列方程解应用题初中数学第五册教案九年级数学教案.docx
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列方程解应用题初中数学第五册教案九年级数学教案
列方程解应用题——初中数学第五册教案_九年级数学教案
课题：
列方程解应用题
执教人：
上海市兴陇中学 李炯
教学目标：
利用代数与几何图形相结合的思想列方程解应用题；并创设情景解决生活中的数学问题。
重点难点：
知识的综合灵活应用
情感目标：
激发学生创新思维，培养学生解决问题的能力。
教学过程：
（一） 复习：
列方程解应用题的解题步骤。
（二） 正课：
本节课我们将研究一下如何用列方程的思想方法解决与几何知识有关的应用题。
例1：
在宽为20米长为30米的矩形地面上，修筑同样的两条互相垂直的道路，余下部分作耕地，使耕地面积为375平方米，问道路宽为多少米？
分析：
如图1余下部分的面积375M2是
等量关系。
但被分为四块求面积有困难。
不妨把道路向两边移，这样余下部分为一
个矩形，求面积就比较容易。
解：
略。
练习：
《考纲》
例2：
有一块矩形耕地，相邻两边的长度如图所示，要在这块地上分别挖如图的4条横向水渠和2条纵向水渠，且使水渠的宽相等，余下的可耕地面积为9600平方米。
那么水渠应挖多宽？
例3：
在矩形ABCD中，放入8个形状大小相同的小长方形，求阴影部分面积。
练习：
《考纲》P85
思考：
在一个50米长30米宽的矩形空地上要设计改造成为花坛，并要使花坛所要的面积为荒地面积的一半，诗给出你的设计方案。
小结：
我们常用列方程的思想来处理几何图形的计算问题，这种解法也是数形结合思想方法的一种应用。
课题：
列方程解应用题
执教人：
上海市兴陇中学 李炯
教学目标：
利用代数与几何图形相结合的思想列方程解应用题；并创设情景解决生活中的数学问题。
重点难点：
知识的综合灵活应用
情感目标：
激发学生创新思维，培养学生解决问题的能力。
教学过程：
（一） 复习：
列方程解应用题的解题步骤。
（二） 正课：
本节课我们将研究一下如何用列方程的思想方法解决与几何知识有关的应用题。
例1：
在宽为20米长为30米的矩形地面上，修筑同样的两条互相垂直的道路，余下部分作耕地，使耕地面积为375平方米，问道路宽为多少米？
分析：
如图1余下部分的面积375M2是
等量关系。
但被分为四块求面积有困难。
不妨把道路向两边移，这样余下部分为一
个矩形，求面积就比较容易。
解：
略。
练习：
《考纲》
例2：
有一块矩形耕地，相邻两边的长度如图所示，要在这块地上分别挖如图的4条横向水渠和2条纵向水渠，且使水渠的宽相等，余下的可耕地面积为9600平方米。
那么水渠应挖多宽？
例3：
在矩形ABCD中，放入8个形状大小相同的小长方形，求阴影部分面积。
练习：
《考纲》P85
思考：
在一个50米长30米宽的矩形空地上要设计改造成为花坛，并要使花坛所要的面积为荒地面积的一半，诗给出你的设计方案。
小结：
我们常用列方程的思想来处理几何图形的计算问题，这种解法也是数形结合思想方法的一种应用。
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：
两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质．它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识．
难点：
两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用．由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏；而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．”看成是真命题．
2、教法建议
本节内容需要两个课时．第一课时主要研究圆和圆的位置关系；第二课时相交两圆的性质．
（1）把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体，让学生观察、分析、归纳概括，主动获得知识；
（2）要重视圆的对称美的教学，组织学生欣赏，在激发学生的学习兴趣中，获得知识，提高能力；
（3）在教学中，以分类思想为指导，以数形结合为方法，贯串整个教学过程．
第一课时圆和圆的位置关系
教学目标：
1．掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法；两圆连心线的性质；
2．通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力；
3．通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力．
教学重点：
两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系．
教学难点：
两圆位置关系及判定．
（一）复习、引出问题
1．复习：
直线和圆有几种位置关系?
各是怎样定义的?
（教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交．各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的
2．引出问题：
平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢?
