leslie人口增长模型Word文档下载推荐.docx
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三、由模型Ⅰ和模型Ⅱ的结果我们预测了人口总数的发展趋势，由模型Ⅱ的计算结果我们还能够得到各年份处在各年龄段的人口数量、男女比率的预测值。
根据这些预测值我们可以计算出反映人口增长特点的其他指标，由此我们可以对模型的计算结果进行进一步的分析。
2
3、合理的假设
1、社会稳定，不会发生重大自然灾害和战争bi,si不随时间而变化
2、超过90岁的妇女（老寿星）都按90岁年龄计算
3、在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变
4、不考虑移民对人口总数的影响
4、名词解释与符号说明
一、名词解释
1、总和生育率——指一定时期（如某一年）各年龄组妇女生育率的合计数，说明每名妇女按照某一年的各年龄组生育率度过育龄期，平均可能生育的子女数，是衡量生育水平最常用的指标之一。
2、更替水平——指这样一个生育水平，同一批妇女生育女儿的数量恰好能替代她们本身。
一旦达到生育更替水平，出生和死亡将逐渐趋于均衡，在没有国际迁入与迁出的情况下，人口将最终停止增长，保持稳定状态。
3、人口抚养比——指人口总体中非劳动年龄人口数与劳动年龄人口数之比。
通常用百分比表示。
说明每100名劳动年龄人口大致要负担多少名非劳动年龄人口。
用于从人口角度反映人口与经济发展的基本关系。
根据劳动年龄人口的两种不同定义（15-59岁人口或15-64岁人口），计算总抚养有两种方式
4、人口老龄化——指人口中老年人比重日益上升的现象。
促使人口老龄化的直接
原因是生育率和死亡率降低，主要是生育率降低。
一般认为，如果人口中65岁及以上
老年人口比重超过7%，或60岁及以上老年人口比重超过10%，那么该人口就属于老年型。
5、出生人口性别比——是活产男婴数与活产女婴数的比值，通常用女婴数量为100时所对应的男婴数来表示。
正常情况下，出生性别比是由生物学规律决定的，保持在103～107之间。
二、符号说明
序号
符号
意义
1：
t
表示年份（选定初始年份的t
0）
r
人口增长率
3：
x
人口数量
4：
xm
自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量
5：
R2
可决系数
6：
ni（t）,i1,2,
m
在时间段t第i年龄组的人口总数
7：
i
0,1,2,
90）
第i年龄组的生育率
8：
b（i
第i年龄组的死亡率
d（i
9：
si（i
第i年龄组的存活率
10：
L
Leslie矩阵
11：
Z0
2001
年全国人口总数
12：
zs
年城市总人口
13：
zz
年镇总人口
14：
zx
年乡总人口
3
15：
16：
17：
18：
19:
20：
ni（0）,i
1,2,m
2001年第i年龄段的人口总数
vi（i
1,2,3）
i1,2,3时分别表示市、镇、乡的女孩出生率
L（j）
j时段具有劳动能力的人口
（j）
社会的抚养比指数
k
总和生育率
Ki（j）
j时段i年龄组中女性所占的百分比
5、模型的建立与求解
阻滞增长模型（Logistic模型）[1]
一、模型的准备
阻滞增长模型的原理：
阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。
阻滞作用体现在对人口
增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。
若将r表示为x的函数r（x）。
则它应是减函数。
于是有：
dx
r（x）x,x（0）
x0
（1）
dt
对r（x）的一个最简单的假定是，设
r（x）为x的线性函数，即
r（x）rsx（r0,s0）
（2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量
xm，当x
xm时人口不再增长，即
增长率r（xm）
0，代入
（2）式得s
，于是
（2）式为
（3）
r（x）r
（1）
将（3）代入方程
（1）得：
rx（1
x）
（4）
x（0）
解方程（4）可得：
x（t）
（5）
（xm
1）ert
二、模型的建立
为了对以后一定时期内的人口数做出预测，我们首先从中国经济统计数据库
（http:
//211.86.245.155/index.aspx）上查到我国从1954年到2005年全国总人口的
4
数据如表1。
表1
各年份全国总人口数（单位：
千万）
年份
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
总人口
60.2
61.5
62.8
64.6
66.0
67.2
66.2
65.9
67.3
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
69.1
70.4
72.5
74.5
76.3
78.5
80.7
83.0
85.2
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
87.1
89.2
90.9
92.4
93.7
95.0
96.259
97.5
98.705
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
100.1
101.65
103.00
104.35
105.85
107.5
109.3
111.02
112.70
8
7
6
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
114.33
115.82
117.17
118.51
119.85
121.12
122.38
123.62
124.76
9
1999
2000
2002
2003
2004
2005
125.78
126.74
127.62
128.45
129.22
129.98
130.75
1、将1954年看成初始时刻即t
0，则1955为t
1，以次类推，以2005年为t51
作为终时刻。
用函数（5）对表1中的数据进行非线性拟合，运用
Matlab编程（程序见
附录1）得到相关的参数xm180.9871,r
-0.0336
，可以算出可决系数（可决系数是判
别曲线拟合效果的一个指标）：
5
?
