第八章振动和波动规律.docx
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第八章振动和波动规律
第八章振动和波动规律
第一单元机械振动
教学内参
教学总体思路
本单元的核心内容是简谐运动规律的分析和理解.要启发、引导学生把物理情景和振动图象结合起来，善于利用图象揭示和展现振动过程，善于利用图象分析、解决振动问题.
高考动态分析
本单元内容是历年高考必考内容，有时单独命题，但绝大多数是综合振动与波这两种既相联系又相区别的运动命题，以考查基本概念、基本规律为主，涉及振幅、周期、对称性等知识点，有时还渗透了作图的思想.该单元内容的考题基本都是选择题或填空题.2004年江苏卷有一计算题.
知识扫描
一、简谐运动及相关概念
1.回复力：
使物体回到平衡位置的力，是根据力的效果命名的.
2.简谐运动：
物体在跟偏离平衡位置的位移的大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动.表达式为F=-kx.
3.描述简谐运动的物理量：
（1）振幅A：
振动物体离开平衡位置的最大距离，A是描述振动强弱的物理量，是标量.
（2）周期T：
是描述振动快慢的物理量.周期由振动系统本身性质决定，叫固有周期，与振幅无关.
（3）频率f:
f与T的关系是f=
.
4.简谐运动的图象：
反映振动的物体的位移随时间变化的规律，是一条正弦或余弦曲线.
二、单摆与受迫振动
1.单摆：
指在一根不可伸缩又不计质量的细线下端系一个质点，组成一个摆，它是一个理想模型.
2.单摆的回复力：
摆球重力的切向分力.
3.单摆做简谐运动的条件：
摆线偏角θ满足小于5°.
4.单摆的周期公式：
T=
.
（1）周期与振幅、摆球质量无关.周期与振幅无关这个特点称作摆的等时性.
（2）摆长是指从悬点到球心的距离.
5.周期为2s的单摆叫做秒摆，其摆长约为1m.
6.受迫振动：
物体在驱动力作用下的振动叫受迫振动.物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关.
7.共振：
当驱动力频率跟物体固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振.
复习导航
考纲解读
知识点
要求
解读
弹簧振子，简谐运动，振幅、周期和频率，简谐运动的图象
Ⅱ
理解简谐运动的振幅、周期、频率分析弹簧振子的运动特点利用图象解决问题
单摆，在小振幅条件下做简谐运动，周期公式
Ⅱ
掌握单摆周期公式利用周期公式解答有关问题
自由振动和受迫振动，受迫振动的频率，共振
Ⅰ
认识受迫振动与自由振动的区别知道受迫振动的频率与驱动力频率及固有频率的关系知道共振现象及产生的条件
焦点突破
1.物体是否做简谐运动的判断方法
判断一个物体是不是做简谐运动的依据是F=-kx.在判断时分两步，首先使物体发生位移x,分析物体受力找出回复力的函数式F=-kx，确定k是否为定值;其次给出物体两侧各一段位移x，看F的方向跟x是否总是反向的.
2.对单摆的深入理解
从单摆的周期公式T=
上可看出，单摆周期与振幅和摆球质量无关.从另一角度看，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回复力越大，加速度（gsinθ）越大，在相等的时间走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关.只要摆长l和重力加速度g定了，周期也就定了.在有些振动系统中l不一定是绳长，g也不一定为9.8m/s2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题.
（1）等效摆长：
摆长l是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离.如图8-1-1的双线摆.
图8-1-1
（2）等效重力加速度g′
①公式中的g由单摆所在的空间位置决定，由g=
知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，而不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8m/s2.
②g还由单摆系统的运动状态决定.如单摆处在向上加速发射的人造卫星内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值g′=g+a.再如，单摆若在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，则等效值g′=0，所以周期为无穷大，即单摆不摆动了.
③g还由单摆所处的物理环境决定，如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和竖直方向电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有一个g′的问题.
