一次函数与几何综合拔高2.docx

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一次函数与几何综合拔高2

一次函数与几何综合（讲义）

一、知识点睛

1．一次函数y=kx+b（k≠0），k表示倾斜程度，

是坡面的铅直高度与水平宽度的比（也叫坡度或坡比），如图所示AM即为铅直高度，BM即为水平宽度，则

．

这就是几何中常用的“构造小山坡”快速求一次函数表达式的方法。

A、首先通过构造“小山坡”，快速求出

；

B、然后根据直线与横轴正半轴所成的角是锐角还是钝角，判断其符号，若是锐角，则k＞0；若是钝角，则k＜0；

C、b是直线与纵轴交点的纵坐标，也可从图像中直接得出；

2．设直线l1：

y1=k1x+b1，直线l2：

y2=k2x+b2，其中k1，k2≠0．

①若k1=k2，且b1≠b2，则直线l1∥l2；

②若k1·k2=－1，则直线l1⊥l2；

3．“一次函数与几何综合”解题思路：

①_坐标代入可求表达式_；

②_由表达式可求坐标或者表达坐标_；

③_坐标转线段长；

④_线段长转坐标_；

⑤_k、b的几何意义以及直线的位置关系（平行或垂直）；

二、精讲精练

7.如图，点B，C分别在直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为________．

总结提升：

此题可通过“设份数法”解题。

由于直线y=2x的斜率为2，所以其铅直高度比水平宽度就是2；故而我们设OA=1，则AB=AD=CD=2，OD=3，所以y=kx的斜率就是三分之二；与横轴正半轴夹角是锐角，所以k＞0；

如图，直线l1交x轴，y轴于A，B两点，OA=m，OB=n，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD．CD所在直线l2与直线l1交于点E，则l1l2；若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2=_______．

总结提升：

此题可先通过构造小山坡法，算出直线l1的斜率，由于其与横轴正半轴的夹角是钝角，所以k＜0，斜率前加负号；再根据旋转是一种全等变换，对应边和对应角都相等，计算出直线l2的斜率，夹角为锐角，所以k＞0；k1·k2=﹣1；

如图，已知直线l：

y=

与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线l折叠，点O落在点C处，则直线CA的表达式为_________．

总结提升：

1、首先应学会“数形结合”的思想，看到一个直线的表达式，从中读出相应的信息。

比如直线l：

y=

，首先我们可以从中读出b的信息，它是直线与纵轴交点的纵坐标，所以B点的坐标就是（0，

）；其次我们能从中读出斜率的信息，也就是铅直高度与水平宽度的比，由此判断三角形AOB是一个含有30°角的直角三角形；

2、根据折叠的轴对称性质，对应边相等，同时有一个角是60°，则连接OC，就会出现一个等边三角形，过C点做横轴的垂线，就又会出现一个含有30°角的直角三角形，据此可以求出直线AC的斜率，夹角是钝角，所以k为负，前面加负号，再把A点坐标代入表达式求出b即可。

16.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC在x轴上，直线y=kx-1平分梯形ABCD的面积，已知A（4，2），则k=．

总结提升：

1、对于一个中心对称的图形来说，若一条直线平分它的面积，那么这条直线必然经过这个中心对称图形的对称中心；

2、由于四边形DCBA是一个等腰梯形，是一个轴对称图形，而不是中心对称图形，但是假使我们过A点做底边的垂线，剖掉两边的两个全等的直角三角形，剩下部分就是一个矩形，而矩形是个中心对称图形，同时直线亦平分它的面积，所以这条直线必然经过矩形的对称中心，连接OA，按照中点坐标公式，可求出对称中心的坐标，再代入直线的表达式即可求。

23.已知：

直线y=mx-3，y随x增大而减小，且与直线x=1，x=3，x轴围成的面积为8，则m的值为____________．

总结提升：

1、由于这四条直线围成了一个梯形，高为2，只需求出上底和下底，按照梯形面积公式列方程解题即可；

2、设直线x=1，x=3分别与直线y=mx-3相交与A、B，则A点的横坐标是1，纵坐标是m-3；B点的横坐标是3，纵坐标是3m-3，将坐标转为线段长，则上底长是大坐标－小坐标=0－（m-3）=3－m；下底长是大坐标－小坐标=0－（3m-3）=3－3m；据此列方程解题即可。

