土力学教程土压缩与地基沉降计算.docx

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土力学教程土压缩与地基沉降计算

土力学教程

（同济大学土木工程学院编制）

土的压缩与地基沉降计算

学习指导

压缩试验与压缩指标

地基最终沉降量计算

固结理论

本章小结

 学习指导

学习目标

　　在学习土的压缩性指标确定方法的基础上，掌握地基最终沉降量计算原理和地基固结问题的分析计算方法。

学习基本要求

　　1．掌握土的压缩性与压缩性指标确定方法

　　2．掌握地基最终沉降量计算方法

　　3．熟悉不同应力历史条件的沉降计算方法

　　4．掌握有效应力原理

　　5．掌握太沙基一维固结理论

　　6．掌握地基沉降随时间变化规律

主要基础知识

土中自重应力计算，土中附加应力计算，弹性力学基础知识

参阅：

（1）徐芝伦著，《弹性力学》，高等教育出版社，1990。

（2）吴家龙编著，《弹性力学》，同济大学出版社，1993。

一、土的压缩试验与压缩性指标

 1.室内压缩试验

土的室内压缩试验亦称固结试验，是研究土压缩性的最基本的方法。

室内压缩试验采用的试验装置为压缩仪（图片）。

试验时将切有土样的环刀置于刚性护环中，由于金属环刀及刚性护环的限制，使得土样在竖向压力作用下只能发生竖向变形，而无侧向变形。

在土样上下放置的透水石是土样受压后排出孔隙水的两个界面。

压缩过程中竖向压力通过刚性板施加给土样，土样产生的压缩量可通过百分表量测。

常规压缩试验通过逐级加荷进行试验，常用的分级加荷量p为：

50kPa,100kPa,200kPa,300kPa,400kPa。

室内压缩试验过程可参见如下的室内压缩试验演示  

室内压缩试验过程演示 

　　详细了解压缩试验的试验操作步骤请进入

室内固结试验（内容包括试验设备、试验方法、试验过程图片等）

室内固结试验

一、试验目的

　　本试验用于测定土的压缩性指标，主要包括土的压缩系数av、压缩指数Cc及固结系数Cv等，为估算建筑物沉降量及历经不同时间的固结度提供必备的计算参数。

二、仪器设备

　　使用单向固结仪，试样面积30cm或50cm，高2cm，使用杠杆、气压（或液压）、磅称等加荷装置。

 单向固结仪

土样与压力室  

根据压缩过程中土样变形与土的三相指标的关系，可以导出试验过程孔隙比e与压缩量∆H的关系，即：

（4-1）

　　这样，根据式（4-1）即可得到各级荷载p下对应的孔隙比e，从而可绘制出土样压缩试验的e-p曲线及e-lgp曲线等。

2.压缩性指标

（1）压缩系数a

通常可将常规压缩试验所得的e-p数据采用普通直角坐标绘制成e-p曲线，如图4-1所示。

设压力由p1增至p2，相应的孔隙比由e1减小到e2，当压力变化范围不大时，可将M1M2一小段曲线用割线来代替，用割线M1M2的斜率来表示土在这一段压力范围的压缩性，即：