（二）观察、分类，得出概念
1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：
外离、外切、相交、内切、内含（包括同心圆）这五种位置关系，准确给出描述性定义：
（1）外离：
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．（图
（1））
（2）外切：
两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．（图
（2））
（3）相交：
两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．（图（3））
（4）内切：
两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．（图（4））
（5）内含：
两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含（图（5））．两圆同心是两圆内含的一个特例． （图（6））
2、归纳：
（1）两圆外离与内含时，两圆都无公共点．
（2）两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一
（3）两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：
相离（外离和内含）；相交；相切（外切和内切）．
教师组织学生归纳，并进一步考虑：
从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．除以上关系外，还有其它关系吗?
可能不可能有三个公共点?
结论：
在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系．
（三）分析、研究
1、相切两圆的性质．
让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．
这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明
2、两圆位置关系的数量特征．
设两圆半径分别为R和r．圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系．（图形略）
两圆外切d＝R+r；
两圆内切d＝R-r（R＞r）;
两圆外离d＞R+r；
两圆内含d＜R-r（R＞r）;
两圆相交R-r＜d＜R+r．
说明：
注重“数形结合”思想的教学．
（四）应用、练习
例1：
如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米
求：
（1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少?
（2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少?
解：
（1）设⊙P与⊙O外切与点A，则
PA=PO-OA
∴PA=3cm．
（2）设⊙P与⊙O内切与点B，则
PB=PO+OB
∴PB=13cm．
例2：
已知：
如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作．
求证：
⊙O与⊙B相外切．
证明：
连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC＝12，
∴⊙O的半径，且O是AC的中点
∴，∵∠C=90°且BC=8，
∴，
∵⊙O的半径，⊙B的半径，
∴BO=，∴⊙O与⊙B相外切．
练习（P138）
（五）小结
知识：
①两圆的五种位置关系：
外离、外切、相交、内切、内含；
②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系；
③两圆相切时切点在连心线上的性质．
能力：
观察、分析、分类、数形结合等能力．
思想方法：
分类思想、数形结合思想．
（六）作业
教材P151中习题A组2，3，4题．
第二课时相交两圆的性质
教学目标
1、掌握相交两圆的性质定理；
2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法；
3、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力；
4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美．
教学重点
相交两圆的性质及应用．
教学难点
应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线．
教学活动设计
（一）图形的对称美
相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形．相交两圆具有什么性质呢?
（二）观察、猜想、证明
1、观察：
同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形．
2、猜想：
“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”．
3、证明：
对A层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织；对B、C层在教师引导下完成．
已知：
⊙O1和⊙O2相交于A，B．
求证：
Q1O2是AB的垂直平分线．
分析：
要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B．
证明：
连结O1A、O1B、O2A、O2B，∵O1A=O1B，
∴O1点在AB的垂直平分线上．
又∵O2A＝O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上．
因此O1O2是AB的垂直平分线．
也可考虑利用圆的轴对称性加以证明：
∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴．
∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上．
∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点，
∴连心线O1O2是AB的垂直平分线．
定理：
相交两圆的连心线垂直平分公共弦．
注意：
相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．
（三）应用、反思
例1、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A，B两点，⊙Ol经O2。
求∠OlAB的度数．
分析：
由所学定理可知，O1O2是AB的垂直平分线，
又⊙O1与⊙O2是两个等圆，因此连结O1O2和AO2，AO1，△O1AO2构成等边三角形，同时可以推证⊙Ol和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形．从而可由
∠OlAO2＝60°，推得∠OlAB＝30°．
解：
⊙O1经过O2，⊙O1与⊙O2是两个等圆
∴OlA=O1O2=AO2
∴∠O1AO2=60°，
又AB⊥O1O2
∴∠OlAB=30°．
例2、已知，如图，A是⊙Ol、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点。
过点A的直线MN垂直于PA，交⊙Ol、⊙O2于M、N。
求证：
AM=AN．
证明：
过点Ol、O2分别作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足为C、D，则OlC∥PA∥O2D，且AC=AM，AD=AN．
∵OlP=O2P，∴AD=AM，∴AM=AN．
例3、已知：
如图，⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，C为⊙Ol上一点，AC交⊙O2于D，过B作直线EF交⊙Ol、⊙O2于E、F．
求证：
EC∥DF
证明：
连结AB
∵在⊙O2中∠F=∠CAB，
在⊙Ol中∠CAB=∠E，
∴∠F=∠E，∴EC∥DF．
反思：
在解有关相交两圆的问题时，常作出连心线、公共弦，或连结交点与圆心，从而把两圆半径，公共弦长的一半，圆心距集中到一个三角形中，运用三角形有关知识来解，或者结合相交弦定理，圆周角定理综合分析求解．
（四）小结
知识：
相交两圆的性质：
相交两圆的连心线垂直平分公共弦．该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据．
能力与方法：
①在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用；②圆的对称性的应用．
（五）作业 教材P152习题A组7、8、9题；B组1题．
探究活动
问题1：
已知AB是⊙O的直径，点O1、O2、…、On在线段AB上，分别以O1、O2、…、On为圆心作圆，使⊙O1与⊙O内切，⊙O2与⊙O1外切，⊙O3与⊙O2外切，…，⊙On与⊙On-1外切且与⊙O内切．设⊙O的周长等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周长分别为C1、C2、…、Cn．
（1）当n=2时，判断Cl+C2与C的大小关系；
（2）当n=3时，判断Cl+C2+C3与C的大小关系；
（3）当n取大于3的任一自然数时，Cl十C2十…十Cn与C的大小关系怎样?
