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第四章刚体力学

一、计算题

1.如下图，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳索相联，绳索质量可

以忽视，它与定滑轮之间无滑动．假定定滑轮质量为

M、半径为R，其转动

R

惯量为1

MR2，滑轮轴圆滑．试求该物体由静止开始着落的过程中，着落

M

2

速度与时间的关系．

m

解：

依据牛顿运动定律和转动定律列方程

对物体：

－

＝

ma

①

mgT

TR=J

2分

对滑轮：

②

2

分

运动学关系：

a＝R

③

1

分

将①、②、③式联立得

a＝mg/（

m＋1M）

1

分

T

2

R

∵v0＝0，

M

∴

v＝at＝mgt/（

m＋1

M）

2

T

分

2

2.如下图，转轮A、B可分别独立地绕圆滑的固定轴O转动，它们的质量

分别为m＝10kg和m＝20kg，半径分别为r

和r

．现使劲f

和f

分别向

A

B

A

B

A

B

下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动．为使

A、B

轮边沿处的切向加

速度同样，相应的拉力

f

A、

B之比应为多少？

（此中

、

轮绕

O

轴转动时的

f

AB

a

mg

BrB

A

rA

转动惯量分别为JA

1mArA2和JB

1mBrB2）

2

2

解：

依据转动定律

fArA=JAA

此中JA

1mArA2，且

fBrB=JBB

2

①1

②1

fBfA

分

分

此中JB

1mBrB2

．要使A、B轮边上的切向加快度同样，应有

2

a=rAA=rBB

③

1

分

由①、②式，有

fA

JArBA

mArAA

④

fB

JBrAB

mBrBB

由③式有

A/

B=

rB/

rA

将上式代入④式，得

f

A

/f

B

=m/

m=

1

2

分

A

B

2

3.一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图

所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为

r，整个装置架在圆滑的固定轴承之

r

上．当物体从静止开释后，在时间

t

内降落了一段距离

S．试求整个轮轴的转

O

动惯量（用、

、

t

和

S

表示）．

mr

解：

设绳索对物体

（或绳索对轮轴）的拉力为T，则依据牛顿运动定律和转动定

律得：

m

mg-T＝ma

①

2

分

Tr＝J

②

2

分

由运动学关系有：

2

a=r

③

2

分

由①、②、③式解得：

J

＝（

－

）

r

/

a

④

m

ga

又依据已知条件

v0＝0

∴S＝1

at

2

a＝

S

2

⑤2

分将⑤

，

t

2

2/

T

式代入④式得：

J＝mr2（gt

2

r

－1）

2

分

a

2S

Tmg

4.质量为5kg的一桶水悬于绕在辘轳上的轻绳的下端，辘轳可

视为一质量为10kg的圆柱体．桶从井口由静止开释，求桶着落过程中绳中的张力．辘轳绕轴转动时的转动惯量为1MR2，此中M和R分别为辘轳的质量和半径，轴上摩擦忽视不

2

计．

解：

对水桶和圆柱形辘轳分别用牛顿运动定律和转动定律列方程

mg－T＝ma

①

1

分

TR＝J

②

1

分

a＝R

③

1

分

由此可得

T＝m（g－a）＝mgTR/J

mR2

mg

T

那么

T1

M

R

J

1

2

Tmg

将J=

MR代入上式，得

2

mMg

T

分

＝N2

M2m

5.一长为1m的平均直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平圆滑固定轴转动．抬起另一端使

棒向上与水平面成60°，而后无初转速地将棒开释．已知棒对轴的转动惯量为1ml2，其

3

中m和l分别为棒的质量和长度．求：

（1）松手时棒的角加快度；

（2）棒转到水平地点时的角加快度．

l

mg

解：

设棒的质量为

m，当棒与水平面成

60°角并开始着落时，依据转

O

60°

动定律

M=J

1

分

此中

M

1mglsin30

mgl/4

