高中数学 等差数列和等比数列竞赛试题 新人教A版必修5.docx
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高中数学等差数列和等比数列竞赛试题新人教A版必修5
等差数列和等比数列
知识点归纳
1、等差数列:
(1)、定义:
;
(2)、通项公式:
;
(3)、前项和公式:
;
(4)、任意两项有;
(5)、对于任意正整数.若;则;
(6)、若均是等差数列,则也是等差数列.()
2、等比数列:
(1)、定义:
;
(2)、通项公式:
;
(3)、前项和公式:
;
(4)、任意两项有;
(5):
对于任意正整数,若,则;
(6)、无穷递缩等比数列所有项和公式:
.
二.数列的求和
1、等差数列的前n项和公式.等比数列的前n项和公式:
Sn=,Sn=;Sn=(d=0)
当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0),Sn=na1是关于n的正比例式;当q=1时,Sn=na1(是关于n的正比例式);当q≠1时,Sn=Sn=
2、基本公式法:
等差、等比数列的前n项和公式、
3、拆项法求数列的和,如an=2n+3n
4、错位相减法求和,如an=(2n-1)2n
(非常数列的等差数列与等比数列的积的形式)
5、分裂项法求和,如an=1/n(n+1)
(分子为非零常数,分母为非常数列的等差数列的两项积的形式)
6反序相加法求和,如an=
例题讲解:
1、删去正整数数列1,2,3,中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第2003项是
A.2046B.2047C.2048D.2049
2、已知数列,,,,,…,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前项之和等于
A.B. C. D.
3、一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数字之和,最后一行仅有一个数,第一行是前100个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是____。
4、等比数列,,的公比是___________.
5、设数列的前项和为,则满足不等式的最小整数是_________________.
6、在数列中,,,设为数列的前项和,则.
7、已知数列满足关系式
,则的值是_____________。
8、设数列的前项的和,
(Ⅰ)、求首项与通项;
(Ⅱ)、设,,证明:
9、数列为等差数列,为正整数,其前项和为,数列为等比数列,且,数列是公比为64的等比数列,.
(1)求;
(2)求证.
10、设为实数,是方程的两个实根,数列满足,,(…).
(1)证明:
,;
(2)求数列的通项公式;
(3)若,,求的前项和.
11、已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)(n∈N)
顺次为一次函数图象上的点,点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)(n∈N)顺次为x轴正半轴上的点,其中x1=a0<a<1),对于任意n∈N,点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形。
⑴求{yn}的通项公式,且证明{yn}是等差数列;
⑵试判断xn+2-xn是否为同一常数(不必证明),并求出数列{xn}的通项公式;
⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中,是否存在直角三角形?
若有,求出此时a值;若不存在,请说明理由。
练习:
1、已知数列满足且,其前项之和为,则满足不等式的最小整数是
A.5B.6C.7D.8
2、设等差数列满足,且,为其前项之和,则中最大的是
A.B.C.D.
3、等比数列中,,公比,用表示它的前项之积,则中最大的是
A.B.C.D.
4、已知数列满足,,记,则下列结论正确的是
A.B.
C.D.
5、给定公比为的等比数列,
设,,,,
则数列
A.是等差数列车员B.是公比为的等比数列
C.是公比为的等比数列D.既非等差数列又非等比数列
6、设数列满足,,且对任意自然数,都有,又,
则的值是.
7、各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有项.
8、已知an=(n=1,2,…),则S99=a1+a2+…+a99=
9、已知数列,,前n项部分和满足,则.
解答题:
10、个正数排成几行几列:
其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知,,,试求的值.
11、设数列的前n项和为,点均在函数y=3x-2的图像上。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m。
12、数列
(Ⅰ)求并求数列的通项公式;
(Ⅱ)设证明:
当
13、已知为实数,数列满足:
,().
(1)当时,求证:
;
(2)证明:
存在正整数,使成立;
(3)当时,设是数列的前项和,是否存在实数及正整数,使得?
若存在,求出与的值,若不存在,请说明理由.
答案:
1、C在数列1,2,3,,2003中,删去了44个()完全平方数,现给该数列再补上44项,得.所补的44个数中还有1个()完全平方数,把它删除,再补上一项2048
2、D
3、
4、_
5、答案:
易知数列是首项是,公比是的等比数列,∴,
于是,
∵,,故最小整数是7.
