求4,215

52,13

1,2312,3,,,,,,,,0026、求012,,,,

,,,32,5,517,,,,

10,1,,,,,11,,,,3102235,,,,7、求00,,,,,,,,,10702,15,,,,,,2,1,,,,11,1,,11012,1,,,,,,,,TA,1,108、，B,,210求BA,,,,,,,,103112,,,,12,132,,,,,,,,21,2,,T9、A,,210，，求C,21,,AB,CB,,,,,,,314,,,,,,0250,4,,,,

02,102,13,,,,,,,,10,1133010、求,,,,

,,,,105,2574,,,,

201,,,,,1A,,13111、设A求,,

,024,,

013,,,,,1A,,117A12、设求,,

,2,14,,

300100,,,,,,,,,1（A,2E）A,140E,01013、设，求,,,,

,,,003001,,,,

101,,,,2A,020AB，E,A，B14、设，为三阶单位矩阵，满足，求矩阵EB,,

,,101,,

5200,,,,2100,,,1AA,15、设求,,001,2,,,,0011,,

1,20,,,,16、已知，其中B,210求矩阵AB,B,AB,,

,002,,

11,1,,,,217、设，且A,011，求矩阵A,AB,EB,,

,00,1,,

11,1013,,,,,,,,18、解矩阵方程X210=2,10,,,,

,,,1,1112,4,,,,

11,123,,,,,,,,,211X19、解矩阵方程=,11,,,,

,,,11101,,,,

11,,20、设，求所有与可交换的矩阵,,AA,,,01,,

,（3,,2,3,4）,,（2,,1,3,5）,,（4,,3,1,3）,,（4,,1,15,17）21、求向量组，，，的3124秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示

,（3,0,6,,1,0）,,（1,,1,2,1,0）,,（2,1,4,,2,0）,,（0,3,0,0,1）22、求向量组，，，3124的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示

,（1,,2,,5,,9）,,（2,1,3,4）,,（5,0,1,,1）,,（3,,1,,2,,5）23、求向量组，，，，3124,,（0,5,13,22）的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示5

,（2,,1,0,1）,,（1,3,2,0）,,（7,0,14,3）,,（5,1,6,2）24、求向量组，，，的秩和一3124个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示

,（1,1,0,1,0）,,（1,0,1,0,1）,,（0,1,1,0,1）,,（,3,,2,3,0,1）25、求向量组，，，，3124,,（,2,,1,3,,3,3）的一个极大无关组，并写出其余向量用此极大无关组的线性表示式5

,x，x，x,,3,123,,x，x，x,,226、对于线性方程组，讨论取何值时方程组无解，有唯一解和有,,123

x，x，x,,2,123,

无穷多组解，在方程组有无穷多组解时，试用其导出组的基础解系表示全部解

x，3x,2x，4x，x,7,12345,xxxx2，6，5，2,5,124527、设线性方程组，解此方程组，并用其导出组的基础解,4x，11x，8x，5x,31235,

xxxxx，3，2，，,,212345,

系表示全部解

xxxx，，，,0,1234,xxx，2，2,1,234a28、问，为何值时线性方程组有唯一解，无解，有无穷多b,,x，（a,3）x,2x,b234,

3x，2x，x，ax,,11234,组解，并求出有无穷多组解时的通解29、求齐次线性方程组的一个基础解系

xxxx3，4,5，7,0,1234,xxxx2,3，3,2,0,1234,4x，11x,13x，16x,01234,

7x,2x，x，3x,01234,

30、求线性方程组的全部解，并用其向量形式表示

xxxx2，,，,1,1234,4x，2x,2x，x,2，,1234

xxxx2，,,,11234,

122,,,,A,2,1,231、求的特征值及特征向量,,

,2,2,1,,

211,,,,A,02032、求的特征值和特征向量,,

,0,11,,

21,,20,,A33、设，求的特征值及特征向量并求AA,,,23,,

1,22,,,,,1A,,24,4PAP34、设矩阵，问能否对角化，若能，试求可逆阵，使得AP,,

,2,44,,

为对角阵

366,,,,,1A,020PAP35、设，问能否对角化，若能，求出可逆阵，使得为AP,,

,,3,12,6,,对角矩阵，

四、证明题

1n（A,E）1、设阶矩阵和满足条件，证明为可逆矩阵，并求，其ABA，B,ABA,E中为n阶单位矩阵E

12n2、已知阶方阵满足矩阵方程，证明可逆，并求AA,3A,3E,0AA

12n（A，E）3、已知阶方阵满足，证明可逆，并求A，2A，4E,0AA，E

n4、设、为阶矩阵，若，证明ABA，B,EAB,BA

2n5、证明若为阶方阵且，，则=0A,A|A|AA,E

,,6、设向量组,，,，线性无关，证明,+,，,+，+,也线性无关333222111

,,,7、设,=,+,，=,+，=+,，,=,+,，证明,，，，,线,,3333224444111122性相关

nn,,,8、设维向量,可由维向量组，，…，线性表示，证明表示式唯一的充分必要m21

,,条件是，，…，线性无关m21

,,,,,9、设，，是齐次线性方程组的一个基础解系，证明=，=+，,,AX,032211121

,,,=++也是的一个基础解系AX,03321

,,,,,10、设向量,可由向量组，，…，线性表示，但不能由向量组，，…，2r2r,111

,,,线性表示，证明不能由向量组，，…，线性表示r2r,11

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