深度学习教学设计案例《认识直线与平面垂直》黄少华.docx

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深度学习教学设计案例《认识直线与平面垂直》黄少华

“深度学习”教学设计案例《认识直线与平面垂直》

一、深度学习内容：

高中数学人教A版必修2《2.3.1直线与平面垂直的判定》

二、深度学习主题：

认识直线与平面垂直

三、深度学习目标：

１、知识与技能目标：

使学生掌握直线和平面垂直的定义和判定定理，培养学生在直观感知、操作、确认的基础上，学会归纳、概括结论的能力.

２、过程与方法目标：

通过教学活动，使学生了解感受直线和平面垂直定义的形成过程，探究直线与平面垂直的判定方法.

３、情感态度与价值观目标：

培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知识，发展学生的合情推理能力和空间想象力，

培养学生质

疑、思辨、创新的精神，引导学生用联系与转化的观点解决问题，激励学生敢于尝试，学会独立思考．

四、教学活动设计：

活动1：

创设情境，感知概念．

　　１、活动内容及步骤：

（1）观察实例：

引导学生将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面位置关系，引出课题。

（2）展示图片：

通过图片，引导学生观察旗杆与地面、桥墩与地面的垂直关系．

（3）学生举例：

引导学生举出身边更多类似的例子。

如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，桌子的四只脚与地面的位置关系等．

２、设计意图：

从实例到图片再到实际生活，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的数学抽象做准备．

３、评价方式：

现场评价，学生互评，教师点评、打分或给等级．

活动2：

观察归纳，形成概念．

１、活动内容及步骤：

（1）学生画图：

引导学生将地面看成平面α，旗杆看做直线l，在纸画出旗杆与地面位置关系的几何图形．教师巡视，针对学生画图中出现的问题，如不直观、不标字母等加以纠正。

（2）学生讨论：

从直线与直线垂直、直线与平面平行的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？

（3）动画演示：

在阳光下直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC的位置变化．

提问：

旗杆所在的直线AB与影子所在的直线BC的位置关系是什么？

提问：

旗杆AB与地面内任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系又是什么？

由此可以得到什么结论？

注意：

在多媒体演示时，先展示动画使学生感受到旗杆AB所在直线与过垂足B点的直线都垂直．再展示动画引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直．

（4）引导归纳：

引导学生归纳直线与平面垂直的定义、介绍相关概念．

定义：

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：

l⊥α．直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．这一定义用符号语言表示为：

若m

α，l⊥m，则l⊥α．

　　注意：

学生以小组为单位讨论交流，互相补充，并派代表作答，教师补充完善，指出定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同意词，同时给出直线与平面垂直的记法，并引导学生用符号语言表示．

２、设计意图：

（1）通过学生画图，引导学生完成具体与抽象的相互转换．

（2）通过学生讨论，引导学生用“平面化”与“降维”的思想来思考问题，让学生认识到直线和平面垂直的问题同样可以转化为考察直线和平面内直线的关系．

（3）通过动画演示，让学生感知直线与平面垂直的本质内涵．

（4）通过引导学生归纳直线与平面垂直的定义，充分发挥学生的主观能动性，提高学生抽象概括能力，让学生体验成功的喜悦．

３、评价方式：

现场评价，学生自评、互评，教师点评、打分或给等级．

活动3：

辨析讨论，深化概念．

１、活动内容及步骤：

（1）提问：

命题①“如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直．”是否正确，为什么？

（2）动手：

引导学生利用手中的笔和三角板，笔表示直线，三角板两直角边表示两垂直直线，桌面表示平面，将三角板的一条直角边AC放在桌面上，这时另一条直角边BC就和桌面内的一条直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，在此基础上在桌面内放一只和AC平行的笔EF并平行移动，那么BC始终和EF垂直，但BC不一定和桌面垂直，最后教师给出反例的直观图（如图）．

（3）讨论：

命题②“如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线．”是否正确，为什么？

（4）命题②可书写成：

，它是判断直线与直线垂直的常用方法，它将直线与直线垂直的问题转化为判定一条直线垂直于另一条直线所在的平面．

２、设计意图：

（1）通过问题辨析与讨论，加深对概念的理解，掌握概念的本质属性．

（2）由命题①使学生明确定义中的“任意”和“无数”的不同．

（3）由命题②使学生明确线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质．

（4）通过命题②让学生明确“直线与直线垂直”和“直线与平面垂直”可以相互转化．

３、评价方式：

现场评价，学生互评，教师点评、打分或给等级．

　　活动4：

分析实例，猜想定理．

　　１、活动内容及步骤：

（1）提问：

①在长方体ABCD－A1B1C1D1模型中，棱BB1与底面ABCD垂直，观察BB1与底面ABCD内直线AB、BC有怎样的位置关系？

由此你认为保证BB1⊥底面ABCD的条件是什么？

②如何将一张长方形贺卡直立于桌面？

（2）互动：

引导学生观察思考，师生共同分析长方体侧棱垂直底面、贺卡能直立于桌面的原因：

侧棱或书脊固定在两相交直线上且与两直线垂直．

（3）猜想：

由上述两个实例，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？

（4）归纳：

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

２、设计意图：

借助学生最熟悉的长方体模型和生活中最简单的经验，感知判定直线与平面垂直时，只需平面内有限条直线（两条相交直线）与平面垂直，从中体验有限与无限之间的辩证关系，从而提出猜想，为进一步的探究做准备．