37.如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A，B的坐标分别为（1，0），（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x-6上时，线段BC扫过的面积为（）

A．4B．8C．16D．

总结提升：

1、根据题目中的已知条件，可先求出点C的坐标（1,4）；

2、由于将三角形ABC向右平移，而根据平移的性质，平移不改变图形的形状和大小，是一种全等变换，所以点C的纵坐标是始终不变的，当它与直线y=2x-6相交时，将纵坐标代入直线的表达式，可求出交点的横纵坐标是5，由此三角形ABC沿着横轴正半轴的方向向右平移了4个距离；

3、根据平移的性质，对应线段平行且相等，则BC扫过的图形是一个平行四边形，底是平移的距离，高是C点的纵坐标，代入面积公式可解。

49.如图，已知直线l1：

y=

与直线l2：

y=-2x+16相交于点C，直线l1，l2分别交x轴于A，B两点，矩形DEFG的顶点D，E分别在l1，l2上，顶点F，G都在x轴上，且点G与点B重合，那么S矩形DEFG：

S△ABC=_________．

总结提升：

1、先根据两条直线的表达式，分别求出A、B两点的坐标，同时将B点的横坐标代入直线l1的表达式，可求出D点的坐标，同时由于四边形DEFG是矩形，D、E两点的纵坐标相同，所以将D点的纵坐标代入直线l2的表达式，可以求出E点的坐标；

2、然后再两条直线联立可以求出其交点C的坐标；则矩形和三角形的面积均可求，代入求解即可。

55.直线AB：

y=-x+b分别与x轴，y轴交于A（6，0），B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB:

OC=3:

1．

（1）求直线BC的解析式．

（2）直线EF：

y=kx-k（k≠0）交AB于点E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD=S△FBD？

若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

（3）如图，P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰Rt△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，求K点坐标．

总结提升：

1、先将A点的坐标代入直线AB的表达式，求出b的值；由于直线BC的斜率是3，夹角是锐角，所以为正，同时经过B点，因此其表达式为y=3x+6；

2、由于直线EF：

y=kx-k（k≠0）交x轴于点D，则D点的纵坐标为0，代入此直线的表达式，可求出其横坐标为1，则D点是一个定点；

3、连接BD，则可以看出两个三角形有共同的一边，是“背靠背”的三角形，则其高相等，因此欲使其面积相等，则只需两个底边相等即可，由此D点就是E、F两点的中点，由于这两点分别在两条已知表达式的直线上，所以我们可设E点的坐标为（m，-m+6），F点的坐标为（n，3n+6）；

然后按照中点坐标公式列一个二元一次方程组求解即可。

3、由于平面直角坐标系中出现了直角，我们一般考虑使用“双垂直模型”解题，为此我们过点Q做横轴的垂线QH，构造全等三角形，然后有几何法和代数法两种思路解题；

4、几何法：

我们设P点的坐标为（a，0），则H点的坐标为（a＋6,0），Q点的坐标就是（a＋6，a），则线段AH的长度就是a，据此计算直线QA的斜率是1，则其同纵轴的夹角=直线y=-x+6同纵轴的夹角=45°，则三角形ABK是一个等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，K、B两点关于原点对称，据此可以求出其坐标；

5、代数法：

求出直线QA的斜率后，我们将点A的坐标代入其表达式，求出其确切的表达式，然后求这条直线同纵轴交点的坐标即可。

【参考答案】

【知识点睛】

1．铅直高度；水平宽度．

2．①∥；②-1；⊥．

3．①坐标代入可求表达式；

②由表达式可以求坐标或者表达坐标；

③坐标转线段长；

④线段长转坐标；

⑤k、b的几何意义以及直线的位置关系（平行和垂直）．

【精讲精练】

1．

2．⊥；-1

3．

4．1

5．

6．C

7．8:

