高中数学专题09解密含参函数的单调性特色训练新人教A版选修.docx
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高中数学专题09解密含参函数的单调性特色训练新人教A版选修
2019-2020年高中数学专题09解密含参函数的单调性特色训练新人教A版选修
一、选择题
1．【湖北省重点高中联考协作体xx年秋季高三期中考】若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】C
]∴。
∴。
选C。
点睛：
函数的单调性与导函数的关系
（1）若在内，则在上单调递增（减）．
（2）在上单调递增（减）（）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．
（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．
2．【山东省桓台第二中学xx届高三9月月考】“”是“函数在区间内单调递减”的（）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，，令，当函数在区间内单调递减时，只需在区间恒成立，故即可，所以选B
3．【山东省桓台第二中学xx届高三9月月考】若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）.
A.B.C.D.
【答案】B
4．【河北省鸡泽县第一中学xx学年高一上学期第二次月考】若二次函数f（x）=x2+ax+4在区间（-∞，3）单调递减，则a的取值范围是（ ）
A.（-6，+∞）B.[-6，+∞）C.（-∞，-6）D.（-∞，-6]
【答案】D
【解析】二次函数的单调区间和函数的对称轴有关系，此函数的对称轴是，函数在上是减函数，故要求故
故结果为D.
二、填空题
5．【xx学年高中数学（苏教版）选修1－1阶段质量检测】若函数f（x）＝2x2－lnx在其定义域的一个子区间（k－1，k＋1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵f′（x）＝4x－＝，x>0，
∴当0时，f′（x）>0，f（x）为增函数，依题意得
∴1≤k<.
答案：
6．【xx学年高中数学（苏教版）选修1－1阶段质量检测】已知函数f（x）＝－x3＋ax2－x＋18在（－∞，＋∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题意得f′（x）＝－3x2＋2ax－1≤0在（－∞，＋∞）上恒成立，
因此Δ＝4a2－12≤0⇒－≤a≤，所以实数a的取值范围是．
答案：
7．【xx学年高中数学（苏教版）选修1－1阶段质量检测】若函数在（1，＋∞）上是增函数，则实数k的取值范围是________．
【答案】[－2，＋∞）
8．【河南省天一大联考xx届高三上学期阶段性测试】若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】在上恒成立，所以最大值
令，则，当时
点睛：
函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.
三、解答题
9．【甘肃省会宁县第一中学xx届高三上学期第三次月考】设为实数，函数
（1）求的单调区间与极值；
（2）求证：
当且时，
【答案】
（1）见解析；
（2）见解析
试题解析：
（1）解：
由
知，．
令，得.于是，当变化时，和的变化情况如下表：
0
+
单调递减
单调递增
故的单调递减区间是，单调递增区间是．在处取得极小值，极小值为．
（２）证明：
设
，于是
，由
（1）知，对任意,都有，所以在R内单调递增，于是，当时，对任意，都有，而，从而对任意，都有，即故
10．已知函数，且．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数有最值，写出的取值范围．（只需写出结论）
【答案】
（1）;
（2）详见解析;（3）
【解析】试题分析：
（Ⅰ）求导，利用导数的几何意义进行求解；（Ⅱ）求导，利用分类讨论思想讨论导函数的符号变换，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）根据前一问直接给出答案即可.
（Ⅱ）因为，所以.
当时，定义域为
.
且
故的单调递减区间为
……5分
当时，定义域为.当变化时，，
：
x
—
0
+
0
—
单调减
极小值
单调增
极大值
单调减
故的单调递减区间为，，
单调递增区间为．
综上所述，
当时，的单调递减区间为
；
当时，故的单调递减区间为，，
单调递增区间为．
（Ⅲ）
11．【河南省郑州市第一中学xx届高三上学期期中】已知函数
.
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）证明：
.
【答案】
（1）见解析；
（2）；（3）见解析.
试题解析：
（1）定义域为，
若，，在上单调递增
若，
，
所以，当时，，当时，
综上：
若，在上单调递增；
若，在上单调递增，在上单调递减
点睛：
（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；
（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.
12．【吉林省吉化一中、前郭五中等xx学年高二上学期期中】已知函数
.
（1）证明：
函数在区间上是减函数；
（2）当时，证明：
函数只有一个零点.