（yi
yi）
R
0.9959
y）2
i1
由可决系数来看拟合的效果比较理想。
所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲
线：
180.9871
（6）
1（180.98711）e0.0.0336t
根据曲线（6）我们可以对2010年（t
56）、2020年（t
66）、及2033年（t
79）
进行预测得（单位：
千万）：
x（56）138.6161,x（66）
148.5400,x（79）
158.6028
结果分析：
从附录1所给信息可知从1951年至1958年为我国第一次出生人口高峰，形成了中国人口规模“由缓到快”的增长基础；
因此这段时期人口波动较大，可能影响
模型结果的准确性。
1959、1960、1961年为三年自然灾害时期，这段时期人口的增长受到很大影响，1962年处于这种影响的滞后期，人口的增长也受到很大影响。
总的来说1951-1962年的人口增长的随机误差不是服从正态分布，
由于上面的曲线拟合是用最小二乘法，所以很难保证拟合的准确性。
因此我们再选择1963年作为初始年份对表1中的数据进行拟合。
2、将1963年看成初始时刻即t0，以2005年为t32作为终时刻。
运用Matlab
编程（程序见附录2）得到相关的参数
xm151.4513,r0.0484，可以算出可决系数
0.9994得到中国各年份人口变化趋势的另一拟合曲线：
151.4513
（7）
（151.4513
1）e0.0484t
根据曲线（7）我们可以对2010年（t
47）、2020年（t
57）、及2033年（t
70）
x（47）134.9190,
x（57）
140.8168,x（70）
145.5908
1963年-1979年其间，人口的增长基本上是按照自然的规律增长，特别是在农村是这样，城市受到收入的影响，生育率较低，但都有规律可寻。
总的来说，人口增长的外界大的干扰因素基本上没有，可以认为这一阶段随机误差服从正态分布；
1980-2005年这一时间段，虽然人口的增长受到国家计划生育政策的控制，但计划生育
的政策是基本稳定的，这一阶段随机误差也应服从正态分布（当然均值与方差可能不同）因此用最小二乘法拟合所得到的结果应有较大的可信度。
3、从1980-2005年，国家计划生育政策逐渐得到完善及贯彻落实，这个时期的人
口增长受到国家计划生育政策的控制，人口的增长方式与上述的两个阶段都不同。
因此
我们进一步选择
1980年作为初始年份2005年作为终时刻进行拟合。
运用Matlab编程
（程序见附录
3）得到相关的参数xm
153.5351,r0.0477，可以算出可决系数
0.9987得到中国各年份人口变化趋势的第三条拟合曲线：
153.5351
（8）
1（153.53511）e0.0477t
30）、2020年（t
40）、及2033年（t
53）
x（30）135.5357,x（40）
141.8440,x（53）
147.0172
这一时期，国家虽然对人口大增长进行了干预，但国家的计划生育的政策是基本稳定的，在此其间没有其他大的干扰，所以人口增长的随机误差应服从正态分布。
所以我们的结果应是比较可信的。
我们分别根据拟合曲线（6）、（7）、（8）对各年份中国总人口进行预测得到结果如
表2：
表2各年份全国总人口用不同拟合曲线预测数（单位：
全国总人口预测（单位：
预测曲线（6）预测曲线（7）预测曲线（8）
126.7649
126.3338
126.473
130.5141
129.2303
129.5168
2006
134.1
131.8447
132.2758
2009
137.516
134.1926
134.7638
2012
140.7577
136.2917
136.9971
2015
143.8231
138.1607
138.9933
2018
146.7117
139.819
140.771
2021
149.4251
141.2856
142.3489
2024
151.9662