３、评价方式：

现场评价，学生互评，教师点评、打分或给等级．

　　活动5：

动手操作，确认定理．

　　１、活动内容及步骤：

（1）折纸实验：

如图，让学生拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，做一个实验，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），进行观察并思考．

提问①：

折痕AD与桌面垂直吗？

如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？

师生活动：

在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因．学生再次折纸，经过讨论交流，发现当且仅当折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC翻折后折痕AD与桌面垂直．

提问②：

由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系发生变化吗？

（即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？

）由此你能得到什么结论？

师生活动：

师生共同分析折痕AD是BC边上的高时的实质：

AD是BC边上的高时，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD．这就是说，当AD垂直于桌面内的两条两条相交直线CD、BD时，它就垂直于桌面．

（2）多媒体演示翻折过程．

（3）归纳出直线与平面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

用符号语言表示为：

（如图）

师生活动：

在归纳直线与平面垂直的判定定理时，先让学生以小组为单位交流讨论，派代表叙述结论，不完善的地方教师引导、补充完整，归纳出线面垂直的判定定理。

然后要求学生试用图形语言与符号语言来表示定理，指出定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．

２、设计意图：

（1）通过实验操作引导学生发现折痕AD与桌面垂直的条件：

AD垂直桌面内两条相交直线．提问②吸引学生注意力，为推出重点做准备．

（2）增设动态演示模拟实验，让学生更加清楚看到“平面化”的过程，在已有数学知识的基础上加以确认定理．

（3）让学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，在讨论交流中激发学生的积极性和创造性．

３、评价方式：

现场评价，学生互评，教师点评、打分或给等级．

活动６：

质凝反思，深化定理．

１、活动内容及步骤：

（1）提问：

命题“如果一条直线与平面内的两条平行直线都垂直，那么该直线垂直于这个平面．”是否正确，为什么？

（2）互动：

教师给出反例的直观图（如图），消除学生心中的疑惑，进一步明确线面垂直的判定定理中的“两条”、“相交”缺一不可．指出定理充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。

２、设计意图：

通过辨析，强化定理中“两条相交直线”的条件.

３、评价方式：

现场评价，学生互评，教师点评、打分或给等级．

活动7：

偿试练习，巩固定理．

例１、如图

（1）有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上）C、D．如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？

　　师生活动：

师生共同分析，教师用多媒体给出规范证明过程优化解题步骤．

设计意图：

例1通过计算可直接应用线面垂直定理，充分说明用数学问题研究实际问题价值所在，培养学生逻辑思维能力和运用数学语言的能力。

评价方式：

现场评价，学生互评，教师点评、打分或给等级．

例２、求证：

与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。

师生活动：

引导学生根据题意画图（如图2）将其转化为几何命题“△ABC在平面α内，直线a与平面α相交，且a⊥AC，a⊥BC，求证：

a⊥AB”．请两位同学板演，其余同学在练习本上完成，师生共同评析，明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤，防止缺少条件，特别是“相交”的条件，同时指出：

这是证明“线线垂直”的一种方法．

设计意图：

感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确运用定理的条件和具体步骤，培养学生严谨的逻辑推理．

评价方式：

现场评价，学生互评，教师点评、打分或给等级．

例３、如图（3），已知a∥b，a⊥α，求证：

b⊥α．

师生活动：

此题是课本中的例1，有一定难度，教师引导学生分析思路，可用判定定理证，也可用定义证，提示辅助线的添法，学生练习本上完成，对照课本，完善自己的解题步骤，让学生用文字语言叙述：

如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平．此题体现了平行与垂直的联系，其结果可作为直线和平面垂直的一个判定方法．

设计意图：

例３使学生对线面垂直认识由感性上升到理性；同时，展示了平行与垂直之间的转化与联系，给出判断线面垂直的一种间接方法，为今后多角度研究问题提供思路。

评价方式：

现场评价，学生互评，教师点评、打分或给等级．

活动8：

总结反思，提高认识．

提问：

①通过本节课学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？

　　　　　②证明直线与平面垂直时应注意什么？

　　　　　③本节课涉及到哪些数学思想和方法？

　　　　　④本节课你还有哪些问题？

　　师生活动：

学生互评，教师点评完善，以知识结构图归纳出判断直线与平面垂直的方法

（如图）即可用定义，判定定理或例3的结论，说明本课蕴含转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法，强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路．

设计意图：

通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，培养学生认真总结的学习习惯。

评价方式：

现场评价，学生互评，教师点评、打分或给等级．

活动9：

布置作业，自主检测．

　　必做题：

（课本P67练习1）如图

（1），在三棱锥V－ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：

VB⊥AC．

选做题：

如图

（2），SA

平面ABC，AB

BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F．求证：

AF

SC．

设计意图：

通过训练，巩固本课所学知识，感悟其中蕴涵的转化数学思想，增强学生的应用意识．必做题是线面垂直判定定理的应用，选做题有助于培养学生的发散思维，为学有余力的学生安排的，这样，使不同程度的学生都有所获．

评价方式：

教师书面批改、打分或给等级．