【答案】
（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】试题分析：
（1）只需证明f（x）的导函数恒成立，且不恒等于0.注意定义域和参数的范围。
（2）当时，，其定义域是，通过求导分析函数的单调性及极值可知函数f（x）的图像与x轴相切于（1,0）点，其余点均在x轴下方，所以只有一个零点。
试题解析：
（1）显然函数的定义域为.
∴
.
∵，，∴，，∴，
所以函数在上是减函数.
【点睛】
当在某个区间D上恒成立时，f（x）在区间D上单调递增，当在某个区间D上恒成立时，f（x）在区间D上单调递减。
求函数零点问题，一般利用导数分析函数单调性与极值等图像特征，再根据零点存在性定理分析函数零点个数。
13．已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）如果，在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅲ）
【解析】试题分析：
（Ⅰ）求出函数的导数，分别计算f
（1），f′
（1）的值，求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）如果在上恒成立，即在恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可
②当时，，得，
在区间上，，
在区间上，，
所以的单调递增区间为，
单调递减区间为；
（Ⅲ）如果在上恒成立，
即在恒成立，
令，，
，
令，解得：
，
令，解得：
，
故在递增，在递减，
故，
故．
点睛：
本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，构造函数并用导数求其最值是解答（Ⅲ）的关键.
14．已知，
（1）写出的定义域.
（2）求的单调区间.
【答案】
（1）
（2）见解析
【解析】试题分析：
（1）根据定义域求法即得
（2）求单调区间可通过解导函数大于零和小于零的不等式得到单调区间，但要注意分a大于零和小于零的情况
②当时，在上；在上
的递增区间为；递减区间为
15．【山东省桓台第二中学xx届高三9月月考】设
，.
（1）令，求的单调区间；
（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围.
【答案】
（1）见解析；
（2）.
【解析】试题分析：
（1）求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数，根据导函数大于零和小于零分别解出所对应的增减区间，但要含参问题时则要注意讨论，由，根据a的不同取值尽享讨论即可得出单调区间
（2）已知在处取得极大值，故.，然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在1处取得极大值即可得出正确a的取值范围
（2）由
（1）知，.
①当a时，单调递增.
所以当时，，单调递减.当时，，单调递增.
所以在处取得极小值，不合题意.
②当时，，由
（1）知在内单调递增，
可得当时，，时，，
所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意.
16．【四川省绵阳市xx届高三第一次诊断性考试】函数
.
（1）求的单调区间；
（2）若，求证：
.
【答案】（Ⅰ）a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．（Ⅱ）证明见解析．
【解析】试题分析：
（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；
（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.
试题解析：
（Ⅰ）
．
当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．
即在上单调递减；在上单调递增；
综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．
点睛：
本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.
17．【广东省兴宁市沐彬中学xx届高三上中段】若，
（1）当，求在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性。
【答案】
（1）；
（2）见解析
【解析】试题分析：
（1）先求定义域，当时，求出，得到切线斜率，求出切点坐标，然后求解曲线在点处的切线方程．
（1）
．对分类讨论：
当时，当时利用导数研究函数的单调性即可得出．
试题解析：
定义域为
（1），
，
切线方程为，即
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的切线、单调性，其中分类讨论思想方法、推理能力与计算能力是考查的重点
18．【xx－xx学年高中数学（苏教版）选修1－1课时跟踪训练】已知函数f（x）＝2ax－，x∈（0,1]．若f（x）在（0,1]上是增函数，求实数a的取值范围．
【答案】[－1，＋∞）
【解析】试题分析：
若f（x）在（0,1]上单调递增，则，即a≥－在x∈（0,1]上恒成立，令g（x）＝－，只需a≥g（x）max即可.
试题解析：
由已知得f′（x）＝2a＋，
∵f（x）在（0,1]上单调递增，
∴f′（x）≥0，即a≥－在x∈（0,1]上恒成立．
令g（x）＝－，而g（x）＝－在（0,1]上单调递增，
∴g（x）max＝g
（1）＝－1，∴a≥－1.
当a＝－1时，f′（x）＝－2＋.
对x∈（0,1]也有f′（x）≥0.
