教学用转化的策略解决相关的实际问题转化是一种常见的.docx
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教学用转化的策略解决相关的实际问题转化是一种常见的
本单元是在学生已经学习了用画图和列表,以及列举、倒推、替换和假设等策略解决问题的基础上,教学用转化的策略解决相关的实际问题。
转化是一种常见的、极其重要的解决问题的策略。
更是一种最常见、最基础的思维方法,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换,具有灵活性和多样性。
在应用转化策略解决问题时,没有统一的模式。
因而,教学不应仅仅停留在能够解决某一类问题、获得某一类问题的结论和答案,而应超越具体问题的解法和结论,指向策略的形成和应用意识。
转化是指把一个数学问题变更为一类已经解决或比较容易解决的问题,从而使原问题得以解决的一种策略。
转化的关键是要能根据具体的问题,确定转化后要实现的目标和具体的转化方法。
教材主要安排了数与代数领域的实际问题,引导学生运用转化的策略加以解决。
在此之前,学生已经学习了用画图和列表,以及列举、倒推、替换和假设等策略解决问题,已经初步积累了一定的用转化策略解决问题的经验,也掌握了一些技巧和方法,但当时这些技巧和方法更多是针对解决具体问题而言的,因而是零散的、无意识的。
本章内容有助于学生从策略的角度建立知识之间的联系,提高学生运用策略解决问题的能力。
1.使学生在解决实际问题的过程中,学会用转化的策略寻求解决问题的思路,并能根据具体的问题确定合理的解题方法,从而有效地解决问题。
2.使学生在解决实际问题的过程中,通过把转化策略与以前学过的相关的解决问题的方法进行比较,体会转化策略的内在价值,进一步增强解决问题的策略意识,提高从不同角度分析问题的能力。
3.使学生进一步积累解决问题的经验,获得解决问题的成功体验,提高学好数学的自信心。
1.突出转化策略的实际价值。
一方面注意精心选择数学问题。
学生利用已有的知识经验大多能够解决,但是解决问题的过程相对比较烦琐,而如果运用转化的策略来思考,那么就可以简捷地得到问题的结果。
通过比较用已有的知识经验解决问题和用转化的方法解决问题,学生体会到转化的策略在解决问题中的价值。
另一方面,注意引导学生回顾在过去的学习中,曾经运用转化的策略解决过的问题,从策略的角度重建相关知识的联系,即解决一个新的问题通常是想办法把它转化成熟悉的、已经解决的问题,从而使学生逐步深化对转化策略的认识。
2.合理运用转化策略的关键。
运用转化的策略解决问题的关键是确定转化后要实现的目标和转化的具体方法,而转化后要实现的目标又是首先要考虑的。
通常我们是把新的问题转化成熟悉的、能够解决的问题,把非常规的问题转化成常规的问题等,但要根据问题的具体情况具体分析。
教学时注意通过适当的提示,启发学生用转化的策略进行思考并明确转化后要先实现的目标。
其次,要考虑转化的具体方法,教学时注意为学生提供主动思考的空间,让学生在转化后要实现的目标指引下,自己探索转化的具体方法。
3.借助直观图启发转化的具体方法。
教学时注意安排一些富有挑战性的问题,让学生应用转化的策略进行思考,以不断提高学生运用转化策略解决问题的能力。
1 解决问题的策略………………………………………………………………………1课时
2 练习十六………………………………………………………………………………1课时
解决问题的策略。
（教材第105~108页）
1.使学生初步学会运用转化的策略分析问题,灵活确定解决问题的思路,并能根据问题的特点确定具体的转化方法,从而有效地解决问题。
2.使学生通过回顾曾经运用转化策略解决问题的过程,从策略的角度进一步体会知识之间的联系,感受转化策略的应用价值。
3.使学生进一步积累运用转化的策略解决问题的经验,增强解决问题的策略意识,主动克服在解决问题中遇到的困难,获得成功的体验。
重点:
体会运用转化的策略是解决问题的有效方法;进一步积累运用转化策略的经验,掌握一些常用的方法。
难点:
会用合适的“转化”的策略解决问题。
课件。
师:
同学们,回想一下,在以前的学习中,有没有运用转化策略解决过问题呢?
学生可能回忆并列举出:
平行四边形面积、三角形面积、梯形面积、圆的面积公式的推导过程。
师:
转化策略曾经帮助我们解决过这么多问题,像这样的例子还有很多,你们每个人手里都有一组题,动动笔算算,体会体会哪儿运用了转化策略?
你有什么发现?
可以和组内的同学交流一下。
四人小组内每个学生的题旨各不相同,学生独立计算、观察、体会到转化后,四人小组进行交流。
师:
举个例子说说你的发现。
学生可能举例:
·计算小数除法是把小数除法转化成整数的除法。
·计算异分母分数加法是把异分母分数加法转化成同分母分数加法。
·计算83+83+83+83+83是把相同加数的和转化成乘法。
……
师:
这里都用了转化策略,有什么相同地方?
