全国初中数学竞赛辅导初1第25讲 自测题及答案Word下载.docx

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　　至少有一组解？

　　8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解．

　　9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？

自测题三

　　1．解关于x的方程

　　2．解方程

　　其中a＋b＋c≠0．

　　3．求（8x3-6x2+4x-7）3（2x5-3）2的展开式中各项系数之和．

　　4．液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72％，求桶的容量．

　　5．满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个？

这里[x]表示不超过x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3．

　　6．设P是△ABC内一点．求：

P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围．

　　7．甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离．

　　8．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？

　　9．设有n个实数x1，x2，…，xn，其中每一个不是+1就是-1，且

　　求证：

n是4的倍数．

自测题四

　　1．已知a，b，c，d都是正数，并且

a＋d＜a，c＋d＜b．

ac＋bd＜ab．

　　2．已知甲种商品的原价是乙种商品原价的1.5倍．因市场变化，乙种商品提价的百分数是甲种商品降价的百分数的2倍．调价后，甲乙两种商品单价之和比原单价之和提高了2％，求乙种商品提价的百分数．

　　3．在锐角三角形ABC中，三个内角都是质数．求三角形的三个内角．

　　4．某工厂三年计划中，每年产量递增相同，若第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分数就相同，而且第三年的产量恰为原计划三年总产量的一半，求原计划每年各生产多少台？

z=｜x+y｜+｜y+1｜+｜x-2y+4｜，

　　求z的最大值与最小值．

　　8．从1到500的自然数中，有多少个数出现1或5？

　　9．从19，20，21，…，98这80个数中，选取两个不同的数，使它们的和为偶数的选法有多少种？

自测题五

　　1．一项任务，若每天超额2件，可提前计划3天完工，若每天超额4件，可提前5天完工，试求工作的件数和原计划完工所用的时间．

　　2．已知两列数

2，5，8，11，14，17，…，2＋（200-1）×

3，

5，9，13，17，21，25，…，5＋（200-1）×

4，

　　它们都有200项，问这两列数中相同的项数有多少项？

　　3．求x3-3px＋2q能被x2＋2ax＋a2整除的条件．

　　4．证明不等式

　　5．若两个三角形有一个角对应相等．求证：

这两个三角形的面积之比等于夹此角的两边乘积之比．

　　6．已知（x-1）2除多项式x4＋ax3-3x2＋bx＋3所得的余式是x+1，试求a，b的值．

　　7．今有长度分别为1，2，3，…，9的线段各一条，可用多少种不同方法，从中选用若干条，使它们能围成一个正方形？

　　8．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的．问：

这10条直线最多能把平面分成多少部分？

　　9．边长为整数，周长为15的三角形有多少个？

初一奥数自测题解答

所以　　　　x=5000（元）．

所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．

3．因为

时，a-b≥0，即a≥b．即当b≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立．4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则

有

由②有　　　　　　　　　　2x+y=20，　　　　　　　　　　③

由①有y=12-x．将之代入③得

2x+12-x=20．

所以　　　　x=8（千米），于是y=4（千米）．

5．第n项为

所以

6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数．

7．设

由①式得（2p-1）（2q-1）=mpq，即

（4-m）pq+1=2（p+q）．

可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q．

（1）若m=1时，有

解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．

（2）若m=2时，有

因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解．

（3）若m=3时，有

解之得

故　　　　　　　　　　　　　　　　　p＋q=8．

8．因为x2+xy+y2=（x-y）2+3xy．由题设，9｜（x2+xy＋y2），所以3｜（x2＋xy＋y2），从而3｜（x-y）2．因为3是质数，故3｜（x-y）．进而9｜（x-y）2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3（x-y），便得3｜y；

