椭圆双曲线抛物线带解析高考理科数学易错点.docx

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椭圆双曲线抛物线带解析高考理科数学易错点

椭圆、双曲线、抛物线（带解析2018年高考理科数学易错点）

1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：

y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

A．16B．14C．12D．10

【答案】A

2.【2017课标II，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）

A．2B．C．D．

【答案】A

【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，

即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．

3.【2017浙江，2】椭圆的离心率是

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】，选B．

4.【2017天津，理5】已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为

（A）（B）（C）（D）

【答案】B

【解析】由题意得，选B.

5.【2017北京，理9】若双曲线的离心率为，则实数m=_________.

【答案】2

【解析】，所以，解得.

6.【2017课标1，理】已知双曲线C：

（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.

【答案】

【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且，，

而，所以，

点到直线的距离，

在中，，代入计算得，即，

由得，

所以.

7.【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。

若为的中点，则。

【答案】6

【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：

，结合题意，有，故．

8.【2017课标3，理5】已知双曲线C：

（a＞0,b＞0）的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】双曲线C：

（a＞0,b＞0）的渐近线方程为，

椭圆中：

，椭圆，即双曲线的焦点为，

据此可得双曲线中的方程组：

，解得：

，

则双曲线的方程为.

故选B.

9.【2017山东，理14】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为.

【答案】

【解析】，

因为，所以渐近线方程为.

10.【2017课标1，理20】已知椭圆C：

（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：

l过定点.

【答案】

（1）.

（2）见解析。

（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，

如果l与x轴垂直，设l：

x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.

则，得，不符合题设.

从而可设l：

（）.将代入得

由题设可知.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.

而

.

由题设，故.

即.

解得.

当且仅当时，，欲使l：

，即，

所以l过定点（2，）

易错起源1、圆锥曲线的定义与标准方程

例1、

（1）△ABC的两个顶点为A（－4,0），B（4,0），△ABC周长为18，则C点轨迹方程为（）

A.x216＋y29＝1（y≠0）B.y225＋x29＝1（y≠0）

C.y216＋x29＝1（y≠0）D.x225＋y29＝1（y≠0）

（2）在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（－4,0）和C（4,0），顶点B在椭圆x225＋y29＝1上，则sinA＋sinCsinB＝________.

答案

（1）D

（2）54

解析

（1）∵△ABC的两顶点A（－4,0），B（4,0），周长为18，∴|AB|＝8，|BC|＋|AC|＝10.∵108，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，∴2a＝10,2c＝8，∴b＝3.∴椭圆的标准方程是x225＋y29＝1（y≠0）．故选D.

（2）由椭圆方程知其焦点坐标为（－4,0）和（4,0），恰分别为△ABC的顶点A和C的坐标，由椭圆定义知|BA|＋|BC|＝2a＝10，在△ABC中，由正弦定理可知，sinA＋sinCsinB＝|BC|＋|BA||AC|＝108＝54.

【变式探究】

（1）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为（）

A.x29－y227＝1B.y29－x227＝1

C.y212－x224＝1D.y224－x212＝1

（2）抛物线y2＝4x上的两点A，B到焦点的距离之和为8，则线段AB的中点到y轴的距离为________．

答案

（1）B

（2）3

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义及题意知，x1＋1＋x2＋1＝8，∴x1＋x2＝6.

∴线段AB的中点到y轴的距离为3.

【名师点睛】

（1）准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．

（2）求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．

【锦囊妙计，战胜自我】

1．圆锥曲线的定义

（1）椭圆：

|PF1|＋|PF2|＝2a（2a|F1F2|）；

（2）双曲线：

||PF1|－|PF2||＝2a（2a|F1F2|）；

（3）抛物线：

|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.

2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”

所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．

易错起源2、圆锥曲线的几何性质

例2

（1）椭圆Γ：

x2a2＋y2b2＝1（ab0）的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3（x＋c）与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．

（2）已知双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）

A．y＝±3xB．y＝±22x

C．y＝±（3＋1）xD．y＝±（3－1）x

答案

（1）3－1

（2）C

解析

（1）直线y＝3（x＋c）过点F1（－c,0），且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝3c，

所以该椭圆的离心率e＝2c2a＝2cc＋3c＝3－1.

（2）由题意作出示意图，

易得直线BC的斜率为ab，cos∠CF1F2＝bc，

又由双曲线的定义及|BC|＝|CF2|可得

|CF1|－|CF2|＝|BF1|＝2a，

|BF2|－|BF1|＝2a⇒|BF2|＝4a，

故cos∠CF1F2＝bc＝4a2＋4c2－16a22×2a×2c⇒b2－2ab－2a2＝0⇒（ba）2－2（ba）－2＝0⇒ba＝1＋3，

故双曲线的渐近线方程为y＝±（3＋1）x.