引导学生观察并思考,体会到转化的实质——转化前和转化后计算结果不变。
小结:
这么多地方用到转化的策略,说说你有什么体会?
学生可能体会到:
转化策略应用很广泛;转化策略能解决新问题;转化策略能把复杂的问题变简单。
师:
转化是常见的解决问题的策略之一,解决问题的策略还有很多,要具体问题具体分析。
【设计意图:
引导学生体会转化的策略,为下面探究解决问题的策略做准备】
1.教学例1。
师:
这两个图形的面积相等吗?
哪个面积大一些?
（课件出示:
教材第105页例1图）
学生独立思考,然后同桌合作,交流。
师:
谁来汇报一下你是怎么想的?
生1:
可以数方格比较它们的面积。
生2:
把它们转化成规则图形进行比较。
师:
认真观察图形的特点,想一想可以怎样转化?
动手试一试。
学生动手操作;教师巡视了解情况。
指名汇报,学生口述过程（第一幅图中把上面的半圆向下平移8格,正好拼成长方形;第二幅图中把2个半圆分别旋转180°,也拼成长方形）;教师配以课件演示。
师:
现在我们来回顾一下这道题的解决过程,为什么我们开始的时候有些迟疑?
到后来一下子就看出了这两个图形的面积相等?
为什么?
生:
经过转化,把不规则的图形转化成规则的图形后,比较容易看出两个长方形的面积相等,所以原来两个图形的面积相等。
师:
想一想,在图形的转化变形过程当中,面积有没有发生变化?
生:
图形的形状发生变化,面积的大小没有发生变化。
师:
正是由于我们在平移、旋转过程当中,面积没有发生变化,我们通过两个长方形的面积相等来推测得出原来的这两个不规则图形的面积也相等。
我们把一个复杂的图形转化成我们能够解决的,像长方形这种简单的图形,从而解决问题。
在这个过程当中,蕴含着一种非常重要的解题策略,就是同学们在刚才的讲话中讲到的两个字——转化。
那么请同学们想一想:
在用转化这种策略解决问题的过程当中,你有什么体会?
学生可能会说:
·有些不规则的图形可以转化成熟悉的简单的图形。
·图形转化时可以运用平移、旋转等方法。
·转化后图形与转化前相比,形状变了,面积大小没有变。
小结:
我们往往把一个复杂的问题转化成一个简单的问题,或者把一些未知的问题转化为我们已经学过的问题,把新学的知识转化成已经学过的知识,这就降低了学习的难度。
同学们的这些体会和我国著名的数学家华罗庚爷爷的体会非常相似,他曾经在一首小诗中写过这样一段话:
“神奇化易是坦道,易化神奇不足提”这里的“神奇化易”就是把难的、复杂的、未知的转化成已知的、容易的,这是解决问题非常重要的途径。
【设计意图:
通过唤醒学生解决问题策略的已有经验,引入“转化”策略的探究学习,做好教学的衔接与迁移,可以激发学生学习新知的兴趣并且培养学生对已学知识的总结、分析的能力,更有利于学生形成良好的知识体系】
2.教学例2。
师:
观察这道算式,你有什么发现?
（课件出示:
教材第107页例2题）
生1:
这是4个分数连加,每个分数的分子都是1。
生2:
分母是有规律排列的,依次是2,2×2,2×2×2,2×2×2×2。
师:
你准备怎样计算?
先计算,再与同学交流你的计算方法。
学生尝试独立计算后进行小组交流活动;教师巡视了解情况。
师:
说说你是怎样算的。
生1:
先从左往右依次计算。
生2:
先通分,再计算。
师:
把异分母分数加法转化成同分母分数加法,这是一种转化策略。
如果不把它转化成同分母分数,怎样求和,有没有更简便的方法?
（课件出示:
教材第107页正方形图）
师:
为了便于同学们思考,老师给你们提供一张图示,用一个正方形表示单位“1”,你能为这些分数找到合适的位置吗?
空白部分用多少表示呢?
我们把求这几个分数的和转化成一道非常简单的减法算式。
师:
空白部分占大正方形的几分之几?
把算式和图形联系起来想一想,原来的算式可以怎样转化?
学生可能会说:
·空白部分是大正方形的
。
·涂色部分是大正方形的
。
·原来的加法算式可以转化成减法算式。
小结:
这里我们借助图形将一道复杂的加法算式转化成了一道非常简单的减法算式,如果照这样的规律一直加到
呢?
师:
回顾解决问题的过程,你有什么体会?