142.579
143.7452
2027
154.3392
143.7168
144.9778
2030
156.5494
144.7157
146.0632
2033
2036
160.5063
146.3562
147.8541
2039
162.267
147.0247
148.5871
2042
163.8924
147.6077
149.2284
2045
165.3903
148.1158
149.7886
2048
166.7683
148.558
150.2775
由上表可以看出：
用拟合曲线（6）预测得到的数据比较大，在2024年总人口就已经超过了151.9662千万，而且一直以比较快的速度增长到2048年达到了166.7683千万。
用拟合曲线（7）预测得到的数据偏小，到2048年人口只有148.558千万。
相比较而言用拟合曲线（8）预测的数据比较接近附件1中的预测。
画出图形如图1：
对各年份全国总人口的预测
数
口180
预测曲线（6）
人170
预测曲线（7）
160
预测曲线（8）
150
140
130
120
110
100
00
06
12
18
24
30
36
42
48
20
图1：
对各年份全国总人口数的预测
按年龄分布的Leslie模型[2]
将人口按年龄大小等间隔地划分成m个年龄组（譬如每10岁一组），模型要讨论在不同时间人口的年龄分布，对时间也加以离散化，其单位与年龄组的间隔相同。
时间离
散化为t0,1,2
.设在时间段t第i年龄组的人口总数为
ni（t）,i1,2,m，定义向量
n（t）[n1（t）,n2（t）,
nm（t）]T，模型要研究的是女性的人口分布
n（t）随t的变化规律，从而
进一步研究总人口数等指标的变化规律。
设第i年龄组的生育率为bi，即bi是单位时间第i年龄组的每个女性平均生育女儿的人数；
第i年龄组的死亡率为di，即di是单位时间第i年龄组女性死亡人数与总人数之
比，si
di称为存活率。
设bi、si不随时间t变化，根据bi、si和ni（t）的定义写出ni（t）
与ni（t
1）
应满足关系：
ni（t1）
bini（t）
（9）
i1
ni1（t1）
sini（t）,i1,2,
m1
在（9）式中我们假设bi中已经扣除婴儿死亡率，即扣除了在时段t以后出生而活不
到t
1的那些婴儿。
若记矩阵
b1
b2
bm1bm
s1
L0
s2
（10）
00sm10
则（9）式可写作
n（t1）Ln（t）
（11）
当L、n（0）已知时，对任意的t1,2,有
n（t）
Ltn（0）
（12）
若（10）中的元素满足
（ⅰ）si
0,i
1,2,
m1；
（ⅱ）bi
1,2
m，且至少一个bi
0。
则矩阵L称为Leslie矩阵。
只要我们求出Leslie矩阵L并根据人口分布的初始向量
n（0），我们就可以求出t时
段的人口分布向量n（t）。
我们以2001年为初始年份对以后各年的女性总数及总人口数进行预测，
根据附件2
中所给数据，以一岁为间距对女性分组。
计算2001年处在各个年龄上的妇女人数的分布向量
ni（0）,（i0,1,2,
90）：
附件2给了2001年中国人口抽样调查数据，提取为表
表3
城市男
147907
城市女
147465
镇男
80279
镇女
77976
乡男
394690
乡女
372242
根据抽样调查的结果，可以算出2001年城市、镇、乡人口占2001年全国总人口的比率分别为：
ps0.242,pz0.1297,px
0.6283
我们由表1数据知2001年全国总人口Z0127.
627（单位：
千万），因此可以算出
2001年城市、镇、乡的总人口分别为（单位：
zspsz030.885、zzpzz016.
548、zxpxz080.194
根据附件2给的2001年城市、镇、乡各个年龄段的女性比率，可以分别算出2001
年城市、镇、乡处在第i（i0,1,2,,90）年龄段的女性的总数分别为n1i（0）,n2i（0）,n3i（0）。
以城市为例，设2001年城市
升级会员 