1

分

2

于是

M

3g

7.35rad/s2

1

分

J

4l

当棒转动到水平地点时，

M=1mgl

1

分

2

那么

M

3g

14.7rad/s2

1

分

J

2l

6.一轴承圆滑的定滑轮，质量为M＝2.00kg，半径为R＝0.100m，一根

0

不可以伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m＝5.00kg

的物体，如下图．已知定滑轮的转动惯量为

J＝1MR2，其初角速度

R

0

＝rad/s

2

M

，方向垂直纸面向里．求：

（1）

定滑轮的角加快度的大小和方向；

（2）

定滑轮的角速度变化到

＝0时，物体上涨的高度；

（3）当物体回到本来地点时，定滑轮的角速度的大小和方向．

m

解：

（1）∵

mg－T＝ma

1

分

TR＝J

2

分

a＝R

1

分

∴

=mgR/（

2

mgR

2mg

mR＋J）

1

2m

MR

mR

2

2

MR

＝rad/s2

2

1

分

方向垂直纸面向外．

1

分

（2）

∵

2

2

2

0

T

2

当

＝0

时，

0

0.612rad

a

2

T

mg

物体上涨的高度h=R=×10

-2

m2

分

（3）

2

rad/s

方向垂直纸面向外.

2分

7.一质量为M＝15kg、半径为R＝0.30m的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转

动（转动惯量

＝

1

2

）

m

J

MR

．现以一不可以伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量

2

＝

8.0kg的物体．不计圆柱体与轴之间的摩擦，求：

（1）物体自静止着落，5s内降落的距离；

（2）绳中的张力．

解：

J＝

1

MR

2

2

F

2

＝0.675kg·m

mg－T＝ma

1

T

∵

分

R

＝

J

2

分

a

TR

a＝R

1

分

T

mg

∴

2

2

＝5.06m/s

2

1

分

a＝mgR/（mR+J）

Mg

所以

（1）

着落距离

h＝1at2

＝63.3m

2

2分

（2）

张力

T

＝（

－）＝N

1

分

mg

a

8.一半径为25cm的圆柱体，可绕与此中心轴线重合的圆滑固定轴转动．圆柱体上绕上绳

子．圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以

1m/s2的加快度运动．绳与圆柱表面无

相对滑动．试计算在t=5s时

（1）

圆柱体的角加快度，

（2）

圆柱体的角速度，

2

（3）

假如圆柱体对转轴的转动惯量为

应加的

2kg·m，那么要保持上述角加快度不变

拉力为多少？

解：

（1）

圆柱体的角加快度

2

＝a/

r＝4rad/s

2

分

（2）

依据t

0t，本题中

0

=0，则

有

t=

t

那么圆柱体的角速度

t5

tt5

20rad/s

1

分

（3）

依据转动定律

fr=J

则

f=J

/r=32N

2

分

9.一轴承圆滑的定滑轮，质量为

M＝2.00kg，半径为R＝0.100m，一根

0

不可以伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为

m＝5.00kg

R

的物体，如下图．已知定滑轮的转动惯量为

J＝1MR2，其初角速度

0

M

＝rad/s

2

，方向垂直纸面向里．求：

（1）

定滑轮的角加快度的大小和方向；

（2）

定滑轮的角速度变化到

＝0时，物体上涨的高度；

（3）

当物体回到本来地点时，定滑轮的角速度的大小和方向．

m

解：

（1）

∵

mg－T＝ma

1

分

TR＝J

2

分

a＝R

1

分

∴

=mgR/（

2

mgR

2mg

mR＋J）

1

2m

MR

mR

2

2

MR

2

方向垂直纸面向外．

（2）

∵

2

2

0

2

＝rad/s2

1

分

1

分

2

T

当

＝0时，

0

0.612rad

2

a

物体上涨的高度h=R

=×10

-2

m2

分

T

mg

（3）

2

rad/s

方向垂直纸面向外.

