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第四章刚体力学
一、计算题
1.如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，以忽略，它与定滑轮之间无滑动•假设定滑轮质量为M半径为
12
惯量为-MR2，滑轮轴光滑•试求该物体由静止开始下落的过程中,
2
速度与时间的关系.
解：
根据牛顿运动定律和转动定律列方程
对物体：
mg-T
=ma
对滑轮：
运动学关系：
将①、②、③式联立得
TR=J
a=R
Vo=0,
1
a=mg/（m^-M）
2
1
v=at=mgt/（m^—M
2
O转动，
现用力fA和fB分别向A、B轮边缘处的切向加
2.如图所示，转轮A、B可分别独立地绕光滑的固定轴分别为m=10kg和m=20kg，半径分别为「a和rb.下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动•为使速度相同，相应的拉力fA、fB之比应为多少？
（其中A、B轮绕O轴转动时的
11
转动惯量分别为JA1mArA和JB1mBre）
22
fArA=JAA
它们的质量
解：
根据转动定律
12冃mA「A，且
2
12
mBg•要使A、
2
其中Ja
其中Jb
由①、②式，有
由③式有
将上式代入④式，得
fB「B=JBB
B轮边上的切向加速度相同，应有
a=ra
AJArBA
BJB「a
A/
mA「AA
mB「BB
rB/ra
3.一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，所示•轴水平且垂直于轮轴面，其半径为上•当物体从静止释放后，在时间动惯量（用mr、t和S表示）•解：
设绳子对物体（或绳子对轮轴律得：
1
2
绳另一端绕在一轮轴的轴上，
r，整个装置架在光滑的固定轴承之
fb=mA/mB=
t内下降了一段距离S.试求整个轮轴的转
）的拉力为T,则根据牛顿运动定律和转动定
mgT=ma
由运动学关系有:
由①、②、③式解得：
Tr=J
a=r
J=mg-a）r2/a
如图
分
2
又根据已知条件
S=-at2，
2
Vo=0
a=2S/t
2分将⑤
式代入④式得:
J=mr（匹-1）
2S
TA
mg北
的一桶水悬于绕在辘轳上的轻绳的下端，辘轳可
10kg的圆柱体.桶从井口由静止释放，求桶下落过程中绳中的张力.辘轳
12
绕轴转动时的转动惯量为MR2，其中M和R分别为辘轳的质量和半径，轴上摩擦忽略不
2
4.质量为5kg
视为一质量为
计.
解：
对水桶和圆柱形辘轳分别用牛顿运动定律和转动定律列方程mg-T=ma
TR=J
a=R
由此可得
那么
T=m（g-a）=mgTR
T1座
J
mg
将j=-mR代入上式，得
2
mg屮
mMg
M2m
5.一长为1m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动•抬起另一端使
棒向上与水平面成60°,然后无初转速地将棒释放.已知棒对轴的转动惯量为中m和I分别为棒的质量和长度.求：
（1）放手时棒的角加速度；
（2）棒转到水平位置时的角加速度.
〔ml2,其
动定律
M=J
1
其中
1
Mmglsin30mgl/4
1
于是
—3g7.35rad/s2
J4I
1
解：
设棒的质量为m当棒与水平面成60°角并开始下落时，根据转
1
当棒转动到水平位置时，M=—mgl
2
1
那么g14.7rad/s
1
J2I
6.一轴承光滑的定滑轮，质量为M=2.00kg，半径为R=0.100m，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为仆5.00kg
12
的物体，如图所示.已知定滑轮的转动惯量为J=MR，其初角速度°
2
=rad/s，方向垂直纸面向里.求：
（1）定滑轮的角加速度的大小和方向；
（2）定滑轮的角速度变化到=0时，物体上升的高度；
（3）当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向.
解：
（1）
=mgR（
方向垂直纸面向外.