9

8．

（1）

（2）存在，k=

（3）K（0，-6）

一次函数与几何综合（随堂测试）

3.如图，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，1）和点

C（1，3），交x轴于点A．

（1）求一次函数解析式和A点坐标；

（2）过点A的另一直线l与直线AB垂直，且交y轴负半轴于点P，求点P的坐标．

12.如图，已知直线l1：

y=-x+2与直线l2：

y=2x+8相交于点F，l1，l2分别交x轴于点E，G，矩形ABCD顶点C，D分别在直线l1，l2上，顶点A，B都在x轴上，且点B与点G重合．

（1）求点F的坐标；

（2）求矩形ABCD的面积．

【参考答案】

1．

（1）

；A（

，0）

（2）P（0，

）

2．

（1）F（

，4）

（2）18

一次函数与几何综合（作业）

8.如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=3，将此矩形置于平面直角坐标系中，使AB在x轴正半轴上，经过点C的直线y=

x-2与x轴交于点E，则四边形AECD的面积是_______．

（根据直线的斜率，可知其铅直高度与水平宽度的比，据此可求出三角形BCE的面积，用矩形的面积减去三角形的面积即是四边形的面积）

15.如图，在平面直角坐标系中，直线l：

y=

x+4分别交x轴，y轴于点A，B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A′OB′．

（1）求直线A′B′的解析式；

（2）若直线A′B′与直线l相交于点C，求△A′BC的面积．

（根据旋转的性质，旋转是一种全等变换，对应边和对应角都相等，由此可以求出直线A′B′的解析式，同时联立两个解析式，可以求出点C的坐标，进一步求出三角形的面积。

）

21.如图，直线OC，BC的函数表达式分别是y1=x和y2=-2x+6，直线BC与x轴交于点B，直线BA与直线OC相交于点A．当直线BA平分△BOC的面积时，其表达式为_____________．

总结提升：

根据直线的表达式可以求出点B的坐标，联立两个表达式可以求出点C的坐标；由于两个三角形是背靠背的三角形，所以它们的高相等，欲使其面积相等，则其底边相等就可以了，由此A是O、C两点的中点，利用中点坐标公式，可求出A点的坐标，再用待定系数法求出直线表达式即可。

34.如图，Rt△AOB的直角边OA，OB分别与y轴，x轴重合，点A，B的坐标分别是（0，4），（3，0），将△AOB向右平移，当点A落在直线y=x-1上时，线段AB扫过的面积是．

根据平移不改变图形的形状和大小，是一种全等变换，则点A在平移的过程中，其纵坐标始终不变，然后求出其与直线相交时的点的横坐标，减去A点的横坐标，即是平移的距离；同时平移的过程中，对应线段平行且相等，因此AB扫过的面积是一个平行四边形，底是平移的距离，高是A点的纵坐标，代入平行四边形的面积公式即可。

47.如图，平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，-4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m＞0），以P为直角顶点，AP为腰在第四象限内作等腰Rt△APM．

（1）求直线AB的解析式；

（2）用含m的代数式表示点M的坐标；

（3）若直线MB与x轴交于点Q，求Q点的坐标．

（此题同讲义最后一题完全一个模型，可参照求解）

【参考答案】

1．18

2．

（1）

（2）

3．

4．20

5．

（1）

（2）（m+4，-m-8）

（3）Q（-4，0）

一次函数与几何综合（每日一题）

1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞2），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD．

（1）试问△OBC与△ABD全等吗？

并证明你的结论；

（2）直线AD与y轴交于点E，在C点移动的过程中，E点的位置是否发生变化？

如果不变求出它的坐标；如果变化，请说明理由．

总结提升：

注意如果一个图形中出现了多个等腰三角形，那么往往存在全等三角形，而且往往通过SAS来证明全等；由于两个三角形全等，则∠AOB=∠BAD=60°，同时由于三角形OBA是等边三角形，所以∠EAO=60°，所以三角形OAE是一个含有30°角的直角三角形，OE的长度就是定值。

2.如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝

（m>0）与x轴，y轴分别交于点A，B，过点A作x轴的垂线交直线y＝x于点D，C点坐标（m，0），连接CD．

（1）求证：

CD⊥AB；

（2）连接BC交OD于点H（如图2），求证：

DH＝

BC．

总结提升：

1、由于A点是直线y＝

（m>0）与横轴的交点，据此可以求出A点的坐标是（2m，0），则D点的坐标是（2m,2m），据此求出直线CD的斜率＝2，两个直线的斜率乘积=﹣1，所以它们垂直；

2、注意题目中的隐含条件，直线y＝±x意味着它们同坐标轴的夹角是45°，则三角形OAD是一个等腰直角三角形；同时三角形OBC也是一个等腰直角三角形，其底边上的高线三线合一，将这个等腰直角三角形又分成两个小等腰直角三角形，则OH的长度可求，OD的长度也可求，两项相减求出DH的长度，再求出BC的长度，此题得解。