∴a＝－1时，f（x）在（0,1]上为增函数．
∴综上，f（x）在（0,1]上为增函数，实数a的取值范围是[－1，＋∞）．
点睛：
利用函数的导数研究函数的单调性有两种题型，一种是求单调区间，只需令导数大于0求增区间，令导数小于0求减区间；另一种是已知函数的单调性求参数，若已知函数单增，只需函数导数在区间上恒大于等于0即可，若已知函数单减，只需函数导数小于等于0即可.注意等号！
19．【xx－xx学年高中数学（苏教版）选修1－1课时跟踪训练】已知函数f（x）＝x3＋x2＋ax.讨论f（x）的单调性．
【答案】见解析
【解析】试题分析：
函数求导，根据导数大于0得增区间，导数小于0得减区间.
f′（x）<0，f（x）是减函数；
当x∈（－1＋，＋∞）时，
f′（x）>0，f（x）是增函数．
20．已知向量
，若函数在区间上是增函数，求的取值范围.
【答案】
【解析】试题分析：
本题可以先用数量积的运算计算出，在对的导数判断函数的单调性转化为在区间上恒成立，利用分离参数的思想即在区间上是恒成求出的最大值即可.
点睛：
导数是判断函数的单调性或者解决单调性的逆向问题很好的工具，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.
21．【四川省成都市龙泉第二中学xx届高三10月月考】已知，函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；
（3）在
（2）的条件下，求证：
【答案】
（1）在是增函数，是减函数；
（2）；（3）证明见解析.
【解析】试题分析：
（1）先求导，再分类讨论，分别令可得增区间，令可得得减区间；
（2）讨论两种情况，分别利用导数判断函数的单调性，以及结合函数的极值及简图即可求出的范围；（3）由，只要证明：
就可以得出结论，构造函数：
，利用导数研究函数的单调性即可证明.
试题解析：
（1）f（x）的定义域为（0，+∞），其导数f'（x）=﹣a．
①当a≤0时，f'（x）＞0，函数在（0，+∞）上是增函数；
②当a＞0时，在区间（0，）上，f'（x）＞0；在区间（，+∞）上，f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．
令F（a）=3﹣2lna﹣，则F'（x）=﹣=＞0，∴F（a）在（0，1）上单调递增，∴F（a）＜F
（1）=3﹣e2＜0，即f（）＜0，
∴a的取值范围是（0，1）．
（3）由
（2）可知函数f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．分析：
∵0，∴．只要证明：
f（）＞0就可以得出结论．
下面给出证明：
构造函数：
g（x）=f（﹣x）﹣f（x）=ln（﹣x）﹣a（﹣x）﹣（lnx﹣ax）（0＜x≤），则g'（x）=+2a=
，
函数g（x）在区间（0，]上为减函数．0＜x1，则g（x1）＞g（）=0，又f（x1）=0，
于是f（）=ln（）﹣a（）+1﹣f（x1）=g（x1）＞0．又f（x2）=0，
由
（1）可知，即．
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的零点、证明不等式，属于难题．利用导数研究函数的单调性的步骤：
①确定函数的定义域；②对求导；③令，在定义域内解不等式得的范围就是递增区间；令，在定义域内解不等式得的范围就是递减区间.
22．【河北省定州中学xx学年高二（承智班）上学期第一次月考】已知函数
，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）已知，若对任意，有，求实数的取值范围.
【答案】
（1）当或时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）.
【解析】试题分析：
（1）求出，讨论三种情况，，，分别令可得增区间，可得减区间；
（2）对任意，有等价于，分别利用导数研究函数的单调性，从而求出的最大值与的最小值，解不等式即可求得实数的取值范围.
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：
（1）只需；
（2），只需；（3），只需；（4），，.
2019-2020年高中数学专题09解密空间向量的运算技巧特色训练新人教A版选修
一、选择题
1．【吉林省吉化一中、前郭五中等xx学年高二上学期期中】已知，，，若且，则点的坐标为（）
A.B.或C.D.或
【答案】B
2．【吉林省吉化一中、前郭五中等xx学年高二上学期期中】已知空间上的两点，，以为体对角线构造一个正方体，则该正方体的体积为（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】∵，
∴
设正方体的棱长为，由题意可得，解得
∴正方体的体积为，故选D
3．【重庆市第一中学xx届高三上学期期中】已知直角坐标系中点，向量，，则点的坐标为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】∵向量，，
∴，又
∴
∴点的坐标为
故选：
C
4．【贵州省兴义市第八中学xx学年高二上学期期中】已知四棱锥中，，，，则点到底面的距离为（）
A.B.C.D.
