论文高中数学的作用与应用.docx

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论文高中数学的作用与应用

高中数学的作用与应用

XX

XXXXXXXX学院XXXX专业XXXX级指导老师：

XXXX

摘要：

数学的应用在21世纪现代化随处可见，然而高中数学却是我们每个人了解数学的基础，是踏进数学领域的门槛，在本篇论文中，本人主要针对高中数学的一些应用论证了我们随处可见的高中数学的作用，从而了解到高中数学已经达到了一个不可或缺的作用。

以下论文主要描述了高中数学中的集合与简易逻辑，数列，组合以及概率的相关方面的应用，并举出了这些应用出现于现实生活中的典型例子，更进一步的论证了高中数学的不可或缺的作用.

关键词：

数学，作用，应用，重要性。

Thehighschoolmathematicstheroleandapplication

XXXXXX

AccountingProfessionalVocationalandTechnicalCollege

Grade2009Instructor：

ZhangLi

Abstract:

Applicationofmathematicsinthe21stcenturymodernizationeverywhere,howeverhighschoolmathsiseveryoneofusunderstandmathematicalbasisistostepintomathematicsfieldtothethresholdofthehouse,inthispaper,Imainlyaimedatthehighschoolmathematics,someapplicationsdemonsteateswecouldbeseeneverywhereinthehighschoolmathematicsrole,learnedisthehighschoolmathematicshasreachedanindispensablerole.Thefollowingthesismainlydescribesthehighschoolmathematicsofaggregateandsimplelogic,sequence,combinationandprobabilityofrelevantapplications,andthetheseapplicationsappearinreal-lifetypicalexample,furtherdemonstratesthehighschoolmathematicstheindispensablerole.

Keywords:

maths；role；application；importance.

调查结果显示，数学在现代社会生产、生活中各个方面的应用越来越广泛，数学已经渗透到各行各业，各个专业方向。

从卫星到核电站，从天气预报到家居生活，高技术的高精度、高速度、高自动、高效率等特点，无不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的控制来实现的。

产品、工程的设计与制造，产品的质量控制，经济和科技中的预测和管理，信息处理，资源开发和环境保护，经济决策等，无不需要数学的应用。

另外，数学文化、数学的思想方法，也处处影响人们的生产和生活。

根据调查与分析不难发现高中数学在生活中经常会被用到的有：

集合与简易逻辑，函数的解析式、图像，幂函数，指数函数，不等式的性质，解一元二次不等式，不等式的证明，解任意三角形，数列的通项公式，等差数列，等比数列，曲线与方程，直线方程，二元一次不等式的图像解法，简单线性规划问题，平面图形直观图的画法，加法原理，乘法原理，排列及排列数公式，组合及组合数公式，概率的意义，等可能事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，独立重复试验发生的概率的，离散型随机变量分布列、期望值、方差，抽样方法，正态分布，线性回归，数列的极限，函数的极限，函数的连续性，导数的意义，初等函数的求导，函数的最大与最小值，求简单函数的不定积分，图形的面积计算，图形的体积。

有时用到：

映射，反函数，指数函数，对数函数，数学归纳法，平面向量的运算，平面向量的坐标表示，平面向量的数量积，三角函数的诱导公式，三角函数的图像和性质，圆的方程，抛物线及其标准方程，平面及其基本性质，空间向量及其运算，用空间向量处理几何问题，总体分布的估计，复合函数的求导，微分的运算，利用导数研究函数的性质，求简单函数的定积分，微积分基本公式，积分的其他应用，解指数不等式，复数的向量表示。

偶尔用到：

解无理不等式，解对数不等式，直线与平面的位置关系，多面体，棱柱，球，椭圆及其标准方程，双曲线及其标准方程，椭圆、双曲线、抛物线的简单几何性质，二项式定理，复数的运算。

基本不用：

平面与平面的位置关系，异面直线，三角函数的和差积与积化和差，棱锥，复数的三角形式运算。

下面对于常用到的高中数学分别进行举例说明。

1集合与简易逻辑

1.1集合

研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题，我们把有限集合A中的个数记作card（A）.例如，A=｛a,b,c｝，则card（A）=3.有限集合中元素的个数，我们通常可以数出来。