3.如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB落在x轴正半轴上，直线

经过点C，与x轴交于点E．

（1）求四边形AECD的面积；

（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；

（3）若直线l1经过点F（-

，0）且与直线y＝3x平行，将

（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．

总结提升：

1、首先从直线的表达式中读出相关的信息，也就是直线的斜率，意味着其铅直高度与水平宽度的比，则据此可以三角形BEC的面积，然后用大正方形的面积减去此三角形的面积即是四边形的面积；

2、牢记对于一个中心对称图形来说，若一条直线将其面积平分，则这条直线一定经过这个中心对称图形的对称中心，为此连接AC；根据直线的表达式

，E和C点分别在这条直线上，可先分别求出这两点的坐标，同时再倒出点A的坐标，然后根据中点坐标公式，可求出对称中心的坐标，再用代入系数法求出直线l的表达式即可；

3、首先根据两直线平行，则其斜率相等，然后把已知点的坐标代入其表达式，求出直线l1的表达式；

4、根据“上加下减、左加右减”的平移规律，由于平移不改变直线的斜率，因此只需其b值加1，即可得出向上平移一个单位后的新直线的表达式；

5、分别根据两条新直线的表达式，求出N、M、F三点的坐标，根据三角形面积公式可求。

4、已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为（0，24），经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为（18，6）．

（1）求直线l1，l2的表达式；

（2）点C为线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CD∥y轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF．

①设点C的纵坐标为a，求点D的坐标（用含a的代数式表示）；

②若矩形CDEF的面积为108，求出点C的坐标．

总结提升：

1、两条直线一条是正比例函数，一条是一次函数，可求；

2、如果设设点C的纵坐标为a，则我们可以利用直线OB的表达式，求出其横坐标，由于由于四边形是矩形，所以D点的横坐标同于C点，将此横坐标代入直线AB的表达式，就可以求出D点的纵坐标；

3、将求出的坐标转化为线段长，代入矩形的面积公式，则面积可求。

5.如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E，F分别在AD，AB上，且F点的坐标是（2，4）．

（1）求G点坐标；

（2）求直线EF的解析式；

（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

总结提升：

1、首先根据已知条件，分别求出C、A两点的坐标，然后将坐标转为线段长，跟着折叠的轴对称性质，对应边相等，对应角相等，则FB=AB－AF=1，FG=AF=2，根据勾股定理可求BG的长，再用BC－BG=GC，即可得G点的坐标；

2、注意到经由折叠得到的小直角三角形的直角边和斜边比是1:

2，根据直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角是30°，则可得出∠BFG=60°，这样∠AFE=∠EFG=60°，这样就又出现了一个含有30°角的直角三角形AEF，根据其三边关系比，可以求出AE的长度，进而求出直线EF的斜率和直线上一点E的坐标，则其表达式可求。

3、由于平行四边形的四个顶点用顿号隔开，因此无顺序要求，需分类讨论；根据四个顶点的特性，可以判断其中有两个定点F、G，两个动点M、N，根据“两个定点、两个动点”求平行四边形的存在性的解题模型，为保证不重不漏，我们选取定线段FG作为分类的标准进行讨论；

4、首先我们让FG作为平行四边形的一边，根据平行四边形对边平行且相等的特性，我们平移FG，使其分别与直线EF和横轴相交，则出现两种情况，分别构成两个等边三角形，求出此等边三角形的底边长，则M点在底边的垂直平分线上，据此可以求出其坐标；

5、接着我们让FG作为平行四边形的对角线，根据平行四边形的对角线互相平分的特性，我们让线段EF绕着其中点P旋转，与直线和横轴分别相交，就是要求的点的位置：

由于P即是EF的中点，我们可以根据中点坐标公式，求出P点的坐标，然后再根据P是NN的中点，分别设出这两点的坐标，再利用中点坐标公式，建立两个二元一次方程即可解题即可。