总之，要从回复力入手，找到等效重力的加速度g′代入公式即可求得周期T.若g′＞g,T变短；g′＜g,T变长.
精典剖析
考点1简谐运动规律
案例1
若物体做简谐运动，则下列说法中正确的是（）
A.若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B.物体通过平衡位置时,所受合力为零,回复力为零,处于平衡状态
C.物体每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
D.物体的位移增大时,动能增加,势能减少
点拨：
（1）做简谐运动的物体的速度、位移、加速度在方向上有什么关系？
（2）以水平方向的弹簧振子为例分析，其位移增大时，动能、势能如何变化？
解析：
（1）模型法：
如图8-1-2所示，选水平向右为正方向，振子位于点P时,位移为负值,速度可正可负,加速度方向与回复力同向,一定为正值,选项A错误.物体通过平衡位置时,F回=0,但合力不一定为零,如单摆摆球通过平衡位置时,沿悬线方向有加速度,F合≠0,选项B错误.物体通过同一位置时,速度方向有两种可能,故速度不一定相同,但位移相同,由牛顿第二定律知,加速度一定相同,选项C正确.做简谐运动的物体机械能守恒,其位移增大时,势能增加,动能减少,选项D错误.
图8-1-2
（2）图象法：
如图8-1-3所示,符合选项A的点如a或b,图线在a、b处斜率分别为负、正,表示物体的速度方向为负、正,选项A错误.符合选项C的点如c、d,可知选项C正确.
图8-1-3
答案：
C
说明：
借助模型、振动图象是分析此类问题的有效方法.
考点2简谐运动的周期性和对称性
案例2
物体做简谐运动，通过A点时的速度为v，经1s后物体第一次以相同速度v通过B点，再经过1s物体紧接着又通过B点.已知物体在2s内所走过的总路程为12cm,则该简谐运动的周期和振幅分别是_____________,_____________.
点拨：
（1）以水平方向的弹簧振子为例分析，物体通过A点向哪个方向运动？
A点与B点位置有何关系？
（2）物体在一个周期内的路程与振幅有何关系？
解析：
物体通过A点和B点速度大小相等，A、B两点一定关于平衡位置O对称.依题意作出物体的振动路径草图如图8-1-4（a）所示.物体从A向右运动到B，即图中从1运动到2，时间为1s，从2运动到3，又经过1s，从1到3共经历了0.5T，即0.5T=2s,T=4s,2A=12cm,A=6cm.
图8-1-4
在图（b）中，物体从A先向左运动，当物体第一次以相同的速度通过B点时，即图中从1运动到2时，时间为1s，从2运动到3，又经过1s，同样A、B两点关于O点对称.从图中可以看出，从1到3共经历了1.5T，即1.5T=2s,T=（4/3）s；1.5×4A=12cm,A=2cm.
答案：
4s或
6cm或2cm
说明：
简谐运动具有往复性、对称性、周期性的特点.在位移—时间图象上，简谐运动的这些特点比较简捷、直观.因此，常常利用位移—时间图来分析较复杂的简谐运动问题.
自助训练
基础达标
1.关于简谐运动，下列说法正确的是（）
A.当振子再次具有大小相等的速度时，所经过的时间为一个周期
B.当振子再次回到同一位置且具有相同速度时，经过的时间为一个周期
C.除最大位移和平衡位置外,质点在其他任何位置上速度方向有两种可能,而加速度方向只有一种情况
D.回复力增大时,回复力做正功,回复力减小时,回复力做负功
解析：
从某一振动状态出发，又首次回到位移和速度都相同的振动状态的整个过程才是一次全振动，所经历的时间是一个周期.因此，A错，B对.回复力增大时，振子离开平衡位置，其运动方向与回复力方向相反，回复力总做负功，D错.