图4-1e-p曲线确定压缩系数

（4-2）

式中a为压缩系数，MPa-1；压缩系数愈大，土的压缩性愈高。

从图4-1还可以看出，压缩系数a值与土所受的荷载大小有关。

工程中一般采用100～200kPa压力区间内对应的压缩系数a1-2来评价土的压缩性。

即

a1-2<0.1MPa-1属低压缩性土；

0.1MPa-1≤a1-2<0.5MPa-1

（2）压缩模量Es

根据e-p曲线，可以得到另一个重要的侧限压缩指标-侧限压缩模量，简称压缩模量，用Es来表示。

其定义为土在完全侧限的条件下竖向应力增量∆p（如从p1增至p2）与相应的应变增量∆ε的比值：

（4-3）

式中Es为侧限压缩模量，MPa。

在无侧向变形，即横截面面积不变的情况下，同样根据土粒所占高度不变的条件，土样变形量△H可用相应的孔隙比的变化△e=e1-e2来表示：

（4-4）

由此还可导出压缩系数a与压缩模量Es之间的关系：

（4-5）

同压缩系数a一样，压缩模量Es也不是常数，而是随着压力大小而变化。

因此，在运用到沉降计算中时，比较合理的做法是根据实际竖向应力的大小在压缩曲线上取相应的孔隙比计算这些指标。

   （3）压缩指数Cc

当采用半对数的直角坐标来绘制室内侧限压缩试验e-p关系时，就得到了e-lgp曲线（见图4-2）。

在e-lgp曲线中可以看到，当压力较大时，e-lgp曲线接近直线。

将e-lgp曲线直线段的斜率用Cc来表示，称为压缩指数，它是无量纲量：

（4-6）

压缩指数Cc与压缩系数a不同，它在压力较大时为常数，不随压力变化而变化。

Cc值越大，土的压缩性越高，低压缩性土的Cc一般小于0.2，高压缩性土的Cc值一般大于0.4。

图4-2e-lgp曲线确定压缩指数

 　　（4）回弹指数Ce

常规的压缩曲线是在试验中连续递增加压获得的，如果加压到某一值pi；（相应于图4-3中曲线上的b点）后不再加压，而是逐级进行卸载直至零，并且测得各卸载等级下土样回弹稳定后土样高度，进而换算得到相应的孔隙比，即可绘制出卸载阶段的关系曲线，如图中bc曲线所示，称为回弹曲线（或膨胀曲线）。

可以看到不同于一般的弹性材料的是，回弹曲线不和初始加载的曲线ab重合，卸载至零时，土样的孔隙比没有恢复到初始压力为零时的孔隙比e0。

这就显示了土残留了一部分压缩变形，称之为残余变形，但也恢复了一部分压缩变形，称之为弹性变形。

若接着重新逐级加压，则可测得土样在各级荷载作用下再压缩稳定后的孔隙比，相应地可绘制出再压缩曲线，如图4-3中cdf曲线所示。

可以发现其中df段像是ab段的延续，犹如其间没有经过卸载和再压的过程一样。

卸载段和再压缩段的平均斜率称为回弹指数或再压缩指数Ce。

通常Ce＜＜Cc，一般粘性土的Ce≈（0.l～0.2）Cc。

图4-3土的回弹-再压缩曲线

（5）弹性模量

弹性模量是指正应力σ与弹性正应变（即可恢复应变）εd的比值。

一般采用三轴仪进行三轴重复压缩试验，得到的应力-应变曲线上的初始切线模量Ei或再加荷模量Er作为弹性模量。

在计算饱和粘性土地基上瞬时加荷所产生的瞬时沉降时，一般应采用弹性模量。

3.现场载荷试验及变形模量

（1）现场载荷试验方法

现场载荷试验是在工程现场通过千斤顶逐级对置于地基土上的载荷板施加荷载，观测记录沉降随时间的发展以及稳定时的沉降量s，将上述试验得到的各级荷载与相应的稳定沉降量绘制成p-s曲线，即获得了地基土载荷试验的结果。

 现场载荷试验（图片）

图4-4地基土现场载荷试验

1－载荷板2－千斤顶3－百分表4－平台5－枕木6－堆重

图4-5地基土现场载荷试验p-s曲线

（2）地基变形模量

在p-s曲线中，当荷载p小于某数值时，荷载p与载荷板沉降之间基本呈直线关系。

在这段直线关系内，可根据弹性理论计算沉降的公式反求地基的变形模量E0：

（4-7）

式中p为直线段的荷载强度，kPa；s为相应于p的载荷板下沉量；b为载荷板的宽度或直径；μ为土的泊松比，砂土可取0.2～0.25，粘性土可取0.25～0.45；w为沉降影响系数，对刚性载荷板取w=0.88（方形板）；wr=0.79（圆形板）。