若3｜y，同理可得，3｜x．

9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以

上述两式相加

另一方面，

S△PCD=S△CND＋S△CNP＋S△DNP．

因此只需证明

S△AND＝S△CNP＋S△DNP．

由于M，N分别为AC，BD的中点，所以

S△CNP=S△CPM-S△CMN

=S△APM-S△AMN

=S△ANP．

又S△DNP=S△BNP，所以

S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．

1．原式=2x（3x2-x）+3（3x2-x）-2x+2000

=2x×

1＋3×

1-2x+2000

=2003．

2．原来每天可获利4×

100元，若每件提价x元，则每件商品获利（4＋x）元，但每天卖出为（100-10x）件．如果设每天获利为y元，则

y＝（4＋x）（100-10x）

=400＋100x-40x-10x2

=-10（x2-6x＋9）＋90＋400

=-10（x-3）2＋490．

所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元．

3．因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°

（图1－104），所以

∠ADC＋∠BCD=180°

，

所以　　　　　　　　　　　　　　　AD∥BC．

又因为　　　　　　　　　　　　　　AB⊥BC，

由①，②

AB⊥AD．

4．依题意有

所以　　　　　　　a2+b2+c2=34．

5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即

｜x｜（｜y｜-2）+（｜y｜-2）=2，

（｜x｜+1）（｜y｜-2）=2．

因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以

所以有

6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则

因为　　　　　　　　　　　　　y=35000-x，

x（1＋0.0711×

3）（1＋0.0522）2

+（35000-x）（1+0.0786×

5）=47761，

1.3433x＋48755-1.393x=47761，

所以　　　　　　　　　　　0.0497x=994，

所以　　　　　　　　　　　x=20000（元），

y=35000-20000=15000（元）．

7．因为

（k－1）x＝m-4，①

m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解．

当k=1，m≠4时，①无解．

所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解．

8．由题设方程得

z＝3m-y．

x=19-y-4（3m-y）-m

=19+3y-13m．

原方程的通解为

其中n，m取任意整数值．

9．设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则

消去y，得12x-5z=180．它的解是

x=90-5t，z=180-12t．

代入原方程，得y=-230＋17t．故

x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t．

x=20，y=8，z=12．

因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20个．

1．化简得

6（a-1）x=3-6b+4ab，

当a≠1时，

2．将原方程变形为

由此可解得

x=a＋b+c．

3．当x=1时，

（8-6+4-7）3（2-1）2=1．

即所求展开式中各项系数之和为1．

依题意得

去分母、化简得

7x2-300x+800=0，

即　　　　　　　　　　　　　　（7x-20）（x-40）=0，

5．若n为整数，有[n＋x]=n＋[x]，所以

[-1.77x]=[-2x＋0.23x]

=-2x+[0.23x]．

由已知[-1.77x]=-2x，所以

-2x=-2x+[0.23x]，

所以[0.23x]=0．

又因为x为自然数，所以0≤0.23x＜1，经试验，可知x可取1，2，3，4，共4个．

6．如图1－105所示．在△PBC中有

BC＜PB＋PC，①

延长BP交AC于D．易证

PB＋PC＜AB＋AC．②

BC＜PB＋PC＜AB+AC，③

同理

AC＜PA＋PC＜AC＋BC，④

AB＜PA＋PB＜AC＋AB．⑤

③＋④＋⑤得

AB＋BC＋CA＜2（PA＋PB＋PC）＜2（AB＋BC＋CA）．

7．设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为（9x+16y）千米．依题意得

由①得

16y2=9x2，③

由②得16y=24＋9x，将之代入③得

即　　　　　　　　　　　　　　　　　（24＋9x）2=（12x）2．

于是

所以两站距离为

9×

8＋16×

6=168（千米）．

8．答案是否定的．对于2，2，2，首先变为2，2，3，其中两个偶数，一个奇数．以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数（数值可以改变，但奇偶性不变），所以，不可能变为19，1997，1999这三个奇数．

