中考数学第二单元第18课时 等腰三角形与直角三角形Word版.docx

中考数学第二单元第18课时 等腰三角形与直角三角形Word版.docx

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中考数学第二单元第18课时等腰三角形与直角三角形Word版

第四单元三角形

第十八课时等腰三角形与直角三角形

基础达标训练

1.若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（　　）

A.10　　　B.13　　　C.17　　　D.13或17

2.（2017滨州）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（　　）

A.40°B.36°C.30°D.25°

第2题图　　　第3题图

3.（2017荆州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（　　）

A.30°B.45°C.50°D.75°

4.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（　　）

A.（1，1）B.（

，1）C.（

，

）D.（1，

）

第4题图　　第5题图

5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有（　　）

A.8个B.7个C.6个D.5个

6.（2017大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为（　　）

A.2aB.2

aC.3aD.

a

第6题图第7题图

7.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF＝2，则AC的长是（　　）

A.3B.4C.5D.6

第8题图

8.（2017滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（　　）

A.2＋

B.2

C.3＋

D.3

9.

（2017荆州）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：

今有竹高一丈，来折抵地，去根六尺，问折高者几何？

意思是：

一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？

设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）

A.x2－6＝（10－x）2B.x2－62＝（10－x）2

C.x2＋6＝（10－x）2D.x2＋62＝（10－x）2

10.（2017丽水）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．

11.（2017淮安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点，若AB＝8，则EF＝________．

第11题图第12题图

12.（2017益阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE＝a，AE＝b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为________．

13.（2017绥化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝

BC，则△ABC的顶角的度数为________．

14.（2017淄博）在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________．

15.在△ABC中，BC＝2，AB＝2

，AC＝b，且关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．

16.（2017常德）如图，已知Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________．

第16题图　　　第17题图

17.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是________（用含m的代数式表示）．

18.（6分）（2017北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.

求证：

AD＝BC.

第18题图

19.（8分）在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

　　　　　　　　　　　　第19题图

能力提升训练

1.（2017海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可能（　　）条．

A.3B.4C.5D.6

第2题图

2.（2017台州）如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC.若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）

A.AE＝ECB.AE＝BE

C.∠EBC＝∠BACD.∠EBC＝∠ABE

3.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝________．

第3题图第4题图

4.（2017杭州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．

5.若点P是△ABC内一点，且它到三角形三个顶点的距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermatpoint）．

已经证明：

在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为

的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD＋PE＋PF＝________．

拓展培优训练

1.（2017杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，

第1题图

线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（　　）

A.x－y2＝3

B.2x－y2＝9

C.3x－y2＝15

D.4x－y2＝21

2.已知等腰三角形顶角为36°，则底与腰的比值等于________．

答案

1.C　【解析】当3为底边时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；当3为腰时，其他两边为3和7，∵3＋3＝6＜7，∴不能构成三角形，故舍去，∴该等腰三角形的周长为17.

2.B　【解析】设∠C＝x，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x，∴∠ADB＝2x，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x，∴∠B＝180°－4x，∵BA＝AC，∴∠B＝∠C，∴180°－4x＝x，解得x＝36°，∴∠B＝∠C＝36°.

3.B　【解析】∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，又∵l为AB的垂直平分线，∴DB＝DA，∴∠DBA＝∠A＝30°，∴∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝75°－30°＝45°.

第4题解图

4.D　【解析】如解图，过点B作BC⊥AO于点C，∵△AOB是等边三角形，∴OC＝

AO＝1，∴在Rt△BOC中，BC＝

＝

，∴B点的坐标为（1，

）．

5.A　【解析】∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝

（180°－∠A）＝72°，∵BD，CE是角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝

∠ABC＝36°，∠ACE＝∠ECB＝36°，∴∠A＝∠ABD＝∠ACE，∠DBC＝∠ECB，∴∠BDC＝180°－∠ACB－∠DBC＝180°－72°－36°＝72°，同理∠BEC＝72°，∴∠BDC＝∠ACB，∠BEC＝∠EBC，∴∠EOB＝180°－∠BEC－∠EBD＝180°－72°－36°＝72°，同理∠DOC＝72°，∴∠BEO＝∠BOE，∠CDO＝∠COD，即等腰三角形有△OBC，△ADB，△AEC，△BEC，△BDC，△ABC，△EBO，△DCO，共8个．

6.B　【解析】在Rt△CDE中，CD＝DE＝a，∴DE＝

＝

＝

a，∵点E为Rt△ACB斜边AB的中点，∴CE＝AE＝BE＝

AB，∴AB＝2CE＝2

a.

第7题解图

7.B　【解析】如解图，连接AF，∵AB＝AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD，∵在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，E是AC的中点，EF＝2，∴AC＝2EF＝4.

8.A　【解析】设AC＝x，∵AC⊥BC，∠ABC＝30°，∴AB＝2x，BC＝

x，∵AB＝BD，∴BD＝2x，∴CD＝BC＋BD＝（2＋

）x，∵tan∠DAC＝

，∴tan∠DAC＝

＝2＋

.

第9题解图

9.D　【解析】如解图，在直角三角形ABC中，利用勾股定理，列方程为x2＋62＝（10－x）2.

10.100°　【解析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为100°，则这个内角为顶角，此时两底角均为40°，即该三角形顶角的度数是100°.