【变式探究】

（1）设椭圆C：

x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为（）

A.36B.13C.12D.33

（2）设双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋a2＋b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）

A．（－1,0）∪（0,1）B．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

C．（－2，0）∪（0，2）D．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

答案

（1）D

（2）A

解析

（1）因为PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，

所以|PF2|＝2ctan30°＝233c，|PF1|＝433c.

又|PF1|＋|PF2|＝633c＝2a，所以ca＝13＝33，

即椭圆C的离心率为33.

（2）由题作出图象如图所示．

由x2a2－y2b2＝1可知A（a,0），F（c,0）．

易得Bc，b2a，Cc，－b2a.

∵kAB＝b2ac－a＝b2ac－a，

∴kCD＝aa－cb2.

∵kAC＝b2aa－c＝b2aa－c，

∴kBD＝－aa－cb2.

∴lBD：

y－b2a＝－aa－cb2（x－c），

即y＝－aa－cb2x＋aca－cb2＋b2a，

lCD：

y＋b2a＝aa－cb2（x－c），

即y＝aa－cb2x－aca－cb2－b2a.

∴xD＝c＋b4a2a－c.

∴点D到BC的距离为b4a2a－c.

∴b4a2c－aa＋a2＋b2＝a＋c，

∴b4a2（c2－a2）＝a2b2，

∴a2b2，∴0b2a21.∴0ba1.

【名师点睛】

（1）明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．

（2）在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．

【锦囊妙计，战胜自我】

1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系

（1）在椭圆中：

a2＝b2＋c2，离心率为e＝ca＝1－ba2；

（2）在双曲线中：

c2＝a2＋b2，离心率为e＝ca＝1＋ba2.

2．双曲线x2a2－y2b2＝1（a0，b0）的渐近线方程为y＝±bax.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．

易错起源3、直线与圆锥曲线

例3、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为22，且右焦点F到直线l：

x＝－a2c的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若|PC|＝2|AB|，求直线AB的方程．

解

（1）由题意，得ca＝22且c＋a2c＝3，

解得a＝2，c＝1，则b＝1，

所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.

（2）当AB⊥x轴时，|AB|＝2，又|CP|＝3，不合题意．

当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），

将直线AB的方程代入椭圆方程，

得（1＋2k2）x2－4k2x＋2（k2－1）＝0，

则x1,2＝2k2±21＋k21＋2k2，

C的坐标为2k21＋2k2，－k1＋2k2，且

|AB|＝x2－x12＋y2－y12＝1＋k2x2－x12＝221＋k21＋2k2.

若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与直线l平行，不合题意．

从而k≠0，故直线PC的方程为

y＋k1＋2k2＝－1kx－2k21＋2k2，

则P点的坐标为－2，5k2＋2k1＋2k2，

从而|PC|＝23k2＋11＋k2|k|1＋2k2.

因为|PC|＝2|AB|，

所以23k2＋11＋k2|k|1＋2k2＝421＋k21＋2k2，

解得k＝±1.

此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.

【变式探究】

（1）设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）

A．[－12，12]B．[－2,2]

C．[－1,1]D．[－4,4]

（2）设椭圆C：

x24＋y23＝1与函数y＝tanx4的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________．

答案

（1）C

（2）[38，34]

解析

（1）由题意知抛物线的准线为x＝－2，∴Q（－2,0），显然，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k（x＋2），由y＝kx＋2，y2＝8x，得k2x2＋4（k2－2）x＋4k2＝0，

当k＝0时，x＝0，此时交点为（0,0），当k≠0时，Δ≥0，

即[4（k2－2）]2－16k4≥0，解得－1≤k0或0k≤1，

综上，k的取值范围为[－1,1]，故选C.

（2）由题意，得A1，A2两点关于原点对称，设A1（x1，y1），A2（－x1，－y1），P（x0，y0），则有x214＋y213＝1，x204＋y203＝1，即y21＝34（4－x21），y20＝34（4－x20），

两式相减整理，得y0＋y1x0＋x1＝－34x0－x1y0－y1＝－34.

因为直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，

所以－2≤y0＋y1x0＋x1≤－1，

所以－2≤－34≤－1，解得38≤≤34.

【名师点睛】

解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．

【锦囊妙计，战胜自我】

判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法

（1）代数法：

即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y（或x）得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．

（2）几何法：

即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．