6、
代入可得.
7、解:
设即故数列是公比为2的等比数列,
.
8、解:
(I),解得:
所以数列是公比为4的等比数列
所以:
得:
(其中n为正整数)
(II)
所以:
9、解:
(1)设的公差为,的公比为,则为正整数,
,
依题意有①
由知为正有理数,故为的因子之一,
解①得
故
(2)
∴
10、【解析】
(1)由求根公式,不妨设,得
(2)设,则,由得,消去,得,是方程的根,
由题意可知,
①当时,此时方程组的解记为
即、分别是公比为、的等比数列,由等比数列性质可得,,
两式相减,得
,,
,
,即,
②当时,即方程有重根,,即,得,不妨设,由①可知
,,
即,等式两边同时除以,得,
即
数列是以1为公差的等差数列,
综上所述,
(3)把,代入,得,解得
11、解:
(1)(nN),yn+1-yn=,
∴{yn}为等差数列
(2)xn+1-xn=2为常数(6)∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6,,…,x2n都是公差为2的等差数列,
x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a,x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a,
∴xn=
(3)要使AnBnAn+1为直角三形,则
|AnAn+1|=2=2()xn+1-xn=2()
当n为奇数时,xn+1=n+1-a,xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).
2(1-a)=2()a=(n为奇数,0<a<1)(*)
取n=1,得a=,取n=3,得a=,若n≥5,则(*)无解;
当偶数时,xn+1=n+a,xn=n-a,∴xn+1-xn=2a.
∴2a=2()a=(n为偶数,0<a<1)(*),
取n=2,得a=,若n≥4,则(*)无解.
综上可知,存在直角三形,此时a的值为、、.
练习答案:
1、C由递推式变形得:
令,则且-1=8.得是首项为8,公比为的等比数列,于是,得,
所以,得,所以满足这个不等式的最小整数.
2、C设等差数列的公差为,由,
得,即,所以,则,,最大.
3、C由已知,
得,知,,为正数,为负数,且,
得最大.
4、A由,
所以,即是周期为6的数列,得,又+
,
得。
5、C由题设,
则.
6、200由①
②
两式相减得:
又,有;,由①得,所以,从而,于是.
7、8设是公差为4的等差数列,则,由已知:
+.此关于为未知数的一元二次不等式有解,应有,
有,得,又,所以的最大值是8,即满足题设的数列至多有8项.
8、an+a100-n=+=,
所以S99=
9、解:
.
解答题:
10、(分析)设,第一行数的公差为,第一列数的公比为,可得
解:
设第一行数列公差为,各列数列的公比为,则第四行数列公差是,于是可得
解此方程组,得,由于所给个数都是正数,必有,从而有,
于是对任意的,有.得
又
两式相减后得:
所以.
11、解:
(I)依题意得,即。
当n≥2时,;
当n=1时,×-2×1-1-6×1-5;所以。
(II)由(I)得,
=。
因此,使得﹤成立的m必须满足≤,即m≥10,故满足要求的最小整数m为10。
12、解:
(Ⅰ)因为
所以
一般地,当时,
=,即
所以数列是首项为1、公差为1的等差数列,因此
当时,
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列,因此
故数列的通项公式为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,①
②
①-②得,
所以要证明当时,成立,只需证明当时,成立.
13、证明:
(1)当时,
,∴;
当时,,,∴;
于是,当时,.
(2)(i)假设对所有的,,则对所有的,有,知数列是首项为,公差为的等差数列,
∴,∵为常数,故对于充分大的,会有,这与假设矛盾!
∴满足的正整数存在;
(ii)假设对所有的,,则对所有的,有,则,知数列是首项为,公比为的等比数列,∴,即,
显然,当,为奇数时,;当,
为偶数时,;均与假设矛盾!
由以上可知,满足的正整数存在.
(3)下面对分情况讨论:
①当时,
,,,
,,…
此时,,不存在实数及正整数,
使得.
②当时,,,,,…
此时,,令,得,
∴存在,,使得.
③当时,,,,
…此时,,不存在实数及正整数,使得.
④当时,,…=2.
此时,,不存在正整数,使得.
综上所述:
存在,,使得.