　　（3）关于三种模量的讨论

压缩模量Es是土在完全侧限的条件下得到的，为竖向正应力与相应的正应变的比值。

该参数将用于地基最终沉降量计算的分层总和法、应力面积法等方法中。

变形模量E0是根据现场载荷试验得到的，它是指土在侧向自由膨胀条件下正应力与相应的正应变的比值。

该参数将用于弹性理论法最终沉降估算中，但载荷试验中所规定的沉降稳定标准带有很大的近似性。

弹性模量Ei可通过静力法或动力法测定，它是指正应力σ与弹性（即可恢复）正应变ε的比值。

该参数常用于用弹性理论公式估算建筑物的初始瞬时沉降。

根据上述三种模量的定义可看出：

压缩模量和变形模量的应变为总的应变，既包括可恢复的弹性应变，又包括不可恢复的塑性应变。

而弹性模量的应变只包含弹性应变。

从理论上可以得到压缩模量与变形模量之间的换算关系：

推导过程（4-8）

式中

式（4-8）给出了变形模量与压缩模量之间的理论关系，由于0≤μ≤0.5，所以0≤β≤1。

由于土体不是完全弹性体，加上二种试验的影响因素较多，使得理论关系与实测关系有一定差距。

实测资料表明，E0与Es的比值并不象理论得到的在0～l之间变化，而可能出现E0/Es超过1的情况，且土的结构性越强或压缩性越小，其比值越大。

土的弹性模量要比变形模量、压缩模量大得多，可能是它们的十几倍或者更大。

4.土的应力历史

目前工程上所谓应力历史是指土层在地质历史发展过程中所形成的先期应力状态以及这个状态对土层强度与变形的影响。

（1）先期固结压力

土层在历史上所曾经承受过的最大固结压力，称为先期固结压力，用pc表示。

目前对期固结压力pc通常是根据室内压缩试验获得的e-lgp曲线来确定，较简便明了的方法是卡萨格兰德1936年提出的经验作图法：

卡萨格兰德（A.Cassagrande,1902～），1932年提出液限测定的碟式仪方法，此方法在欧、美、日沿用至今；1936年提出先期固结压力的经验作图法；1942年提出土的分类方法，成为美国规范中“土的统一分类方法”的理论基础。

1）在e-lgp曲线拐弯处找出曲率半径最小的点A，过A点作水平线A1和切线A2；

2）作∠1A2的平分线A3，与e-lgp曲线直线段的延长线交于B点；

3）B点所对应的有效应力即为前期固结压力。

必须指出，采用这种简易的经验作图法，要求取土质量较高，绘制e-lgp曲线时还应注意选用合适的比例，否则，很难找到曲率半径最小的点A，就不一定能得出可靠的结果。

还应结合现场的调查资料综合分析确定。

图4-6求pc的卡萨格兰德经验作图法

（2）土的固结状态

工程中根据先期固结压力与目前自重应力的相对关系，将土层的天然固结状态划分为三种，即正常固结、超固结和欠固结。

用超固结比OCR作为反映土层天然固结状态的定量指标：

（4-10）

式中σc为土层自重应力，kPa。

天然土层按如下方法划分为正常固结土、超固结土和欠固结土：

正常固结土pc=σcOCR=1.0

超固结土pc>σcOCR>1.0

欠固结土pc<σcOCR<1.0

二、地基沉降计算

 1.弹性理论法

弹性理论法计算地基沉降是基于布辛奈斯克课题的位移解，其基本假定为地基是均质的、各向同性的、线弹性的半无限体；此外还假定基础整个底面和地基一直保持接触。

需要指出的是布辛奈斯克课题是研究荷载作用于地表的情形，因此可以近似用来研究荷载作用面埋置深度较浅的情况。

当荷载作用位置埋置深度较大时（如深基础），则应采用明德林课题（Mindlin）的位移解进行弹性理论法沉降计算。

（1）点荷载作用下地表沉降

布辛奈斯克课题给出了半空间表面作用有一竖向集中力Q时，半空间内任一点M（x，y，z）的竖向位移w（x，y，z），运用到半无限地基中，当z取0时，w（x，y，0）即为地表沉降s：