生1:
有些复杂的算式可以转化成简单的算式。
生2:
有时画图可以帮助我们找到转化的方法。
师:
由此可见,我们在解决问题的过程当中,有时候还需要画一个图,换一个角度,从另一方面来思考,像这样从空白部分入手求阴影部分的面积就比较容易,正如匈牙利著名数学家路莎•彼得,他曾经说过这样一段话:
“解题时,往往不对问题进行正面的攻击,而是将它不断变形,直至转化为已经能够解决的问题。
”从这句话中,我们可以得到转化的方法除了变形,我们有时候还需要画图,这样把数和形结合起来,我们还要换个角度从反面或者侧面来进行思考,这样我们就能够很快地把复杂的问题转化为简单的问题。
【设计意图:
这里运用数形结合的思想,既加深了学生对转化策略的理解,又让学生产生了思维碰撞。
在实现了
+
+
+
的转化后,并不急于总结方法,而是融巩固与探索为一体,给学生留足探究的时间和空间,让学生在画图探究的过程中感悟、提升转化策略的运用,并借助于多媒体课件的优势,将三个转化图形同时呈现,让学生观察、概括,体现了教者不只是教知识,更注重培养学生解决问题的能力】
师:
同学们,转化这种策略在解题过程中普遍存在,古今中外的名人在解决问题的过程中经常用到转化的策略,例如:
我国古代有一个神奇的曹冲,你们听过曹冲称象的故事吧?
在曹冲称象的过程中就隐含着运用转化这种解题策略。
在称大象的过程中有一个细节非常重要,你知道是哪个细节吗?
数学文化渗入（曹冲称象）同学们,你们觉得曹冲聪明吗?
聪明在哪里?
同学们在今后的学习过程中都能像曹冲这样爱思考,那么你们解决问题的能力就会得到很快的提高!
今天这节课我们就上到这里。
【设计意图:
课的结尾,通过故事将学生的目光从讲堂再次拉向了现实生活,有利于学生自觉应用转化的策略解决生活中的题目】
解决问题的策略
复杂
简单
未知
已知
变 形
画 图
换个角度
……
1.教学本部分内容要强调独立进行,让学生在直观图形的启发下,独立进行转化。
2.通过唤醒学生解决问题策略的已有经验,引入“转化”策略的探究学习,做好教学的衔接与迁移,可以激发学生学习新知的兴趣以及培养对已学知识的总结、分析的能力,更有利学生形成良好的知识体系。
A类
根据图中所给数据计算阴影部分的面积。
（考查知识点:
解决问题的策略;能力要求:
运用转化的策略解决问题）
B类
如图,大圆的直径是4厘米,求阴影部分的面积。
（考查知识点:
解决问题的策略;能力要求:
运用转化、画图等策略解决问题）
课堂作业新设计
A类:
3×3÷2=4.5（平方厘米）
B类:
4÷2=2（厘米） 2÷2=1（厘米）
3.14×22-4×[3.14×12-4×（3.14×12÷4-1×1÷2）]=4.56（平方厘米）
教材习题
教材第106页“练一练”
相等,第一幅图中的图案经过平移可以转化成第二幅图中的样子,所以这两个图案的面积相等。
教材第108页“练一练”
1.
2.（15+6）×10÷2=105（支）
原式=（15+24）×10÷2=195
练习十六。
（教材第109~111页）
1.使学生进一步熟练灵活地运用解决问题的策略解决生活中的实际问题。
2.使学生进一步积累解决问题的经验,增强解决问题的信心。
重点:
培养运用策略解决问题的意识。
难点:
熟练地运用所学知识解决实际问题。
课件。
师:
同学们,你知道哪些解决问题的策略?
举例说明。
生1:
我们学过“转化”的策略,如在探究圆的面积计算公式时,就是把圆转化成了近似的长方形,然后借助长方形面积的计算公式得出了圆的面积的计算公式。
生2:
我们学过“画图”的策略,如在解决应用题时,尤其是分数、百分数问题,可以借画图帮助我们分析数量之间的关系,从而解决问题。
生3:
我还知道“替换”和“假设”的策略,如在购买商品时,如果出现“几支圆珠笔的价钱与几支钢笔的价钱相等”这样类似的情况,就可以采用等量替换的策略进行解决问题。
……
师:
解决问题的策略是多种多样的,在解决问题时要灵活运用,具体问题具体分析。
【设计意图:
做到“温故而知新”,为新课的学习做准备打基础】
师:
你能运用所学过的解决问题的策略解决下面的问题吗?