　。

又因为

所以，k是偶数，从而n是4的倍数．

1．由对称性，不妨设b≤a，则

ac＋bd≤ac＋ad=a（c＋d）＜ab．

2．设乙种商品原单价为x元，则甲种商品的原单价为1.5x元．设甲商品降价y％，则乙商品提价2y％．依题意有

1.5x（1-y％）+x（1＋2y％）=（1.5x＋x）（1＋2％），

化简得

1.5-1.5y+1+2y=2.5×

1.02．

所以y=0.1=10％，

所以甲种商品降价10％，乙种商品提价20％．

3．因为∠A+∠B＋∠C=180°

，所以∠A，∠B，∠C中必有偶数．唯一的偶质数为2，所以

∠C=2°

．

∠A+∠B=178°

由于需∠A，∠B为奇质数，这样的解不唯一，如

4．设每年增产d千台，则这三年的每一年计划的千台数分别为a-d，a，a＋d．依题意有

所以三年产量分别是4千台、6千台、8千台．

不等式组：

所以　　　　　　　　　　x＞2；

无解．

6．设原式为S，则

又

＜0.112-0.001=0.111．

因为

=0.105

即为所求．

7．由｜x｜≤1，｜y｜≤1得

-1≤x≤1，-1≤y≤1．

y＋1≥0，

x-2y+4≥-1-2×

1+4=1＞0．

z=｜x+y｜+（y+1）+（x-2y+4）

=｜x+y｜＋x-y＋5．

（1）当x+y+≤0时，

z=-（x+y）＋x-y+5=5-2y．

由-1≤y≤1可推得3≤5-2y≤7，所以这时，z的最小值为3、最大值为7．

（2）当x+y＞0时，

z=（x＋y）+（x-y+5）=2x+5．

由-1≤x≤1及可推得3≤2x+5≤7，所以这时z的最小值为3、最大值为7．

由

（1），

（2）知，z的最小值为3，最大值为7．

8．百位上数字只是1的数有100，101，…，199共100个数；

十位上数字是1或5的（其百位上不为1）有

2×

3×

10=60（个）．

个位上出现1或5的（其百位和十位上都不是1或5）有

8=48（个）．

再加上500这个数，所以，满足题意的数共有

100+60+48+1=209（个）．

9．从19到98共计80个不同的整数，其中有40个奇数，40个偶数．第一个数可以任选，有80种选法．第一个数如果是偶数，第二个数只能在其他的39个偶数中选取，有39种选法．同理，第一个数如果是奇数，第二个数也有39种选法，但第一个数为a，第二个为b与第一个为b，第二个为a是同一种选法，所以总的选法应该折半，即共有

种选法．

1．设每天计划完成x件，计划完工用的时间为y天，则总件数为xy件．依题意得

总件数

xy=8×

15=120（件），

即计划用15天完工，工作的件数为120件．

2．第一列数中第n项表示为2＋（n-1）×

3，第二列数中第m项表示为5＋（m-1）×

4．要使

2＋（n-1）×

3＝5+（m-1）×

4．

因为1≤n≤200，所以

所以　　m=1，4，7，10，…，148共50项．

3．

x3-3px+2q被x2＋2ax＋a2除的余式为

3（a2-p）x＋2（q＋a3），

所以所求的条件应为

4．令

5．如图1-106（a），（b）所示．△ABC与△FDE中，

∠A=∠D．现将△DEF移至△ABC中，使∠A与∠D重合，DE=AE＇，DF=AF＇，连结F＇B．此时，△AE＇F＇的面积等于三角形DEF的面积．

①×

②得

6．不妨设商式为x2+α·

x＋β．由已知有

x4＋ax3-3x2＋bx＋3

=（x-1）2（x2+α·

x＋β）+（x＋1）

=（x2-2x＋1）（x2＋α·

x＋β）＋x＋1

=x4+（α-2）x3+（1-2α＋β）x2

＋（1＋α-2β）x＋β+1．

比较等号两端同次项的系数，应该有

只须解出

所以a=1，b=0即为所求．

所以正方形的边长≤11．

下面按正方形边的长度分类枚举：

（1）边长为11：

9＋2=8+3=7＋4=6+5，

可得1种选法．

（2）边长为10：

9＋1=8＋2=7＋3=6+4，

（3）边长为9：

9=8+1=7+2=6+3=5+4，

可得5种选法．

（4）边长为8：

8=7+1=6+2=5+3，

（5）边长为7：

7=6+1=5＋2=4＋3，

（6）边长≤6时，无法选择．

综上所述，共有

1+1+5+1+1=9

种选法组成正方形．

8．先看6条不平行的直线，它们最多将平面分成

2+2＋3+4+5＋6=22个部分．

现在加入平行线．加入第1条平行线，它与前面的6条直线最多有6个交点，它被分成7段，每一段将原来的部分一分为二，故增加了7个部分．加入第2，第3和第4条平行线也是如此，即每加入一条平行线，最多增加7个部分．因此，这些直最多将平面分成

22+7×

4=50

个部分．

9．不妨设三角形的三边长a，b，c满足a≥b≥c．由b＋c＞a，a＋b＋c=15，a≥b≥c可得，15=a＋（b＋c）＞2a，所以a≤7．又15=a+b＋c≤3a，故a≥5．于是a=5，6，7．当a=5时，b＋c=10，故b=c=5；

当a=b时，b＋c=9．于是b=6，c=3，或b=5，c=4；

当a=7时，b+c=8，于是b=7，c=1，或b=6，c=2，或b=5，c=3，或b=4，c=4．

所以，满足题意的三角形共有7个．