..2
=0时,
物体上升的高度
ml^J）
mR
=rad/s2
2
0
2
0
2
2
h=R=x10m
0.612rad
J2
方向垂直纸面向外.
rad/s
mg-T=maTR=Ja=RmgR
^MR22
1
2
1
2mg
2mMR
TA
分分
mg
7.一质量为M=15kg、半径为R=0.30m的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转
12
动（转动惯量J=-MR2）.现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量2
的物体.不计圆柱体与轴之间的摩擦，求：
物体自静止下落，5s内下降的距离；绳中的张力.
122J=MR=0.675kg•m
2
8.0kg
（1）
（2）
解:
mg-T=ma
TR=Ja=Ra=mgR/（mR+J）=5.06m/
m=
mg
1at2=63.3m
2
T=mg—a）=N
8.一半径为25cm的圆柱体，可绕与其中心轴线重合的光滑固定轴转动.
子.圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以1m/s2的加速度运动.绳与圆柱表面无
相对滑动.试计算在t=5s时
（1）圆柱体的角加速度，
（2）圆柱体的角速度，
（3）如果圆柱体对转轴的转动惯量为2kg•吊，那么要保持上述角加速度不变，应加的
拉力为多少?
解：
（1）圆柱体的角加速度
=a/
r=4rad/s2
（2）
根据t0t，此题中
0=0，贝U
有
t
=t
那么圆柱体的角速度
t5
tt520rad/s
（3）
根据转动定律
fr=J
则
f=J/r=32N
9.一轴承光滑的定滑轮，质量为M=2.00kg，半径为R=0.100m，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为仆5.00kg
1
的物体，如图所示.已知定滑轮的转动惯量为J=MR2，其初角速度°
2
=rad/s，方向垂直纸面向里.求：
（1）定滑轮的角加速度的大小和方向；
（2）
定滑轮的角速度变化到=0时，物体上升的高度；
（3）当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向.
解：
⑴
mg-T=ma
TR=Ja=R
（3）2rad/s
方向垂直纸面向外.
10.一质量为M=15kg、半径为R=0.30m的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转
12
动（转动惯量J=-MR）.现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量m=
2
8.0kg的物体.不计圆柱体与轴之间的摩擦，求：
（1）物体自静止下落，5s内下降的距离；
（2）绳中的张力.
解:
122
J=MR=0.675kg•m2
mg-T=ma
TR=J2
a=mgR/（
a=R
mR+J）=5.06m/s
tA
□|a
『mg
因此
（1）下落距离
（2）张力
12
h=at=63.3m
2
t=mg-a）=n
11.一半径为25cm的圆柱体，可绕与其中心轴线重合的光滑固定轴转动.圆柱体上绕上绳子•圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以1m/s2的加速度运动•绳与圆柱表面无
相对滑动•试计算在t=5s时
（1）
（2）
⑶
圆柱体的角加速度，圆柱体的角速度，如果圆柱体对转轴的转动惯量为
2kg•m,那么要保持上述角加速度不变
应加的
拉力为多少？
解：
（1）圆柱体的角加速度
=a/
根据t0t，此题中
那么圆柱体的角速度
根据转动定律
2
r=4rad/s
0=0，贝U
:
t
t七520rad/s
fr=J
f=J/r=32N
h的地方，梯子和地面间的试问人爬到离地面多高的地方，
12.长为L的梯子斜靠在光滑的墙上高为静摩擦系数为，若梯子的重量忽略，梯子就会滑倒下来？
解：
当人爬到离地面x高度处梯子刚要滑下，此时梯子与地面间为最大静摩擦，仍处于平衡状态（不稳定的）.
1
N—f=0,Nh-Px-ctg
解得
N2-P
=0
htg
13.一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动,
度成正比，即Mh-k（k为正的常数），
解：
根据转动定律：
-k
两边积分:
0/21
d
0
分
分
分
=N1分
2
起初角速度为
h2
1
求圆盘的角速度从
-^dt
J
tk
-dt
0J
kt/J
ln2=
t=（JIn2）/k
Ni
A
N2
0.设它所受阻力矩与转动角速
1
0变为0时所需的时间.
