人口增长模型.docx
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人口增长模型
三一文库（XX）
〔人口增长模型〕
*篇一：
数学建模logistic人口增长模型
Logistic人口发展模型
一、题目描述
建立Logistic人口阻滞增长模型，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。
分析那个时间段数据预测
的效果好?
并结合中国实情分析原因。
表1各年份全国总人口数（单位：
千万）
二、建立模型
阻滞增长模型（Logistic模型）阻滞增长模型的原理：
阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。
阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。
若将r表示为x的函数r（x）。
则它应是减函数。
于是有：
dx
?
r（x）x,x（0）?
x0
dt
对r（x）的一个最简单的假定是，设r（x）为x的线性函数，即r（x）?
r?
sx
（1）
（r?
0,s?
0）
（2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量长率
xm，当x?
xm时人口不再增长，即增
r（xm）?
0，代入
（2）式得
s?
r
xm，于是
（2）式为
x）xm
（3）
r（x）?
r（1?
将（3）代入方程
（1）得：
x?
dx
?
?
rx（1?
）
xm?
dt
?
x（0）?
x0
?
解得：
（4）
x（t）?
1?
（
xmxm
?
1）e?
rtx0
（5）
三、模型求解
用Matlab求解，程序如下：
t=1954:
1:
2005;
x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];
x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988];
x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];
dx=（x2-x1）./x2;a=polyfit（x2,dx,1）;
r=a
（2）,xm=-r/a
（1）%求出xm和r
x0=61.5;
f=inline（xm./（1+（xm/x0-1）*exp（-r*（t-1954）））,t,xm,r,x0）;%定义函数plot（t,f（t,xm,r,x0）,-r,t,x,+b）;
title（1954-2005年实际人口与理论值的比较）x2010=f（2010,xm,r,x0）x2020=f（2020,xm,r,x0）x2033=f（2033,xm,r,x0）
解得：
x（m）=180.9516（千万），r=0.0327/（年）,x（0）=61.5
得到1954-2005实际人口与理论值的结果：
根据《国家人口发展战略研究报告》我国人口在未来30年还将净增2亿人左右。
过去曾有专家预测（按照总和生育率2.0），我国的人口峰值在2045年将达到16亿人。
根据本课题专家研究，随着我国经济社会发展和计划生育工作加强，20世纪90年代中后期，总和生育率已降到1.8左右，并稳定至今。
实现全面建设小康社会人均GDP达到3000美元的目标，要求把总和生育率继续稳定在1.8左右。
按此预测，总人口将于2010年、2020年分别达到13.6亿人和14.5亿人，2033年前后达到峰值15亿人左右（见图1）。
劳动年龄人口规模庞大。
我国15-64岁的劳动年龄人口2000年为8.6亿人，2016年将达到高峰10.1亿人，比发达国家劳动年龄人口的总和还要多。
在相当长的时期内,中国不会缺少劳动力，但考虑到素质、技能等因素，劳动力结构性短缺还将长期存在。
同时，人口与资源、环境的矛盾越来越突出。
而据模型求解：
2010年人口：
x（2010）=137.0200（千万）专家预测13.6亿误差为0.7%2020年人口：
x（2020）=146.9839（千万）专家预测14.5亿误差为1.3%2033年人口：
x（2033）=157.2143（千万）专家预测15亿误差为4.8%2045年人口：
x（2045）=164.6959（千万）专家预测16亿误差为4.1%
五、预测
1.1954-2005总人口数据建立模型：
r=0.0327xm=180.9516
2010年人口：
x（2010）=137.0200（千万）专家预测13.6亿误差为0.7%2020年人口：
x（2020）=146.9839（千万）专家预测14.5亿误差为1.3%2033年人口：
x（2033）=157.2143（千万）专家预测15亿误差为4.8%2045年人口：
x（2045）=164.6959（千万）专家预测16亿误差为4.1%2.1963-2005总人口数据建立模型：