证明你的结论．
提示：
假设⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半径分别为r、rl、r2、…、rn，通过周长计算，比较可得
（1）Cl+C2=C；
（2）Cl+C2+C3=C；（3）Cl十C2十…十Cn=C．
问题2：
有八个同等大小的圆形，其中七个有阴影的圆形都固定不动，第八个圆形，紧贴另外七个无滑动地滚动，当它绕完这些固定不动的圆形一周，本身将旋转了多少转？
提示：
1、实验：
用硬币作初步实验；结果硬币一共转了4转．
2、分析：
当你把动圆无滑动地沿着圆周长的直线上滚动时，这个动圆是转转，但是，这个动圆是沿着弧线滚动，那么方才的说法就不正确了．在我们这个题目中，那动圆绕着相当于它的圆周长的的弧线旋转的时候，一共走过的不是转；而是转，因此，它绕过六个这样的弧形的时，就转了转
[课 题] §6.1 正弦和余弦
（1）[教学目的] 使学生了解本章所要解决的新问题是：
已知直角三角形的一条边和另一个元素（一条边或一个锐角），求这个直角三角形的其他元素（直角除外）；使学生了解下列事实：
在直角三角形中，当锐角A取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。
[教学重点] 已知直角三角形的一条边和另一个元素（一条边或一个锐角），求这个直角三角形的其他元素。
[教学难点] 在直角三角形中，当锐角A取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。
[教学关键] 在直角三角形中，当锐角A取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。
。
[教学用具] 三角板、小黑板。
[教学形式] 讲练结合法。
[教学用时] 45′×1 [教学过程][复习提问] 1、什么叫做直角三角形？
2、如果直角三角形△ABC中，∠C为直角，它的直角边是什么？
斜边是什么？
这个直角三角形可以用什么符号来表示？
3、对于一个直角三角形来说，除了一个内角是直角外，还有两个内角是锐角，有三条边，在这除了直角以外的5个“元素”中，已知几个“元素”，通过什么可以求出未知的其他“元素”？
[讲解新课]一、让学生阅读教科书第1页上的插图和引例（时间3分钟），然后提问：
1、这个有关测量的实际问题有什么特点？
（有一个重要的测量点不可到达。
）2、把这个实际问题化为数学模型后，其图形是什么图形？
（直角三角形。
）3、能不能根据已知条件，在地面上或纸上画出另一个与它全等的直角三角形，并在这个全等图形上进行测量？
（不一定能，因为斜边即水管的长度是一个较大的数值，这样做就需要较大面积的平地或纸张，再说画图也不方便。
）4、想想看，除了测量、作图或画图等方法外，我们还学过哪些方法？
（计算与证明。
）5、这个实际问题可以归结为怎样一个数学问题？
（在Rt△ABC中，∠C为直角，已知锐角A和斜边AB，求∠A的对边BC。
）这时指出，由于∠A不一定是特殊角，我们难以运用学过的定理来证明BC的长度。
因此在下面考虑能不能通过式子变形和计算来求得BC的值。
这就是我们在这一章中要学习的一项新知识。
二、让学生阅读教科书第2页至第3页第3行的内容，要求一边阅读，一边观察自己随身携带的两块三角板（时间5分钟），然后提问：
1、（出示自己带来的教具之一——不等腰的那把本制三角板）在这把三角板中，30°角所对的直角边与斜边之间有什么关系？
（30°角所对的直角边等于斜边的一半。
）你们的三角板中，这个结论是不是也都成立？
45°30°BB2、（用小黑板出示图6—1
（1），我们把这个结论化为数学式子，可以得到什么？
（==。
）
CCAA3、这就是说，当∠A=30°时，
不管直角三角形的大小如何，∠A的 图6—1
（1） 图6—1
（2）对边与斜边的比值都等于。
那么，根据这个比值，如果已知斜边AB的长，怎样算出∠A的对边BC的长呢？
（BC=AB。
）4、（出示自己带来的另一教具——等腰的那把本制三角板和小黑板上的图6—1
（2），类似地，运用勾股定理，在所有等腰的那块三角板中，我们可以发现什么？
（====。
）5、这就是说，当∠A=45°时，不管直角三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比值都等于。
那么，根据这个比值，如果已知斜边AB的长，怎样算出∠A的对边BC的长呢？
（BC=AB。
）三、那么，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与斜边的比值能否也是一个固定值呢？
为了回答这一问题，请同学们阅读教科书第3页第3行下面的内容（时间4分钟），然后提问：
1、在直角三角形中，如果有一个锐角取固定值，而夹这个锐角的一条直角边和斜边的长都可以变化，那么，当我们把有这样特殊点的直角三角形中取固定值的锐角叠合在一起，并把夹这个锐角的直角边重合在一条直线上时，斜边会出现什么情况？
（斜边也会重合在一条直线上。
）2、（出示小黑板上的图6—2），Rt△AB1C1、Rt△AB2C2、Rt△AB3C3、……之间有什么关系？
（彼此相似。
）为什么？
（它们有公共的锐角A。