2
Jd
/dt
14.
一圆柱体截面半径为r，重为P,放置如图所示.它与墙面和地
1
面之间的静摩擦系数均为—•若对圆柱体施以向下的力F=2P可使
3
它刚好要反时针转动，求
（1）作用于A点的正压力和摩擦力，⑵力F与P之间的垂直距离d.
2、NB,摩擦力fA,fB如图•根据力的平衡,
fa+NB=F+P=3P
NA=fb
有
Fd=（fa+fb）r
3nb
⑤代入①可求得
d=r
15.一轻绳跨过两个质量均为m半径均为r的均匀圆盘状定滑轮，绳
1
2
T1r—Tr=mr
2
TT12
Tr—Tar=mr
2
a=r
16.质量分别为m和2m半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所示.求盘的角加速度的大小.
17.
质量m^1.1kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的
12
水平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量J=—mr2（r为盘的半径）.圆盘
2
边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m=1.0kg的物体，如图所示.起初
在圆盘上加一恒力矩使物体以速率vo=0.6m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动.
解：
撤去外加力矩后受力分析如图所示.
mg-T=ima1
a=r
1
a=mgr/（mr+
J/r）
代入J=1mr2,
2
m1g
|=ms
1
m-im
2
vo-at=0t=vo/a=s
2
2分
2
分
1
分
18.一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的半径为R质量为M/
4,均匀分布在其边缘上.绳子的A端有一质量为M的人抓住了绳端，
1
而在绳的另一端B系了一质量为丄M的重物，如图•设人从静止开
2
始相对于绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上
升的加速度？
（已知滑轮对通过滑轮中心且垂直于轮面的轴的转动惯量J=MR/4）
解：
受力分析如图所示.
设重物的对地加速度为a,向上.则绳的A端对地有加速度a向
T2
下，人相对于绳虽为匀速向上，但相对于地其加速度仍为a向下.
2分
19.如图所示，设两重物的质量分别为m和m,且m>m,定滑轮
的半径为r,对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计•设开始时系统静止，试求t时刻滑轮的角速度.
解：
各物体的受力情况如图所示.
由转动定律、牛顿第二定律及运动学方程，可列出以下联立方程:
1
「R=J11=M
2
12
T?
r—*r=J22=M1r
2
me—T2=ma,a=R1=r
mg
1R2
=2ah
方程各1
分共5分
求解联立方程，得a-
1-M1M2
2
v、2ah=2m/s
T2=mg—a）=58N
1
T1=M1a=48N
2
m/s
N1
Mig
T1
T2*
2
V
mg
21.两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起，
圆盘的半径为r，质量为m大圆盘的半径r=2r,质量m=2m合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴0转动，对0轴
的转动惯量J=9mr2/2.两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和B,如图所示•这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳的长度不变.已知r=10cm.求：
（1）
（2）
构成一个组合轮.
组合轮的角加速度；
当物体A上升h=40cm时，组合轮的角速度解：
（1）
各物体受力情况如图.
图2分
T—mg=ma
1
分
mg-T=ma
1
分
T（2r）—Tr=9mr2/2
1
分
a=r
1
分
a=（2r）
1
分
1
-2
由上述方程组解得：
=2g/（19r）=rad•s设为组合轮转过的角度，则
=h/r
2=2
所以,
1/2■-1
=（2h/r）=rad•s
at
Al
A
mg
R
V
mg
22.物体A和B叠放在水平桌面上，由跨过定滑轮的轻质细绳相互连接，如图所示.今用大小为F的水平力拉A.设A:
■
B和滑轮的质量都为m滑轮的半径为R,对轴的转动惯量J忿宓宓宓阮宓宓宓亦
12
=-mR.AB之间、A与桌面之间、滑轮与其轴之间的摩擦都可以忽略不计，绳与滑轮之
2
间无相对的滑动且绳不可伸长.已知F=10N,m=8.0kg,R=0.050m.求：
（1）滑轮的角加速度；
（2）物体A与滑轮之间的绳中的张力；
（3）物体B与滑轮之间的绳中的张力.