答案：
BC
2.把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛.筛子在做自由振动时，完成10次全振动用时15s.在某电压下，电动偏心轮的转速是36r/min.已知如果增大电压，可以使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期.那么，要使筛子的振幅增大，下列哪些做法是正确的（）
①提高输入电压②降低输入电压③增大筛子质量④减小筛子质量
A.①③B.①④C.②③D.②④
解析：
要使筛子的振幅增大，须使电动偏心轮的周期T驱接近筛子的固有周期T固.又T固=
s=1.5s，T驱=
=1.67s,所以增大T固或减小T驱，可使T驱与T固接近，故①③正确.
答案：
A
3.如图8-1-5所示，A、B分别为单摆做简谐运动时摆球的不同位置.其中，位置A为摆球摆动的最高位置，虚线为过悬点的竖直线.以摆球最低位置为重力势能零点，则摆球在摆动过程中（）
图8-1-5
A.位于B处时动能最大B.位于A处时势能最大
C.在位置A的势能大于在位置B的动能D.在位置B的机械能大于在位置A的机械能
解析：
摆球运动过程中，机械能E守恒.最高位置势能最大，Epm=E；最低位置动能最大，Ekm=E；在其他位置Ek+Ep=E，故B、C正确.
答案：
BC
能力训练
4.（2006广东综合，27）一质点做简谐运动的图象如图8-1-6所示，下列说法正确的是（）
图8-1-6
A.质点振动频率是4HzB.在10s内质点经过的路程是20cm
C.第4s末质点的速度是零D.在t=1s和t=3s两时刻，质点位移大小相等、方向相同
解析：
由图象得T=4s，f=0.25Hz，A=2cm，A选项错误.在第4s末质点处于平衡位置，速度最大，C选项错误.在10s内质点经过的路程为s=
×4A=20cm，B选项正确.在t=1s和t=3s的时刻，质点位移大小相等、方向相反，D选项错误.所以B选项正确.
答案：
B
5.细长轻绳下端拴一个小球构成单摆，在悬挂点正下方摆长的中点处有一个能挡住摆线的钉子A，如图8-1-7所示.现将单摆向左拉开一个小角度，然后无初速释放.对于以后的运动，下列说法中正确的是（）
图8-1-7
A.摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小
B.摆球在左、右两侧上升的最大高度相同
C.摆球在平衡位置左、右两侧走过的最大弧长相等
D.摆球在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍
解析：
设摆长为L，没有钉子时，摆球的周期为T=
有钉子A时，摆球的周期为T′=
＜T,所以A正确.摆球运动过程中，机械能守恒，由此可知摆球在左、右两侧上升的最大高度相同，选项B正确.设摆球在左、右两侧的最大摆角分别为α、β，则由左、右两侧最大高度相同，可以得到方程Lcosα=
cosβ,即2cosα=1+cosβ,所以C、D错.
答案：
AB
6.（2006天津理综，17）一单摆做小角度摆动，其振动图象如图8-1-8，以下说法正确的是（）
图8-1-8
A.t1时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
B.t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
C.t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大
D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
解析：
在t1时刻，摆球处于最大位移处，速度最大，所以A、B选项错误.在t3时刻摆球处于最大位移处，速度为零，T-mgcosθ=
=0，所以T=mgcosθ，在t4时刻，摆球处于平衡位置，速度最大，T-mgcosθ=
，所以T=mgcosθ+
，所以D正确.
答案：
D
7.单摆在地面上的振动周期为T1，移到距地面高度为h的高空时，振动周期为T2，地球半径为R.则T1∶T2为（）
A.
B.
C.
D.
解析：
依题意，由周期公式：
T=
得
由mg=
得
所以T1/T2=R/（R+h）.
答案：
B
8.
（1）下表给出的是做简谐运动的物体的位移x或速度v与时刻的对应关系，T是振动周期，甲、乙、丙、丁表示位移或速度.请在表中空白处填上适当的文字或字母.
（2）若甲表示位移x,则_________表示相应的速度v;若丁表示速度v,则_________表示相应的位移x.