r=0.0493xm=150.5261
2010年人口：
x（2010）=134.1612（千万）专家预测13.6亿误差为1.4%2020年人口：
x（2020）=140.0873（千万）专家预测14.5亿误差为
3.4%
2033年人口：
x（2033）=144.8390（千万）专家预测15亿误差为3.4%2045年人口：
x（2045）=147.3240（千万）专家预测16亿误差为7.6%3.1980-2005总人口数据建立模型：
r=0.0441xm=156.3297
2010年人口：
x（2010）=135.2885（千万）专家预测13.6亿误差为0.5%2020年人口：
x（2020）=142.1083（千万）专家预测14.5亿误差为2.0%2033年人口：
x（2033）=147.9815（千万）专家预测15亿误差为1.3%2045年人口：
x（2045）=151.3011（千万）专家预测16亿误差为5.4%
总体来看，1980-2005这一组数据拟合出的人口模型比较好，即与已有数据吻合，又与专家预测误差较小。
从历史原因来分析：
1954年之后的1959-1961年间，有三年自然灾害故而使得实际人口数据与估计有所偏颇。
1960年之后为过渡时期。
1983年之后开始实施“计划生育政策”，一直至今，所以1980-2005年间的数据与预测分析最好。
*篇二：
人口增长模型
Logistic人口阻滞增长模型
一、模型的准备
阻滞增长模型的原理：
阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。
阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。
若将r表示为x的函数r（x）。
则它应是减函数。
于是有：
dx
?
r（x）x,x（0）?
x0dt
（1）
对r（x）的一个最简单的假定是，设r（x）为x的线性函数，即r（x）?
r?
sx
（r?
0,s?
0）
（2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量xm，当x?
xm时人口不再增长，即
r
增长率r（xm）?
0，代入
（2）式得s?
，于是
（2）式为
xm
r（x）?
r（1?
将（3）代入方程
（1）得：
x?
dx
?
?
rx（1?
）
?
dtxm
?
?
x（0）?
x0
x
）xm
（3）
（4）
解方程（4）可得：
x（t）?
xm
x
1?
（m?
1）e?
rt
x0
（5）
二、模型的建立
我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1
1、将1954年看成初始时刻即t?
0，则1955为t?
1，以次类推，以2005年为t?
51作为终时刻。
用函数（5）对表1中的数据进行非线性拟合，运用Matlab编程得到相关的参数xm?
180.9871,r?
-0.0336，可以算出可决系数（可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标）：
5
R2?
1?
?
（y
i?
1
5i?
1
i
?
i）2?
y
?
0.9959
i
?
（y
?
）2
由可决系数来看拟合的效果比较理想。
所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲
线：
180.
9871
（6）
180.98711?
（?
1）e?
0.0.0336t
60.2
根据曲线（6）我们可以对2010年（t?
56）、2020年（t?
66）、及2033年（t?
79）进行预测得（单位：
千万）：
x（56）?
138.6161,x（66）?
148.5400,x（79）?
158.6028
结果分析：
从所给信息可知从1951年至1958年为我国第一次出生人口高峰，形成了中国人口规模“由缓到快”的增长基础；因此这段时期人口波动较大，可能影响模型结果的准确性。
1959、1960、1961年为三年自然灾害时期，这段时期人口的增长受到很大影响，1962年处于这种影响的滞后期，人口的增长也受到很大影响。
总的来说1951-1962年的人口增长的随机误差不是服从正态分布，
程序：
x（t）?
结果：
2、将1963年看成初始时刻即t?
0，以2005年为t?
32作为终时刻。
运用Matlab编程得到相关的参数xm?
151.4513可以算出可决系数R2?
0.9994得到中国,r?
0.0484，各年份人口变化趋势的另一拟合曲线：
151.4513
（7）
151.45131?
（?
1）e?
0.0484t
69.1
根据曲线（7）我们可以对2010年（t?
47）、2020年（t?
57）、及2033年（t?
70）进行预测得（单位：
千万）：
x（47）?
134.9190,x（57）?
140.8168,x（70）?