2分

10.一质量为M＝15kg、半径为R＝0.30m的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转

动（转动惯量J＝1MR2）．现以一不可以伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量m＝

2

8.0kg的物体．不计圆柱体与轴之间的摩擦，求：

（1）物体自静止着落，5s内降落的距离；

（2）绳中的张力．

解：

J＝

1

2

2

F

MR

＝0.675kg·m

2

mg－T＝ma

1

T

∵

分

R

＝

J

2

分

a

TR

a＝R

1

分

T

mg

∴

2

2

＝5.06m/s

2

1

分

a＝mgR/（

mR+J）

Mg

所以

（1）着落距离

h＝1

at2＝63.3m

2

分

2

（2）张力

T＝m（g－a）＝N

1

分

11.一半径为25cm的圆柱体，可绕与此中心轴线重合的圆滑固定轴转动．圆柱体上绕上绳

子．圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以1m/s2的加快度运动．绳与圆柱表面无

相对滑动．试计算在t=5s时

（1）圆柱体的角加快度，

（2）圆柱体的角速度，

（3）

假如圆柱体对转轴的转动惯量为

2

应加的

2kg·m，那么要保持上述角加快度不变

拉力为多少？

解：

（1）

圆柱体的角加快度

＝a/

2

2

分

r＝4rad/s

（2）

依据

t

0

t，本题中

0=0，则

有

t=

t

那么圆柱体的角速度

t5

tt5

20rad/s

1

分

（3）

依据转动定律

fr

=J

则

f=J/

r=32N

2

分

12.长为L的梯子斜靠在圆滑的墙上高为

h的地方，梯子和地面间的

静摩擦系数为

，若梯子的重量忽视，试问人爬到离地面多高的地方，

h

L

梯子就会滑倒下来？

解：

当人爬到离地面

x高度处梯子刚要滑下，此时梯子与地面间为最

大静摩擦，仍处于均衡状态

（不稳固的）

．

1

分

N1－f＝0，N2－P＝0

1

分

N1

1

－

·

ctg

＝0

1

分

Px

Nh

f

N2h

＝

PN2

x

1分

R

Rf

R

解得

x

htg

h2/L2

h2

1分

13.一转动惯量为J的圆环绕一固定轴转动，

开初角速度为

．设它所受阻力矩与转动角速

0

度成正比，即

M＝－k

（

k为正的常数），求圆盘的角速度从

0变成1

0时所需的时间．

2

解：

根据转动定律：

-k

∴

Jd/dt=

d

kdt

2

分

J

两边积分：

0/2

1tk

ddt

0

0

J

得

ln2=kt/

J

∴

t＝（Jln2）/

k

3

分

14.一圆柱体截面半径为

r

，重为

，搁置如下图．它与墙面和地

F

P

面之间的静摩擦系数均为

1．若对圆柱体施以向下的力＝2

P

可使R

3

F

d

r

A

它恰好要反时针转动，求

R

O

P

（1）作用于A点的正压力和摩擦力，

R

B

（2）力F与P之间的垂直距离d．

解：

设正压力

AB，摩擦力

f

A，

B如图．依据力的均衡，有

N、N

f

F

fA＋NB=F+P=3P

①

1

分

fA

N

=f

B

②

1分

d

r

A

依据力矩均衡，有

A

P

R

Fd=（fA+fB）r

③

2

分

NA

NB

1

R

刚要转动有

fA

NA

④

R

3

fB

B

1NB

fB

⑤

1分

3

N=，f

=

2分

（1）把④及②、⑤代入①可求得

A

A

（2）

由③可求得

d=

r

1

分

15.一轻绳越过两个质量均为m、半径均为r的平均圆盘状定滑轮，绳的两头分别挂着质量为m和2m的重物，如下图．绳与滑轮间无相

对滑动，滑轮轴圆滑．两个定滑轮的转动惯量均为

1mr2．将由两个

2

m,r

m,r

定滑轮以及质量为

m和2m的重物构成的系统从静止开释，求两滑轮

之间绳内的张力．

m

解：

受力剖析如下图．

2

分

2m

2

－1＝2

1

分

mgTma

1

T－mg＝ma

分