解析：
根据题意画出xt图，由图线的斜率大小和正负反映速度的大小和方向来判别，也可结合弹簧振子模型来分析.
答案：
（1）正向最大零负向最大负向最大
（2）丙乙
9.在弹簧振子的小球上安置记录笔，当小球振动时便可在匀速运动的纸带上画出振动图象.如图8-1-9是两个弹簧振子在各自纸带上画出的曲线，若纸带N1和纸带N2运动的速度v1和v2的关系为v2=2v1,则纸带N1、N2上曲线所代表的振动的周期比T1/T2=____________.
图8-1-9
解析：
因纸带的长度相等，设其长度为s，则有
=2T2v2=2v1,得：
T1/T2=4/1.
答案：
4/1
综合提升
10.在图8-1-10中，波源S从平衡位置y=0开始振动，运动方向竖直向上（y轴的正方向），振动周期T=0.01s，产生的简谐波向左、右两个方向传播，波速均为v=80m/s.经过一段时间后，P、Q两点开始振动.已知距离SP=1.2m、SQ=2.6m.若以Q点开始振动的时刻作为计时的零点，则在图8-1-11的振动图象中，能正确描述P、Q两点振动情况的是（）
图8-1-10
图8-1-11
A.甲为Q点的振动图象B.乙为Q点的振动图象
C.丙为P点的振动图象D.丁为P点的振动图象
解析：
波长λ=v·T=0.8m，SQ-SP=1.4m=1
λ，即S点比P点振动提前1
T.若以Q点开始振动时刻作为零时刻，则甲图应为Q点的振动图象，丁图为P点的振动图象，故选项A、D正确.
答案：
AD
11.水平轨道AB在B点处与半径R=300m的光滑弧形轨道BC相切，一个质量为M=0.99kg的木块静止于B处.现有一颗质量为m=10g的子弹以v0=500m/s的水平速度从左边射入木块且未穿出，如图8-1-12所示.已知木块与该水平轨道AB的动摩擦因数μ=0.5（cos5°=0.996,g取10m/s2）.试求：
子弹射入木块后，木块需经多长时间停止？
图8-1-12
解析：
设子弹射入木块获得的共同速度为v,由动量守恒定律得
mv0=（M+m）v①
子弹射入木块后在光滑弧形轨道上机械能守恒，设到达最高点时对应的圆心角为θ,则：
（M+m）v2=（M+m）gR（1-cosθ）②
由①②得v=5m/scosθ=0.996
所以θ=5°
那么子弹与木块一起在光滑弧形轨道往返运动时间为等效单摆运动的半个周期，该时间为t1,则t1=
子弹与木块从B点在水平面上做匀减速运动的时间为t2，则t2=
，又μ（M+m）g=（M+m）a
解得t1=17.2s,t2=1s
故子弹与木块共同运动的时间t=t1+t2=18.2s.
答案：
18.2s
教学反思
反思1.教学中发现较多的学生对物体做简谐运动的条件理解不深，亦即对F回=-kx中的负号及k这一定值不能正确理解，从而不能正确判断做振动的物体是否是简谐运动.因此在复习中应结合实例运用F=-kx，使学生学会判断一物体是否做简谐运动的思路和方法.
反思2.学生对等效单摆的认识有时不到位，例如找不出等效摆长或等效加速度.复习中要多举实例，反复加强练习.这一部分的综合性题目比较多，可以在讲解时归纳这些题目的特点，例如哪些是改变摆长的、哪些是改变加速度的等等.
第二单元机械波的形成·传播·图象
教学内参
教学总体思路
本单元核心内容是对机械波形成机理的理解.
（1）应在学生头脑中建立起清晰的物理情景，弄清振动与波动的联系，抓住机械波的成因和机械波的传播规律，注意参与波动的所有质点都在自身平衡位置附近做简谐运动.
（2）由于相对位置的变化而产生了波形的改变，沿波的传播方向，各质点的振动依次落后.