145.5908
结果分析：
1963年-1979年其间，人口的增长基本上是按照自然的规律增长，特别是在农村是这样，城市受到收入的影响，生育率较低，但都有规律可寻。
总的来说，人口增长的外界大的干扰因素基本上没有，可以认为这一阶段随机误差服从正态分布；1980-2005年这一时间段，虽然人口的增长受到国家计划生育政策的控制，但计划生育的政策是基本稳定的，这一阶段随机误差也应服从正态分布，因此用最小二乘法拟合所得到的结果应有较大的可信度。
程序：
x（t）?
结果：
3、从1980-2005年，国家计划生育政策逐渐得到完善及贯彻落实，这个时期的人口增长受到国家计划生育政策的控制，人口的增长方式与上述的两个阶段都不同。
因此我们进一步选择1980年作为初始年份2005年作为终时刻进行拟合。
运用Matlab编程得到相关的参数xm?
153.5351可以算出可决系数R2?
0.9987得到中国各年,r?
0.0477，份人口变化趋势的第三条拟合曲线：
153.5351
（8）
153.53511?
（?
1）e?
0.0477t
98.705
根据曲线（7）我们可以对2010年（t?
30）、2020年（t?
40）、及2033年（t?
53）进行预测得（单位：
千万）：
x（30）?
135.5357,x（40）?
141.8440,x（53）?
147.0172
结果分析：
这一时期，国家虽然对人口大增长进行了干预，但国家的计划生育的政策是基本稳定的，在此其间没有其他大的干扰，所以人口增长的随机误差应服从正态分布。
所以结果应是比较可信的。
程序：
x（t）?
结果：
*篇三：
人口增长模型
人口增长模型
摘要
本文主要根据某地区的人口统计数据，通过合理的假设和严密的分析来建立模型，和估计该地区2010年的人口数量，并对其做出相应的分析。
首先，我们利用Matlab软件画出该地区1800至2000年的人口数据图，通过直观观察人口的变化规律后，我们认为该地区的人口数据呈现类似线性增长和指数增长，于是我们分别建立线性增长模型和指数增长模型，在假设人口增长率保持不变的前提下，用最小二乘法对数据进行拟合，最后得出2010年的人口预报数：
线性时为283.114百万，指数时为374.789百万。
但实际上人口增长率是不断地变化着的，即人口增长率不可能是一个常数，所以我们建立的线性增长模型和指数增长模型都比较粗糙，不能描述和预测较长时间人口变化过程。
而且从该地区历年的人口数据描述图可看出，从1980年开始，该地区的人口增长明显变慢，即人口增长受到一定的阻滞，所以为了更好地符合实际情况，以及更好地预报出长期的人口数，我们再建立了阻滞增长模型，利用此模型我们最后求出2010年的人口预报数为295.368百万。
关键字
人口预报，线性增长模型，指数增长模型，阻滞增长模型（Logistic模型）
问题重述
根据某地区人口从1800年到2000年的人口数据（如下表），建立模型估计出该地区2010年的人口（单位：
百万），同时画出拟合效果的图形。
模型假设
1、该地区历年的人口统计记录数据准确无误；
2、在模型一、二中，假设人口增长率不变，是一个常数，即单位时间内人口的增长量与当时的人口量成正比。
；
符号说明
x（t）t时刻的人口数量
x0初始时刻的人口数量
r人口增长率
xm环境所能容纳的最大人口数量，即r（xm）?
0
模型分析
首先，我们运用Matlab软件编程（见附件1），把1800年到2000年的人口数据通过绘图描点如下图
图11800年到2000年的人口数据图
从图我们可以看出1800年到2000年的人口数是呈现增长的趋势的，而且图像呈现类似线性函数和指数函数，于是我们猜测人口增长随时间的变化规律为线性函数或指数函数，所以我们分别用两种函数建立线性增长模型和指数增长模型，用最小二乘法对数据进行拟合，确定其中的未知参数。
然而上述两种模型都是在假设人口增长率不变的前提下建立的，比较粗糙，但在现实生活中，我们知道人口增长率是不可能不固定不变的，也就是人口不可能无限增长，无限增长将会导致人口爆炸，而政府对这种情形不可能置之不理的，
也就是说政府对人口无限增长会采取相应的措施，所以但人口增长到一定的程度下，人口增长率将会随人口的增长而呈线性递减，而且考虑到自然资源、环境条件等因素都会对人口增长起阻滞作用，并且随着人口增加，阻滞作用越来越大。
因此，我们改进了模型，建立了阻滞增长模型。
模型建立
模型一：
线性增长模型
首先，我们假设满足线性关系x（t）?