【答案】D
5．【北京市第四中学（房山分校）xx学年高二上学期期中】若，，且，则（）．
A.，B.，C.，D.，
【答案】A
【解析】∵，，，
∴存在实数，使得，
可得
，
解得，，．
故选：
．
6．以下四组向量中，互相平行的有（）组．
（），．（），．
（），．（），．
A.一B.二C.三D.四
【答案】B
7．下列各组向量平行的是（）．
A.，B.，
C.，D.，
【答案】A
【解析】项，，，
，
即．
故选A.
8．【北京海淀北方交大附xx学年高二上学期期中】若为平行四边形，且，，，则顶点的坐标为（）．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】设，
∵
．
，
联立①②，
解出：
，，．
故选．
9．【福建省泉州市南安第一中学xx学年高一下学期第二次阶段考】如上图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量用基底，表示为（ ）
A.＋B.2－C.－2＋D.2＋
【答案】C
【解析】以向量的起点为原点，向量所在直线为x轴建立平面直角坐标系。
设正方形的边长为1，则
。
设，则
，
∴，解得，所以。
选C。
点睛：
由平面向量基本定理可知，在确定了平面的基底后，平面内的任一向量都可以用这组基底唯一表示，但并没有给出分解的方法。
常用的方法有两种：
（1）根据向量的线性运算，将已知向量向着基底转化；
（2）先确定向量和基底的坐标，根据待定系数法建立方程组，通过代数方法求解。
10．如图所示，已知，，三点不共线，为平面内一定点，为平面外任一点，则下列能表示向量的为（）.
A.B.
C.D.
【答案】D
11．【甘肃省临夏中学xx学年高一下学期第一次月考】点M（3，－3,1）关于xOz平面的对称点是（ ）
A.（－3,3，－1）B.（－3，－3，－1）
C.（3，－3，－1）D.（3,3,1）
【答案】D
【解析】由于点M（3，－3,1）关于xOz平面对称，所以该点的x，z坐标不变，即点M（3，－3,1）关于xOz平面的对称点是（3,3,1），应选答案D。
12．若，，且，则的值是（）
A.0B.1C.-2D.2
【答案】C
【解析】，,.
若，则.
即，解得.
故选C.
13．【江西省新余市xx学年高二下学期期末】已知向量
，则与的夹角为（）
A.0B.C.D.
【答案】C
【解析】由题设，故，应选答案C。
二、填空题
14．【吉林省吉化一中、前郭五中等xx学年高二上学期期中】空间直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则点的坐标为__________.
【答案】
【解析】由中点坐标公式可知，点点关于原点的对称点的坐标为，故答案为.
15．【四川省绵阳南山中学xx学年高二上学期期中】点关于坐标平面的对称点的坐标是________．
【答案】
16．【北京海淀中关村中学xx高二上学期期中】已知，平面与平面的法向量分别为，，且，，则__________.
【答案】3
【解析】∵，且平面与平面的法向量分别为，，
∴
，
解得：
．
17．如图所示的长方体中，，，，则的中点的坐标为__________，___________．
【答案】
18．【江西省景德镇市xx学年高一下学期期中】点在坐标平面xOz内的投影点坐标为______________；
【答案】
【解析】设所求的点为Q（x，y，z），
P、Q两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标为0，
即x=2，y=0，z=3，得Q坐标为（）
三、解答题
19．【北京西城44中xx学年高二上学期期中】若向量，，，求，以及的值．
【答案】
【解析】试题分析：
根据向量加法的坐标运算得，根据模长运算公式可得结果；根据数量积运算公式可得，根据向量夹角公式可得的值.
20．【北京海淀中关村中学xx高二上学期期中】已知向量，.
（1）计算和.
（2）求.
【答案】
（1）；.
（2）.
【解析】试题分析：
（1）由题意结合空间向量的运算法则可得.结合模长公式有
.
（2）首先求得向量夹角余弦值为，据此可知两向量的夹角.
试题解析：
（1）
.
.
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