高考动态分析
本单元内容从近几年高考命题趋势看，难度逐年下调，因此在组织复习时一切要从夯实学生的基础做起，使学生真正理解波的形成机理和波的传播规律，并通过练习体会波动问题有多解的原因，掌握波动图象及相关问题的分析思路和方法.要注意培养学生的作图意识、作图能力及善于利用图象分析、解决问题的能力.
知识扫描
机械波
1.机械波的产生
机械振动在介质中的传播过程叫机械波.机械波产生的条件有两个：
一是要有做机械振动的物体作为波源；二是要有能够传播机械振动的介质.
有机械波必有机械振动，有机械振动不一定有机械波.但是，已经形成的波跟波源无关，在波源停止振动时仍会继续传播，直到机械能耗尽才停止.
2.横波和纵波
（1）横波：
质点的振动方向与波的传播方向垂直的波叫横波.凸起部分叫波峰，凹下部分叫波谷.
（2）纵波：
质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上的波叫纵波.质点分布最密的部分叫密部，分布最疏的部分叫疏部.
3.描述机械波的物理量
（1）波长λ:
两个相邻的、在振动过程中对平衡位置的位移总是相等的质点间的距离叫波长.
在横波中，两个相邻波峰（或波谷）间的距离等于波长.
在纵波中，两个相邻密部（或疏部）间的距离等于波长.
（2）频率f:
波的频率由波源决定，在任何介质中频率不变.
（3）波速v：
单位时间内振动向外传播的距离.
波速与波长和频率的关系：
v=λf，波速大小由介质决定.
4.机械波的特点
（1）每一质点都以它的平衡位置为中心做简谐运动；后一质点的振动总是落后于带动它的前一质点的振动.
（2）波传播的只是运动（振动）形式和振动能量，介质中的质点并不随波迁移.
5.声波
一切振动着发声的物体叫声源.声源的振动在介质中形成纵波.频率为20Hz到20000Hz的声波能引起听觉.频率低于20Hz的声波称为次声波，频率高于20000Hz的声波称为超声波.超声波的应用十分广泛，如声呐、“B超”、探伤仪等.声波在空气中的传播速度约为340m/s.声波具有反射、干涉、衍射等波的特有现象.
6.机械波的图象
图8-2-1
如图8-2-1所示为一横波的图象，它反映了在波传播的过程中，某一时刻介质中各质点的位移在空间的分布，简谐波的图象为正弦曲线.
复习导航
考纲解读
知识点
要求
解读
波的形成
Ⅰ
理解波的形成过程.
能够分析出前后质点的振动关系、波的传播方向与质点振动的关系.
横波和纵波
Ⅰ
掌握横波与纵波的区别.
能够判断一些常见波是横波还是纵波.
波的图象
Ⅱ
根据波的图象能够直接读出一些相应的物理量，理解波的图象的物理意义.
能够掌握波的图象与振动图象的区别及相互联系.
波长、频率和波速的关系
Ⅱ
理解概念.掌握三者间的关系.
焦点突破
1.波速和振速
波在同一种均匀介质中匀速传播，与频率无关.其表达式为v=
.
参与波动的各质点都在各自的平衡位置附近做周期性振动，质点的振动速度是按正弦规律变化的.
2.振动图象和波动图象
振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象.
简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，两者的图象有相同的正弦（余弦）曲线形状，但两图象是有本质区别的.见下表：
振动图象
波动图象
研究对象
一振动质点
沿波传播方向所有质点
研究内容
一质点位移随时间变化规律
某时刻所有质点的空间分布规律
图象
物理意义
表示一质点在各时刻的位移
表示某时刻各质点的位移
图象变化
随时间推移图象延续，但已有形状不变
随时间推移，图象沿传播方向平移
一完整曲线占横坐标距离
表示一个周期
表示一个波长
【互动探究1】如图8-2-2
（1）所示为一列简谐横波在t=20s时的波形图，图
（2）是这列波中P点的振动图线.那么该波的传播速度和传播方向是（）
图8-2-2
A.v=25cm/s，向左传播B.v=50cm/s，向左传播
C.v=25cm/s,向右传播D.v=50cm/s，向右传播
答案：
B
3.简谐波图象的应用
（1）直接从图象上读取振幅A、波长λ，以及该时刻各质点离开平衡位置的位移.还可以确定该时刻各质点振动的加速度的方向（总指向平衡位置）.