解：
各物体受力情况如图.
F—T=ma
T=ma
12
（TT）R=—mR21
2
a=R1
由上述方程组解得：
-2
=2F/（5mR=10rad•s2T=3F/5=N1
T=2F/5=N1
24.
t=0
求:
一质量m=6.00kg、长I=1.00m的匀质棒，放
在水平桌面上，可绕通过其中心的竖直固定轴转动，对轴的转动惯量J=ml2/12.
时棒的角速度o=rad•s1.由于受到恒定的阻力矩的作用，t=20s时，棒停止运动.
（1）棒的角加速度的大小;⑵棒所受阻力矩的大小;
（3）从t=
=0至Ut=10s
时间内棒转过的角度.
解:
（1）0=
0+t
=——0
/t=-rad•s-2
2
分
（2）M=ml2
/12=-N•m
2
分
（3）10
41
=0t+
2
t=75rad
1
分
25.如图所示的阿特伍德机装置中，滑轮和绳子间没有滑动且绳子不可以伸长，轴与轮间有阻力矩，求滑轮两边绳子中的张力•已知m=20kg,
m=10kg.滑轮质量为m=5kg.滑轮半径为r=0.2m.滑轮可视为均匀圆盘，阻力矩M=N•m已知圆盘对过其中心且与盘面垂直的轴的转动
1惯量为—m3r2.
2
解：
对两物体分别应用牛顿第二定律（见图），则有
mg—T=ma
T2
对滑轮应用转动定律，则有
T2rMf
对轮缘上任一点，有
又：
Ti=Ti,
则联立上面五个式子可以解出
a=
T2=T2
migrm2gra
1
m1rm2r-m3r
T=mg—ma=156N
T?
=mg—ma=118N
Mf
=2m/s
1
2
2
m1g
m2g
1分
26.如图所示，一半径为R的匀质小木球固结在一长度为I的匀质细棒的下端，且可绕水平光滑固定轴o转动.今有一质量为m速度为v0的子弹，沿着与水平面成角的方向射向球心，且嵌于球心.已知小木球、细棒对通过o的水平轴的转动惯量的总和为丄求子弹嵌入球心后系统的共同角速度.
解：
选子弹、细棒、小木球为系统.子弹射入时，系统所受合外力
矩为零，系统
对转轴的角动量守恒.2
2mvo（R+I）cos=[J+m（R+I）]
mv0RlcosJmRl2
27.如图所示，一半径为R质量为m的水平圆台，正以角速度
0绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量J=....
】mR2.台上原站有2人，质量各等于转台质量的一半，一人R^2y
21〔0B/A
站于台边A处，另一人站于距台中心—R的B处.今A处的人飞.,..比f
相对于圆台以速率v顺着圆台转向沿圆周走动，同时B处的人
相对于圆台以速率2v逆圆台转向沿圆周走动.求圆台这时的角
速度.
29.有一质量为m、长为I的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点0且与桌面垂直
的固定光滑轴转动•另有一水平运动的质量为m的小滑块，
从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短.已
知小滑块在碰撞前后的速度分别为v1和v2，如图所示.求碰
撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间.（已知棒
绕0点的转动惯量J-m112）
3
解：
对棒和滑块系统，在碰撞过程中，由于碰撞时间极短，所以棒所受的摩擦力
矩<<滑块的冲力矩.故可认为合外力矩为零，因而系统的角动量守恒，艮卩1分
-2mv-l=-mvd+m1I①3分
3
碰后棒在转动过程中所受的摩擦力矩为
m2
V2
俯视图
mi
l
Mf
'g^xdx-m1gl
0I2
②
2分
由角动量定理
t12
Mfdt01mJ2
03
③
2分
由①、②和③解得
v1v2t2m2」2
2
分
m-g
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