at?
b，根据最小二乘法，a和b是以下函数的最小值：
E（a,b）?
n?
（ati?
b?
xi）2，其中xi是ti时刻该地区的人口数。
i?
1
即有
E?
（a,b）?
（a.1800?
b?
7.2）2?
（a.1810?
b?
13.8）2?
...?
（a.2000?
b?
280.3）2?
E?
E?
0,?
0，可解得a和b。
?
a?
b
我们用Matlab编程（见附件2），解得a=1.5，b=-2755.3令
故x（t）?
1.5t?
2755.3
然后用该方程对1800年到2000年的人口数据进行拟合，拟合的效果图如下：
从上图可以看出拟合的效果不是很好，模型比较粗糙，所以我们有必要建立其他的模型进行预测。
但对于后期的人口拟合得还是可以的，用这线性增长模型
预报出x（2010）?
1.5*2010?
2755.3?
283.1148百万。
模型二：
指数增长模型
由于今年人口为x0，k年后人口为xk，年增长率为r，则有xk?
x0（1?
r）k。
则在t到t+?
t时间内的人口增量为x（t?
?
t）?
x（t）?
rx（t）?
t
上式两边同时除以?
t得：
x（t?
?
t）?
x（t）?
rx（t）?
t
令?
t?
0，取极限得到x（t）满足的微分方程为
dx?
rx（t）dt
于是我们得到一个指数增长的人口模型为
?
dx?
?
rx（t）?
dt?
?
x（0）?
x0
解这个方程得到
x（t）?
x0ert
（2）
然后，我们利用数据拟合（程序见附件3）
，效果
图3指数增长模型的拟合图
注：
*号为准确值，曲线为计算结果
从图3可以看出，拟合效果还好，但到了后期时段时，该地区人口增长明显变慢，这个明显就不适合了，拟合效果就不那么好了，说明该地区的人口增长率时随着人口的增长而递减的，有一定的阻滞使人口增长得不如前那么快，此模型还是有点粗糙，所以我们要对模型进行进一步的改进。
用该地区的数据拟合
（2）式，可解得r=5.94e-007年，x0=1e-006，然后
）?
374.789百万。
把它们代进模型，我们可算得x（2010
结果分析
用此模型基本是上能够描述1980年以前的人口增长，但我们从指数增长模型的拟合图可以看出，此模型对1980年以后的数据就拟合得不是很好，从1980年后，该地区的人口增长明显变慢，所以用此模型对2010年的人口进行预报不是那么适合，结果存在一定的误差，从图3可以看出所得的结果并不准确，精度不高。
模型三：
阻滞增长模型
随着人口的增加，人口的增长速度会降低，所以我们假设人口数的减函数为
r（x）?
r-sx
人口数量最终会达到饱和，且趋于一个常数xm，当x?
xm时，增长率为0，即有r?
sxm?
0
由上面的关系式可得出：
?
x?
r（x）?
r?
1?
?
x?
?
（3）
m?
?
把（3）式代进指数增长模型的微分方程中可以得到：
?
dx?
x?
?
?
?
r1?
x?
?
?
?
dt?
xm?
?
x（0）?
x0?
解得x（t）?
xm
?
xm?
?
rt?
1?
?
?
1?
x?
e?
0?
（4）
把x（1800）?
7.2代进（4）式得x（t）?
xm
?
10xm?
1?
?
?
1?
e?
r（t?
1800）
?
132?
《人口增长模型》
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