）B3B23、那么，、、这些比值之间有什么关系？
（彼此相等。
）为什么？
（相似三角形中对应边的比相等。
）
B14、由此可得什么结论？
（在直角三角形中，
当一个锐角取固定值时，它的对边与斜边的比也取一个固定值。
）C3C2C1A[课堂练习]
在△ABC中，∠C为直角。
图6—21、如果∠A=60°，那么∠B的对边与斜边的比值是多少？
2、如果∠A=60°，那么∠A的对边与斜边的比值是多少？
3、如果∠A=30°，那么∠B的对边与斜边的比值是多少？
4、如果∠A=45°，那么∠B的对边与斜边的比值是多少？
[课堂小结]在这一节课中，我们获得了一个重要的结论：
在直角三角形中，当一个锐角（∠A）取固定值时，它的对边与斜边的比值（）也是一个固定值，如果后者（即）能够由前者（即∠A）求出，那么引例中的实际问题（求BC的长）就可以解决了。
所以，从下节课起，我们将进一步研究这类比值（即等）的特点，从而得以求出它们。
[课外作业]复习教科书第1~3页上的全部内容。
[板书设计]课题：
一、1、2、3、4、5、二1、2、3、4、5、三、1、2、3、4、 课堂练习 [课后记]通过本节课内容的学习，我们对直角三角形又有了一个新的认识，即：
当直角三角形中，有一锐角固定时，其对边与斜边的比值也是固定的这一重要性质。
这在我们今后的学习中是十分重要的。
第1教时
教学内容：
12.1 用公式解一元二次方程
（一）
教学目标：
知识与技能目标：
1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．
过程与方法目标：
1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．
情感与态度目标：
由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．。
教学重、难点与关键：
重点：
一元二次方程的意义及一般形式．
难点：
正确识别一般式中的“项”及“系数”。
教辅工具：
教学程序设计：
程序
教师活动
学生活动
备注
创设
问题
情景
1．用电脑演示下面的操作：
一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．
2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？
教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．
板书：
“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．
学生看投影并思考问题
通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．
探
究
新
知
1
1．复习提问
（1）什么叫做方程？
曾学过哪些方程？
（2）什么叫做一元一次方程？
“元”和“次”的含义？
（3）什么叫做分式方程？
2．引例：
剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？
引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念．
整式方程：
方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程．
一元二次方程：
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．
3．练习：
指出下列方程，哪些是一元二次方程？
（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；
（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；
（3）
（4）6x2＝x；
（5）2x2＝5y；
（6）-x2＝0
4．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式．
一元二次方程的一般形式：
ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．ax2称二次项，bx称一次项，c称常数项，a称二次项系数，b称一次项系数．
一般式中的“a≠0”为什么？
如果a＝0，则ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解．
5．例1 把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？
教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．
讨论后回答
学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比较，
独立完成
加深理解
学生试解
问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫
反馈
训练
应用
提高
练习1：
教材P．5中1，2．
练
升级会员 