函数及其表示方法基础.docx
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函数及其表示方法基础
函数及其表示方法A
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件,要做到心中有数!
学习目标:
(1)会用集合与对应的语言刻画函数;会求一些简单函数的定义域和值域,初步掌握换元法的简单运用.
(2)能正确认识和使用函数的三种表示法:
解析法,列表法和图象法.了解每种方法的优点.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;
(3)求简单分段函数的解析式;了解分段函数及其简单应用.
学习策略:
●通过实例用对应的观点来理解函数,用映射的观点理解函数.
●函数的三种表示方法各有优点,应多注意图象法,“以形助数”和“以数辅形”
二、学习与应用
初中学习函数的定义:
一般地,在一个过程中,如果有两个x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有的值与其对应,那么我们就说x是,y是x的.如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的.
要点一:
函数的概念
1.函数的定义
设A、B是非空的集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的一个数x,在集合B中都有的数f(x)和它对应,那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作:
y=f(x),x
A.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x
A叫做函数的.
要点诠释:
(1)A、B集合的性;
(2)对应关系的性、性、
性;(3)A中元素的性;(4)B中元素的性。
2.构成函数的三要素:
定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全—致,即称这两个函数
(或为同一函数);
②两个函数相等当且仅当它们的和完全—致,而与表示自变量和函数值的字母无关.
3.区间的概念
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间;
(2)无穷区间;
(3)区间的数轴表示.
区间表示:
;{x|a≤x≤b}=;
;
;
;
.
要点二:
函数的表示法
1.函数的三种表示方法:
解析法:
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点:
简明,给自变量求函数值.
图象法:
用图象表示两个变量之间的对应关系.优点:
直观形象,反应变化趋势.
列表法:
列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点:
不需计算就可看出函数值.
2.分段函数:
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.
要点三:
映射与函数
1.映射定义:
设A、B是两个,如果按照某个对应法则f,对于集合A中的一个元素,在集合B中都有元素和它对应,这样的对应叫做从A到B的映射;记为f:
A→B.
象与原象:
如果给定一个从集合A到集合B的映射,那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象,a叫做b的原象.
要点诠释:
(1)A中的每一个元素都有,且;
(2)B中的元素未必有,即使有,也未必;
(3)a的象记为.
2.如何确定象与原象
对于给出原象要求象的问题,只需将原象代入对应关系中,即可求出象.对于给出象,要求原象的问题,可先假设原象,再代入对应关系中得已知的象,从而求出原象;也可根据对应关系,由象逆推出原象.
3.函数与映射的区别与联系:
设A、B是两个非空数集,若f:
A→B是从集合A到集合B的映射,这个映射叫做从集合A到集合B的函数,记为y=f(x).
要点诠释:
(1)函数一定是,映射不一定是;
(2)函数三要素:
、、;
(3)B中的元素未必有,即使有原象,也未必;
(4)原象集合=域,域=象集合.
4.函数定义域的求法
(1)当函数是以解析式的形式给出时,其定义域就是使函数解析式的自变量的
取值的集合.具体地讲,就是考虑,偶次根号的,
零次幂的以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.
(2)当函数是由实际问题给出时,其定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要有实际意义.
(3)求函数的定义域,一般是转化为解不等式或不等式组的问题,注意定义域是一个
集合,其结果必须用或来表示.
5.函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题,虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后,
值域就完全确定了,但求值域还是特别要注意讲究方法,常用的方法有:
观察法:
通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数的
图象的“”和“”,观察求得函数的值域;
配方法:
对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分注意到自变量取值范围的情况下,
利用求的值域方法求函数的值域;
判别式法:
将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范围,常用于
一些“”函数等;此外,使用此方法要特别注意自变量的取值范围;
换元法:
通过对函数的解析式进行适当换元,将复杂的函数化归为几个简单的函数,
从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式,除了上述常用方法外,还有最值法、数形结合法等.总之,求函数的值域关键是重视对应法则的作用,还要特别注意定义域对值域的制约.
类型一:
函数的概念
例1:
下列式子是否能确定
是
的函数?
(1)
(2)
(3)
.
【答案】
【解析】
(1)
(2)
(3)
【总结升华】
例2.下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数,为什么?