（4-11）

式中s为竖向集中力Q作用下地表任意点沉降；r为集中力Q作用点与地表沉降计算点的距离，即为：

；

E为弹性模量；μ为泊松比。

（2）矩形面积上均布荷载作用下地基的角点沉降

对于矩形面积上的均布荷载，通过在荷载分布面积上积分可得其角点沉降sc为：

（4－12）

式中：

m=l/b，即矩形面积的长宽比；p0为基底附加压力；δc称为角点沉降系数，即单位矩形均布荷载在角点引起的沉降，其表达式为：

ωc称为角点沉降影响系数，是长宽比的函数，其表达式为：

ωc也可由表4-1查得。

 表4-1沉降影响系数值

圆形

方形

矩形

柔性基础

－

1.0

1.5

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

ωc

0.64

0.56

0.68

0.77

0.89

0.98

1.05

1.12

1.17

2.21

1.25

1.27

ω0

1.00

1.12

1.36

1.53

1.78

1.96

2.10

2.23

2.33

2.42

2.49

2.53

ωm

0.85

0.95

1.15

1.30

1.53

1.70

1.83

1.96

2.04

2.12

2.19

2.25

刚性基础

ωr

0.79

0.88

1.08

1.22

1.44

1.61

1.72

2.12

（3）矩形柔性基础上均布荷载作用下地基任意点沉降

　　用角点法得到矩形柔性基础上均布荷载作用下地基任意点沉降。

如基础中点的沉降s0为：

（4-13）

式中ω0称为中点沉影响系数，可由表4-1查得，对应某一长宽比，ω0=2ωc。

另外还可以得到矩形柔性基础上均布荷载作用下基底面积A范围内各点沉降的平均值，即基础平均沉降sm：

（4-14）

式中：

ωm为平均沉降影响系数，是长宽比的函数，可由表4-1查得，对应某一长宽比，ωc＜ωm＜ω0。

（4）绝对刚性基础沉降

1）中心荷载下的基础沉降

绝对刚性基础的抗弯刚度非常大，基础受力后不会发生挠曲变形，基底仍保持为平面，基底各点沉降相等，基础的沉降可按下式计算：

（4-15）

式中b为矩形基础宽度或圆形基础直径；ωr称为刚性基础的沉降影响系数，可由表4-1查得。

2）偏心荷载下的基础倾斜

在偏心荷载作用下，刚性基础还会产生倾斜，基底倾斜（倾角θ）可由弹性力学公式求得：

对于圆形基础：

（4-16a）

对于矩形基础：

（4－16b）

　　式中e为合力的偏心距；K为计算系数，可按基础长宽比l／b由图4-7查得。

图4-7绝对刚性基础倾斜计算系数K值

  2.地基沉降的实用计算方法

（1）分层总和法

1）计算原理

分层总和法一般取基底中心点下地基附加应力来计算各分层土的竖向压缩量，认为基础的平均沉降量s为各分层上竖向压缩量∆si之和。

在计算出∆si时，假设地基土只在竖向发生压缩变形，没有侧向变形，故可利用室内侧限压缩试验成果进行计算。

2）计算步骤

a.地基土分层。

成层土的层面（不同土层的压缩性及重度不同）及地下水面（水面上下土的有效重度不同）是当然的分层界面，分层厚度一般不宜大于0.4b（b为基底宽度）。

b.计算各分层界面处土自重应力。

土自重应力应从天然地面起算。

c.计算各分层界面处基底中心下竖向附加应力。

d.确定地基沉降计算深度（或压缩层厚度）。

一般取地基附加应力等于自重应力的20％（即σz/σc=0.2）深度处作为沉降计算深度的限值；若在该深度以下为高压缩性土，则应取地基附加应力等于自重应力的10％（即σz/σc=0.1）深度处作为沉降计算深度的限值。