（2）根据波的传播方向确定质点在该时刻的振动方向或根据质点的振动方向确定波的传播方向.具体方法为：
①带动法：
根据波的形成，利用靠近波源的点带动它邻近的离波源稍远的点的道理，在被判定振动方向的点P附近（不超过
）图象上靠近波源一方找另一点P′；若P′在P上方，则P′带动P向上运动，如图8-2-3；若P′在P的下方，则P′带动P向下运动.
图8-2-3
②微平移法：
将波形沿波的传播方向做微小移动Δx=v·Δt＜
，如图8-2-3中虚线所示，则可判定P点沿y方向的运动方向了.
③上下坡法：
逆着波速向前看，“波峰、波谷紧相连”，“上坡”质点向上跳，“下坡”质点向下钻.
反过来，已知波形和波形上的一点P的振动方向，也可判定波的传播方向.
【互动探究2】一列简谐横波在x轴上传播，某时刻的波形如图8-2-4所示，a、b、c为三个质元，a正向上运动.由此可知（）
图8-2-4
A.该波沿x轴正方向传播B.c正向上运动
C.该时刻以后，b比c先到达平衡位置D.该时刻以后，b比c先到达距平衡位置最远处
答案：
AC
4.振动和波问题的多解性
（1）振动最主要的特征是它的周期性，因此在振动中含有多解问题.
（2）波动多解的原因主要是：
①波动图象的重复性，如由Δx=nλ+x、Δt=nT+t求v时的多解性.
②波的传播方向的双向性.
精典剖析
考点1波的形成与传播
案例1
已知：
一简谐横波在某一时刻的波形图如图8-2-5所示，图中位于a、b两处的质点经过四分之一周期后分别运动到a′、b′处.某人据此作出如下判断：
①可知波的周期，②可知波的传播速度，③可知波的传播方向，④可知波的波长.其中正确的是（）
图8-2-5
A.①和④B.②和④C.③和④D.②和③
点拨：
（1）由波传播方向确定各质点振动方向或由质点振动方向确定波传播方向，可采用“走坡法”.
（2）从波形图象上可直接读出此波的波长及各个介质质点在这一时刻相对于平衡位置的位移.
解析：
由于b点经过四分之一周期运动到b′处，可知b点向下运动，说明波向x轴正方向传播.根据波形图可知，该简谐横波的波长为4m.
答案：
C
说明：
由某时刻的波形图及所给的已知条件求其余物理量，是机械波这部分内容的基础考点，要熟练掌握.
考点2波的多解问题
案例2
如图8-2-6所示,一简谐横波在x轴上传播,轴上a、b两点相距12m.t=0时a点为波峰,b点为波谷;t=0.5s时,a点为波谷,b点为波峰.则下列判断中正确的是（）
图8-2-6
A.波一定沿x轴正方向传播B.波长可能是8m
C.周期可能是0.5sD.波速一定是24m/s
点拨：
a、b两点间的波形可能有哪些?
其波长与a、b点间距离有何关系?
（2）题中只有0.5s=
这种情况吗?
解析：
画出a、b点间的最简波形（波长个数最少），如图8-2-7所示.由波在时间、空间上的周期性知：
图8-2-7
12m=（n+
）λ（n=0,1,2，…）①
0.5s=（k+
）T（k=0,1,2，…）②
由①式得λ=
.当n=1时,λ=8m.由②式得T=
T≠0.
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