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
;
【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式,要先化简再判断,在化简时要注意等价变形,
否则等号不成立.
【解析】
(1)
(2)
(3)
(4)
【总结升华】
举一反三:
【变式1】判断下列命题的真假
(1)y=x-1与
是同一函数;
(2)
与y=|x|是同一函数;
(3)
是同一函数;
(4)
与g(x)=x2-|x|是同一函数.
【答案】
【解析】
类型二:
函数定义域的求法
例3.求下列函数的定义域(用区间表示).
(1)
;
(2)
; (3)
.
【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.
(1)是分式,只要分母不为0即可;
(2)是二次根式,需根式有意义;(3)只要使得根式和分式都有意义即可.
【答案】
【解析】
(1)
(2)
(3)
【总结升华】
举一反三:
【变式1】求下列函数的定义域(用区间表示):
(1)
;
(2)
;(3)
.
【答案】
【解析】
(1)
(2)
【总结升华】小结几类函数的定义域:
(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是;
(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是集合;
(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是集合;
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是集合;
(即求各集合的交集)
(5)满足实际问题有意义.
类型三:
求函数的值及值域
例4.已知f(x)=2x2-3x-25,g(x)=2x-5,求:
(1)f
(2),g
(2);
(2)f(g
(2)),g(f
(2));(3)f(g(x)),g(f(x))
【思路点拨】根据函数符号的意义,可以知道f(g
(2))表示的是函数f(x)在x=g
(2)处的函数值,其它同理可得.
【答案】
【解析】
【总结升华】
例5.求值域(用区间表示):
(1)y=x2-2x+4,①
;②
;
.
【答案】
【解析】
(1)法一:
法二:
【总结升华】
举一反三:
【变式1】求下列函数的值域:
(1)
;
(2)
;(3)
;(4)
。
【答案】
【解析】
(1)
(2)
(3)
(4)
类型四:
映射与函数
例6.判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射,哪些是从集合A到集合B的函数?
(1)A={直角坐标平面上的点},B={(x,y)|
},对应法则是:
A中的
点与B中的(x,y)对应。
(2)A={平面内的三角形},B={平面内的圆},对应法则是:
作三角形的外接圆;
(3)A=N,B={0,1},对应法则是:
除以2的余数;
(4)A={0,1,2},B={4,1,0},对应法则是f:
(5)A={0,1,2},B={0,1,
},对应法则是f:
【思路点拨】根据映射定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”.
【解析】
【总结升华】
举一反三:
【变式1】下列对应哪些是从A到B的映射?
是从A到B的一一映射吗?
是从A
到B的函数吗?
(1)A=N,B={1,-1},f:
x→y=(-1)x;
(2)A=N,B=N+,f:
x→y=|x-3|;
(3)A=R,B=R,
(4)A=Z,B=N,f:
x→y=|x|;
(5)A=N,B=Z,f:
x→y=|x|;
(6)A=N,B=N,f:
x→y=|x|.
【解析】
类型五:
函数解析式的求法
例7.求函数的解析式
(1)若
,求
;
(2)若
,求
;
(3)已知
,求
。
【答案】
【解析】求函数的表达式可由两种途径.
(1)
(2)法一:
法二:
(3)
【总结升华】
举一反三:
【变式1】已知f(x+1)=x2+4x+2,求f(x)。
【答案】
【解析】(法1)
(法2)
(法3)
【总结升华】
类型六:
函数的图象
例8.作出下列函数的图象.
(1)
;
(2)
;(3)
。
【思路点拨】先把要画的函数图象进行变形,依据所学习过的基本函数图象,通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象。
【解析】
类型七:
分段函数
例9.函数
中,若
,则
的值为()。
A.1B.1或
C.
D.
【思路点拨】分段函数求值,必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.
【答案】
【解析】
【总结升华】
举一反三:
【变式1】已知
,若
,则实数
A.-4或-2 B.-4或2 C.-2或4 D.-2或2
【答案】
【解析】
三、测评与总结
要想学习成绩好,总结测评少不了!
课后复习是学习不可或缺的环节,它可以帮助我们巩固学习效果,弥补知识缺漏,提高学习能力.
知识点:
函数及其表示方法
测评系统分数:
模拟考试系统分数:
如果你的分数在85分以下,请进入网校资源ID:
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