e.计算各分层土的压缩量∆si：

（4-17）

式中Hi为第i分层土的厚度；e1i为对应于第i分层土上下层面自重应力值的平均值p1i从土的压缩曲线上得到的孔隙比；这里p1i为：

e2i为对应于第i分层土自重应力平均值p1i与上下层面附加应力值的平均值∆pi之和p2i从土的压缩曲线上得到的孔隙比；这里∆pi、p2i分别为：

6）叠加计算基础的平均沉降量。

（4-18）

式中n为沉降计算深度范围内的分层数。

图4-8分层总和法计算地基最终沉降量

 　　分层总和法的具体计算过程可参见例题4-1

【例题4-1】

墙下条形基础宽度为2.0m，传至地面的荷载为100kN／m，基础理置深度为1.2m，地下水位在基底以下0.6m，如图4-9所示，地基土的室内压缩试验试验e-p数据下表所示，用分层总和法求基础中点的沉降量。

地基土的室内压缩试验试验e-p数据

0

50

100

200

300

粘土①

0.651

0.625

0.608

0.587

0.570

粉质粘土②

0.978

0.889

0.855

0.809

0.773

图4-9

【解】

（1）地基分层：

考虑分层厚度不超过0.4b=0.8m以及地下水位，基底以下厚1.2m的粘土层分成两层，层厚均为0.6m，其下粉质粘土层分层厚度均取为0.8m。

（2）计算自重应力

计算分层处的自重应力，地下水位以下取有效重度进行计算。

计算各分层上下界面处自重应力的平均值，作为该分层受压前所受侧限竖向应力p1i，各分层点的自重应力值及各分层的平均自重应力值见图4-10及表4-6

。

（3）计算竖向附加应力；

基底平均附加应力为：

　　查条形基础竖向应力系数表，可得应力系数au及计算各分层点的竖向附加应力，并计算各分层上下界面处附加应力的平均值，见图4-10及表4-6

。

（4）将各分层自重应力平均值和附加应力平均值之和作为该分层受压后的总应力p2i。

（5）确定压缩层深度：

一般可按σz/σc=0.2来确定压缩层深度，在z=4.4m处，σz/σc＝14.8/62.5=0.237＞0.2,在z=5.2m处，σz/σc＝12.7/69.0＝0.184＜0.2，所以压缩层深度可取为基底以下5.2m。

（6）计算各分层的压缩量

如第③层

各分层的压缩量列于表4-6中。

（7）计算基础平均最终沉降量

（2）应力面积法

   1）计算原理

应力面积法是国家标准GBJ7-89《建筑地基基础设计规范》中推荐使用的一种计算地基最终沉降量的方法，故又称为规范方法。

应力面积法一般按地基土的天然分层面划分计算土层，引入土层平均附加应力的概念，通过平均附加应力系数，将基底中心以下地基中zi-1～zi深度范围的附加应力按等面积原则化为相同深度范围内矩形分布时的分布应力大小，再按矩形分布应力情况计算土层的压缩量，各土层压缩量的总和即为地基的计算沉降量。