1.解

（1）全等

理由如下：

∵△AOB和△CBD是等边三角形，

∴OB＝AB，∠OBA＝∠CBD＝60°，BC＝BD

∴∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC

即∠OBC＝∠ABD

∴△OBC≌△ABD

（2）不变

∵△OBC≌△ABD，△AOB是等边三角形

∴∠BAD＝∠BOC＝60°

∵∠OAB＝60°

∴∠OAE＝180°-∠OAB-∠BAD＝60°

∴Rt△OEA中，AE＝2OA＝4

∴OE＝

∴E（0，

）

2.解：

（1）由题意知：

A（2m，0），B（0，m）

∵AD⊥x轴，点D在直线y＝x上

∴D（2m，2m）

∵C（m，0）

∴kCD＝

＝2

∵kAB＝

∴kCD·kAB＝-1

∴CD⊥AB

（2）∵B（0，m），C（m，0）

∴OB＝m，OC＝m

∴BC＝

∵kBC＝-1，kOD＝1

∴kBC·kOD＝-1

∴BC⊥OD

∴OH＝

∵D（2m，2m）

∴OD＝

∴DH＝OD-OH＝

∴DH＝

BC

3.解：

（1）∵正方形ABCD的边长是4，AB在x轴上

∴C点的纵坐标为4

代入

得：

C（5，4）

∴A（1，0），B（5，0），D（1，4）

∵

与x轴交于点E

∴E（2，0）

∴AE＝1，CD＝4，AD＝4

∴S四边形AECD＝

×（1＋4）×4＝10

（2）

如果直线l平分正方形的面积，则l一定过正方形的中心（即对角线的中点）

如图，P是对角线AC的中点

∵A（1，0），C（5，4）

∴P（3，2）

∴直线l经过点E（2，0），P（3，2）

待定系数法可得直线解析式为：

y＝2x－4

（3）∵直线l1经过点F（-

，0）且与直线y＝3x平行，

设直线l1的解析式为y1＝kx＋b，则：

k＝3

代入F（-

，0）得：

b＝

∴y1＝3x＋

直线l沿着y轴向上平移1个单位，则所得的直线的解析式是：

y＝2x-3，

∴M（

，0）

联立即：

可得：

即：

N（-

，-18）

S△NMF＝

×[

-（-

）]×|-18|＝27

4.解：

（1）设直线l1的表达式为y=k1x

∵点（18，6）在直线l1上

∴6=18k1

∴k1=

∴y=

x

设直线l2的表达式为y=k2x+b

∵点A（0，24），B（18，6）在l2上

待定系数法可得直线l2的解析式为：

y=-x+24

（2）①∵点C在直线l1上，且点C的纵坐标为a

∴x=3a，

∴点C的坐标为（3a，a）

∵CD∥y轴

∴点D的横坐标为3a

∵点D在直线l2上，

∴y=-3a+24

∴D（3a，-3a+24）

②∵C（3a，a），D（3a，-3a+24）

∴CF=3a，CD=-3a+24-a=-4a+24

∵矩形CDEF的面积为108

∴S矩形CDEF=CF•CD=3a×（-4a+24）=108，解得a=3

当a=3时，3a=9

∴C点坐标为（9，3）

5.解：

（1）∵F（2，4），B（3，4），四边形ABCD是矩形

∴AF=2，OA=BC=4，AB=3

在Rt△BFG中，

由轴对称性质

FG=AF=2

∵BF=AB-AF=1

∴BG=

∴G（3，4-

）

（2）设y=kx+b

∵在Rt△BFG中，

BF=

FG

∴∠BGF=30°

∴∠AFE=∠EFG=60°

在Rt△AEF中，AF=2

∴AE=

∴E（0，4-

）

∴b=4-

∵|k|=

=

∴y=

x+4-

（3）存在．

①M（

，

）

提示：

如图，过G作EF的平行线交x轴于点N，过N作FG的平行线交EF于点M，连接MN，GN．

则四边形MNGF为平行四边形．利用特殊角及平行四边形性质求点M坐标即可．

②M（

，-

）

提示：

与①的方法类似．

③M（

，

）

提示：

如图，过G作EF的平行线交x轴于点N，连接NF，过G作NF的平行线交直线EF于点M，连接GM．则四边形MFNG是平行四边形．