11.2　【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，∴CD＝

AB＝4，∵点E是AC的中点，点F是AD的中点，∴EF是△ADC的中位线，∴EF＝

CD＝2.

12.2a＋3b　【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∠ECA＝∠A＝36°，∴∠BEC＝∠A＋∠ECA＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴CE＝BC＝b，∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝2AB＋BC＝2（a＋b）＋b＝2a＋3b.

13.30°，90°或150°　【解析】如解图，

第13题解图

解图①中△ABC是等腰直角三角形，∴顶角是90°，解图②中AC＝BC，在直角三角形ADC中，AD＝

AC，∴∠ACD＝30°，∴∠ACB＝180°－∠ACD＝150°，解图③中，AC＝BC，在直角三角形ADC中，AD＝

AC，∴∠ACD＝30°，综上所述，△ABC顶角的度数分别是30°，90°或150°.

14.2

　【解析】假设点D与点B重合，可得DE＋DF为等边三角形AC边上的高，再由等边三角形的边长为4，根据勾股定理得AC边上的高为2

.

15.2　【解析】∵方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16－4b＝0，解得b＝4，又∵BC＝2，AB＝2

，AC＝b＝4，∴AB2＋BC2＝（2

）2＋22＝42＝AC2，∴∠B＝90°，∴AC边上的中线长为2.

第16题解图

16.0

BE＝5，∴∠EAF＝∠E＝30°，又∵∠CDE＝30°，∴∠CDE＝∠EAF，∴CD∥AF，∴

＝

，当D与A重合时，CD取最大值为5；当D接近于E时，DE越小，CD越小，∵线段CD不能为0，∴0

17.2＋

m　【解析】如解图，连接BD，∵∠C＝∠EBD，BD＝CD，∠CDF＝∠BDE，∴△BED≌△CFD，∴BE＝CF，DE＝DF，则BE＋BF＋EF＝BC＋EF＝2＋EF，在Rt△DEF中，DE＝DF＝m，∴EF＝

m，则△BEF的周长是2＋

m.

第17题解图

18.证明：

∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴在△ABC中，∠ABC＝∠C＝

（180°－∠A）＝72°，

又∵BD为∠ABC的平分线，

∴∠ABD＝∠CBD＝

∠ABC＝36°＝∠A，

∴△ABD是以点D为顶点的等腰三角形，

∴AD＝BD,

∵∠CBD＝36°，∠C＝72°，

∴∠BDC＝180°－∠CBD－∠C＝72°＝∠C，

∴△BCD是以点B为顶点的等腰三角形，

∴BC＝BD，

∴AD＝BC.

19.解：

设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得，

AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，

即152－x2＝132－（14－x）2，

解得x＝9，

∴AD2＝152－x2＝152－92＝144，

∵AD>0，

∴AD＝12，

∴S△ABC＝

×BC×AD＝

×14×12＝84.

能力提升训练

1.B　【解析】符合条件的直线共有4条：

（1）如解图①，在边BC上截取CE＝CA，BF＝BA，连接AE、AF，得到等腰三角形△CEA，△BAF；

（2）如解图②，分别作AB、AC的中垂线交BC于点M、N，连接AM，AN，得到等腰三角形△MAB，△NCA，综上所述，直线AE、AF、AM、AN均满足题意．

2.C　【解析】由题图知，BC＝BE，∴∠BCE＝∠BEC，∵AB＝AC，∴∠BCA＝∠CBA，∴∠BCE＝∠BEC＝∠CBA，∵∠EBC＝180°－∠BCE－∠BEC，∠BAC＝180°－∠BCA－∠CBA，∴∠EBC＝∠BAC.

3.2　【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠E＝30°，BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴BC＝2DC，∵∠ACB＝∠E＋∠CDE，∴∠CDE＝∠E＝30°，∴CD＝CE＝1，∴BC＝2CD＝2.

第4题解图

4.78　【解析】如解图，过A作AH⊥BC，∵AB＝15，AC＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC＝

＝25，∵AD＝5，∴DC＝20－5＝15，∵DE⊥BC，∠BAC＝90°，∴△CDE∽△CBA，∴

＝

，∴CE＝

×20＝12，∴BE＝BC－CE＝13.∴BC·AH＝AB·AC，AH＝

＝

＝12，∴S△ABE＝

×12×13＝78.

第5题解图

5.

＋1　【解析】如解图，等腰Rt△DEF中，DE＝DF＝

，过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP＝∠MFP＝30°，从而可找到点P，则DM＝EM＝

EF＝

×2＝1，在Rt△PEM中，PM＝tan30°·EM＝

，∴PE＝

，∴DP＝1－

，PF＝

，∴PD＋PE＋PF＝

＋1.

拓展培优训练

1.B　【解析】如解图，连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G，∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝

CF＝3，∵在Rt△CEG中，tanC＝

，∴EG＝CG×tanC＝3y，∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝（9－x）2＋（3y）2，化简整理得2x－y2＝9.

第1题解图

2.

　【解析】如解图，设等腰△ABC底边为a，腰为b，作∠B的平分线交AC于D，则∠B＝

（180°－36°）＝72°，∴△BCD、△DAB均为等腰三角形，则BD＝AD＝BC＝a，而CD＝b－a，由△BCD∽△ABC，∴

＝

，即

＝

，

∴（

）2＋（

）－1＝0，解得

＝

或

（舍去）．

第2题解图