数式规律型问题.docx

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数式规律型问题

数式规律型问题（总7页）

　数式规律型问题

【经典母题】

观察下列各式：

52＝25；

152＝225；

252＝625；

352＝1225；

…

你能口算末位数是5的两位数的平方吗请用完全平方公式说明理由．

解：

把末位数是5的自然数表示成10a＋5的一般形式，其中a为自然数，

则（10a＋5）2＝100a2＋100a＋25＝100a（a＋1）＋25，

因此在计算末位数是5的自然数的平方时，只要把100a与a＋1相乘，并在积的后面加上25即可得到结果．

【思想方法】　模型化思想和归纳推理的思想在中考中应用广泛，是热点考题之一．

【中考变形】

1．小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：

3－2＝1；

8＋7－6－5＝4；

15＋14＋13－12－11－10＝9；

24＋23＋22＋21－20－19－18－17＝16；

…

根据以上规律可知第10行左起第1个数是（　C　）

A．100B．121C．120D．82

【解析】根据规律可知第10行等式的右边是102＝100，等式左边有20个数加减．∵这20个数是120＋119＋118＋…＋111－110－109－108－…－102－101，∴左起第1个数是120.

2．[2016·邵阳]如图Z3－1，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（　B　）

图Z3－1

A．y＝2n＋1B．y＝2n＋n

C．y＝2n＋1＋nD．y＝2n＋n＋1

【解析】∵观察可知：

左边三角形的数字规律为1，2，…，n，右边三角形的数字规律为21，22…，2n，下边三角形的数字规律为1＋2，2＋22，…，n＋2n，∴最后一个三角形中y与n之间的关系为y＝2n＋n.

3．[2018·中考预测]根据图Z3－2中箭头的指向规律，从2017到2018再到2019，箭头的方向是下列选项中的（　D　）

图Z3－2

【解析】由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，

2017÷4＝504……1，

∴2017是第505个循环组的第2个数，

∴从2017到2018再到2019，箭头的方向是

.

故选D.

4．挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：

当一根棒条没有被其他棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图Z3－3中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…则第6次应拿走

（　D　）

A．②号棒B．⑦号棒

C．⑧号棒D．⑩号棒

【解析】仔细观察图形，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒．

5．[2017·烟台]用棋子摆出下列一组图形（如图Z3－4）：

图Z3－4

按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为（　D　）

A．3nB．6n

C．3n＋6＋3

【解析】∵第1个图需棋子3＋3＝6；第2个图需棋子3×2＋3＝9；第3个图需棋子3×3＋3＝12；…∴第n个图需棋子（3n＋3）个．

6．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第1个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…以此类推，那么第9个三角形数是__45__，2016是第__63__个三角形数．

【解析】根据所给的数据发现：

第n个三角形数是1＋2＋3＋…＋n，则第9个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45；由1＋2＋3＋4＋…＋n＝

2016，得

＝2016，解得n＝63（负数舍去）．

7．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：

每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1.如：

第1位同学报

，第2位同学报

，第3位同学报

，…这样得到的100个数的积为__101__.

【解析】∵第1位同学报的数为

＋1＝

，第2位同学报的数为

＋1＝

，第3位同学报的数为

＋1＝

，…

∴第100位同学报的数为

＋1＝

，

∴这样得到的100个数的积＝

×

×

×…×

＝101.

8．[2017·潍坊]如图Z3－5，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为__9n＋3__．

图Z3－5

【解析】∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝6＋6＝12＝9＋3；∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝11＋10＝21＝9×2＋3；∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝16＋14＝30＝9×3＋3，…∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和＝9n＋3.

9．观察下列等式：

第一个等式：

a1＝

＝

－1；

第二个等式：

a2＝

＝

－

；

第三个等式：

a3＝

＝2－

；

第四个等式：

a4＝

＝

－2；

…

按上述规律，回答以下问题：

（1）用含n的代数式表示第n个等式：

an＝

＝

－

；

（2）a1＋a2＋a3＋…＋an＝__

－1__

【解析】a1＋a2＋a3＋…＋an＝（

－1）＋（

－

）＋（2－

）＋（

－2）＋…＋（

－

）＝

－1.

10．[2016·山西]如图Z3－6是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有__4n＋1__个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．

图Z3－6

【解析】由图可知，涂有阴影的小正方形有5＋4（n－1）＝4n＋1（个）．

11．如图Z3－7是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…则第n个图案中有__5n＋1__根小棒．

图Z3－7

【解析】∵第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有6＋5×1＝11根小棒，第3个图案中有6＋5×2＝16根小棒，…∴第n个图案中有6＋5（n－1）＝5n＋1根小棒．

12．《庄子·天下篇》中写道：

“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：

一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图Z3－8所示．

由图易得

＋

＋

＋…＋

＝__1－

__.

图Z3－8

13．[2016·安徽]

（1）观察图Z3－9中的图形与等式的关系，并填空：

图Z3－9

【解析】1＋3＋5＋7＝16＝42，观察，发现规律：

1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…∴1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2.

（2）观察图Z3－10，根据

（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：

图Z3－10

1＋3＋5＋…＋（2n－1）＋__2n＋1__＋（2n－1）＋…＋5＋3＋1＝__2n2＋2n＋1__．

【解析】观察图形发现：

图中黑球可分为三部分，1到n行，第n＋1行，n＋2行到2n＋1行，即1＋3＋5＋…＋（2n－1）＋[2（n＋1）－1]＋（2n－1）＋…＋5＋3＋1＝1＋3＋5＋…＋（2n－1）＋（2n＋1）＋（2n－1）＋…＋5＋3＋1＝n2＋2n＋1＋n2＝2n2＋2n＋1.

【中考预测】

一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图Z3－11方式进行拼接．

（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人

（2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张

图Z3－11

解：

（1）把4张餐桌拼起来能坐4×4＋2＝18（人）；

把8张餐桌拼起来能坐4×8＋2＝34（人）；

（2）设这样的餐桌需要x张，由题意，得4x＋2＝90，

解得x＝22.

答：

这样的餐桌需要22张．