理论上基础的平均沉降量可表示为

（4-19）

式中n为沉降计算深度范围划分的土层数；p0为基底附加压力；

为平均竖向附加应力系数,对于矩形面积上均布荷载作用时角点下平均竖  

  向附加应力系数

值，可从表4-2查得。

为分别将基底中心以下地基中zi-1～zi深度范围附加应力，按等

  面积化为相同深度范围内矩形分布时分布应力的大小。

（2）沉降计算经验系数ψs

为提高计算准确度，规范规定按公式（4-19）计算得到的沉降s’尚应乘以一个沉降计算经验系数ψs。

ψs定义为根据地基沉降观测资料推算的最终沉降量s与由式（4-19）计算得到的s’之比，一般根据地区沉降观测资料及经验确定，也可按表4-3查取。

综上所述，应力面积法的地基最终沉降量计算公式为

（4-20）

 3）沉降计算深度的确定

GBJ7-89《建筑地基基础设计规范》规定沉降计算深度zn由下列要求确定：

（4-21）

式中∆sn’为自试算深度往上∆z厚度范围的压缩量（包括考虑相邻荷载的影响），∆z的取值按表4-4确定。

公式推导

特别提示：

如确定的沉降计算深度下部仍有较软弱土层时，应继续往下进行计算，同样也应满足式（4-21）为止。

当无相邻荷载影响，基础宽度在l～50m范围内时，地基沉降计算深度也可按下列简化公式计算：

（4-22）

式中b为基础宽度。

在计算深度范围内存在基岩时，zn取至基岩表面。

   应力面积法的具体计算过程可参见例题4-2

【例题4-2】

设基础底面尺寸为4.8m2×3.2m2，埋深为1.5m，传至地面的中心荷载F=1800kN，地基的土层分层及各层土的侧限压缩模量（相应于自重应力至自重应力加附加应力段）如图4-10所示，持力层的地基承载力为fk=180kPa，用应力面积法计算基础中点的最终沉降。

图4-10

【解】

（1）基底附加压力

（2）取计算深度为8m，计算过程见表4-7，计算沉降量为123.4mm。

（3）确定沉降计算深度zn

根据b=3.2m查表4-4上可得∆z＝0.6m相应于往上取∆z厚度范围（即7.4～8.0m深度范围）的土层计算沉降量为l.3mm≤0.025×123.4mm=3.08mm，满足要求，故沉降计算深度可取为8m。

（4）确定修正系数ψs

    由于p0≤0.75fk=135kPa，查表4-3得：

ψs=1.04

（5）计算基础中点最终沉降量s

三、饱和粘性土地基沉降与时间的关系

1.工程背景

饱和粘性土地基在建筑物荷载作用下要经过相当长时间才能达到最终沉降，不是瞬时完成的。

为了建筑物的安全与正常使用，对于一些重要或特殊的建筑物应在工程实践和分析研究中掌握沉降与时间关系的规律性，这是因为较快的沉降速率对于建筑物有较大的危害。

例如，在第四纪一般粘性土地区，一般的四、五层以上的民用建筑物的允许沉降仅10cm左右，沉降超过此值就容易产生裂缝；而沿海软土地区，沉降的固结过程很慢，建筑物能够适应于地基的变形。

因此，类似建筑物的允许沉降量可达20cm甚至更大。

碎石土和砂土的压缩性小而渗透性大，在受荷后固结稳定所需的时间很短，可以认为在外荷载施加完毕时，其固结变形就已经基本完成。

饱和粘性土与粉土地基在建筑物荷载作用下需要经过相当长时间才能达到最终沉降，例如厚的饱和软粘土层，其固结变形需要几年甚至几十年才能完成。

因此，工程中一般只考虑粘性土和粉土的变形与时间的关系。

2.饱和土的有效应力原理

作用于饱和土体内某截面上总的正应力σ由两部分组成：

一部分为孔隙水压力υ，它沿着各个方向均匀作用于土颗粒上，其中由孔隙水自重引起的称为静水压力，由附加应力引起的称为超静孔隙水压力（通常简称为孔隙水压力）；另一部分为有效应力σ’，它作用于土的骨架（土颗粒）上，其中由土粒自重引起的即为土的自重应力，由附加应力引起的称为附加有效应力。

饱和土中总应力与孔隙水压力、有效应力之间存在如下关系：

   （4-23）

　　上式称为饱和土的有效应力公式，加上有效应力在土中的作用，可以进一步表述成如下的有效应力原理：

（1）饱和土体内任一平面上受到的总应力等于有效应力加孔隙水压力之和；

（2）土的强度的变化和变形只取决于土中有效应力的变化。

 3．太沙基的一维渗流固结理论

太沙基（K．Terzaghi，1925）一维固结理论可用于求解一维有侧限应力状态下，饱和粘性土地基受外荷载作用发生渗流固结过程中任意时刻的土骨架及孔隙水的应力分担量，如大面积均布荷载下薄压缩层地基的渗流固结等。

（1）基本假设

l）土是均质的、完全饱和的；

2）土粒和水是不可压缩的；

3）土层的压缩和土中水的渗流只沿竖向发生，是单向（一维）的；