说说你想到了什么。
（课件出示:
教材第111页第12题）
生1:
我知道了求这个花坛的面积就是计算一个正方形与四个
圆的面积和。
生2:
已知正方形的边长是10m,根据公式“正方形的面积=边长×边长”就能算出正方形的面积。
以正方形的顶点为圆心的四个圆,每个圆中都要去掉
圆的面积,这样去掉的面积合起来正好是一个圆,所以花坛的面积其实就是正方形面积与三个圆的面积和,而已知圆的半径是3m,根据圆的面积计算公式“S=πr2”就能算出3个圆的面积和,最后求出花坛的面积。
师:
说得很有道理,试着自己算一算,看谁算得又对又快。
学生尝试独立解决问题;教师巡视了解情况,个别指导学习有困难的学生。
组织学生汇报交流,算法不强求统一,给予解答正确的学生以表扬鼓励。
师:
在解决这个问题的过程中,我们运用了什么策略?
生:
运用了转化的策略,把复杂的问题转化成了简单的问题。
师:
仔细看图,涂色部分是正方形,你能求出图中最大长方形的周长吗?
跟小组同学讨论一下。
（课件出示:
教材第111页思考题）
学生进行小组讨论;教师巡视了解情况。
师:
把你们讨论的结果说给大家听吧。
给学生足够的机会发表自己的想法,明确:
27+19其实就是图中最大长方形的长与宽的和,因为长方形的宽就是正方形的边长,而两数相加的时候是把正方形边长算了2次,所以最大长方形的周长是（27+19）×2=92（cm）。
【设计意图:
本课的重点要放在让学生体会策略的价值,并主动运用策略解决问题上,不把解决某一具体问题作为教学的主要目标。
在教学的过程中,教师要及时地引导学生对解决问题的过程进行反思,用自己的语言解释结果的合理性;鼓励学生认真倾听同伴的想法,在交流中进一步体会有关策略的特点,加深对策略的进一步理解】
师:
在本节课的学习中,有哪些收获?
学生自由交流各自的收获体会。
【设计意图:
梳理所学知识,将所学知识系统化】
练习十六
解决问题的策略
1.“形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神”是《数学课程标准（实验稿）》确定的课程目标之一,为了有效落实这一目标,在教学过程中,策略因有了思维的层层渗透与逐步深入而使学生印象深刻,它不再是可有可无的摆设,而是深入到学生的意识中,为策略思想的形成起了推波助澜的作用。
2.新课程标准指出:
努力使学生形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展学生的实践能力与创新精神。
通过解决问题的策略的教学,使我更加明白了“数学方法是数学的灵魂。
”数学的学习,对学生来说,能使其终身受用的绝不仅仅是知识,数学思想方法的获得是更重要的。
A类
赵叔叔买了1张餐桌和6把椅子,一共用去1080元。
已知1张餐桌的价钱相当于3把椅子的价钱。
1张餐桌的价钱是多少元?
1把椅子的价钱是多少元?
（考查知识点:
解决问题的策略;能力要求:
灵活运用解决问题的策略解答生活中的实际问题）
B类
学校买来两筐苹果共110千克。
现取出甲筐苹果的
和乙筐苹果的
共25千克送给幼儿园。
求甲、乙两筐原来各有苹果多少千克?
（考查知识点:
解决问题的策略;能力要求:
灵活运用解决问题的策略解答生活中的实际问题）
课堂作业新设计
A类:
方法一:
把餐桌换成椅子。
1080÷（6+3）=120（元） 120×3=360（元）
答:
1张餐桌的价钱是360元,1把椅子的价钱是120元。
方法二:
把椅子换成餐桌。
6÷3=2（张） 1080÷（1+2）=360（元） 360÷3=120（元）
答:
1张餐桌的价钱是360元,1把椅子的价钱是120元。
B类:
假设两筐中都取出苹果的
。
÷
=50（千克） 110-50=60（千克）
答:
甲筐原来有苹果50千克,乙筐原来有苹果60千克。
教材习题
教材第109~111页“练习十六”
1.（5+3）×2=16（厘米）
2.
3.（45-1-1）×（27-1-1）=1075（平方米）
4.原式=（9999+1）+（999+1）+（99+1）+9-3=11106
5.（75+83）×9÷2=711 平均数711÷9=79 其他方法略
6.一共要进行7场比赛才能产生冠军;如果有16支球队参加比赛,产生冠军要比赛15场;32支球队需要比赛31场。
7.
（1）3 16 4 4
（2）原式=6×6=36 原式=10×10=100
8.15 25 16 9
9.1×4=4（m） 3.14×4×2=25.12（cm）
10.相等;因为第二幅图中的涂色部分经过剪拼可以得到与第一幅图中涂色部分完全相同的图形。
11.4×4=16（平方厘米） 12×12÷2=72（平方厘米）
12.3.14×32×3+10×10=184.78（平方米）
13.40÷4=10（厘米） 10×10=100（平方厘米）
思考题:
（27+19）×2=92（cm）
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