看一个例子，学校小卖部进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共六种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共四种，两次一共进了几种货？

回答两次一共进了10（=6+4）种，显然是不对的，让我们试着从集合的角度考虑这个问题。

用集合A表示第一次进货的品种，集合B表示第二次进货的品种，就有

A={圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，

B={圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}。

这里card（A）=6，card（B）=4，两次一共进了几种货？

这个问题指的是求card（A∪B）.这个例子中，两次进的货有相同的品种，相同的品种数实际就是card（A∩B）,card（A）,card（B）,card（A∪B）,card（A∩B）之间有什么关系呢？

可以算出

card（A∪B）=8,card（A∩B）=2.

一般的，对于任意两个有限集合A,B，有

Card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）.

又如，学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。

两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？

分析：

设A为田径运动会参赛的学生的集合，B为球类运动会参赛的学生的集合，那么A∩B就是两次运动会都参赛的学生的集合。

card（A）,card（B）,card（A∩B）是已知的，于是可以根据上面的公式求出card（A∪B）.

解：

设A=｛田径运动会参赛的学生｝，

B=｛球类运动会参赛的学生｝，

那么，

A∩B={两次运动会都参赛的学生},

A∪B={所有参赛的学生}.

∴card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）

=8+12-3=17

答：

两次运动会中，这个班共有17名同学参赛。

1.2简易逻辑

简易逻辑主要需要注意的就是判断真假命题，其中需要理解到“或”、“且”、

“非”这些逻辑联结词。

在简易逻辑中，我们还需要注意理解四种命题，分别是原命题，逆命题，否命题，逆否命题。

从简易逻辑的学习中，我们已经知道，原命题为真，它的逆命题不一定为

真。

一般地，一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系。

1原命题为真，它的逆命题不一定为真。

例如，原命题“a=0,则ab=0”是真命题，它的逆命题“若ab=0，则a=0”

是假命题。

2原命题为真，它的否命题不一定为真。

例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，它的否命题“若a≠0,则ab≠0”

是假命题。

3原命题为真，它的逆否命题一定为真。

例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，它的逆否命题“若ab≠0,则a

≠0”是真命题。

2数列

2.1等差数列

等差数列的应用在生活中的应用最显著也最频繁使用到的就是储蓄。

储蓄与

人们的日常生活密切相关，它对支援国家建设、安排好个人与家庭生活具有积极意义。

计算储蓄所得利息的基本公式是

利息=本金×存期×利率.

根据国家的规定，个人取得储蓄存款利息应依法纳税，计算公式为

应纳税额=利息全额×税率，

其中的税率为20%。

下面介绍两种储蓄。

1整存整取定期储蓄

这是指一次存入本金，完成约定存期后一次取出本金及其利息的一种储蓄。

中国人民银行在某段时间内规定的这种储蓄的年利率如下。

存期

1年

2年

3年

5年

年利率（%）

2.25

2.43

2.70

2.88

表1formone

N=lg1.6/lg1.1≈0.20/0.041≈5（年）。

答：

约5年内可以使总销售量达到30000台。

组合及其相关内容例如，按这种方式存入5000元，存期3年，那么3年到期时所得利息为

5000×3×2.70%=405（元），

应纳税

405×20%=81（元），

实际取出

5000+405-81=5342（元）。

2活期储蓄

这是指存期不定、可以随时存取的一种储蓄，计算利息时，每年按360天，每月按30天计算存期。

例如，7月15日存入500元，同年8月25日全部取出，日利率是0.0027%，由于存期是40天（算头不算尾），所以应得利息为

500×40×0.00275%=0.55（元）。

应纳税

0.55×20%=0.11（元）。

实际取出

500+0.55-0.11=500.44（元）。

如果遇到利率调整，常常分段进行计算利息。

下面介绍分期存入后一次取出的一种储蓄的利息计算。

例如，某人从1月起，每月第一天存入100元，到12月最后一天取出全部本金及其利息。

已知月利率是0.165%，那么实际取出多少钱？

为回答这一问题，先来研究这类问题的一般计算公式，设每期期初存入金额A，连存n次，每期的利率为p，那么到第n期期末时，本金为nA，且各期存款的利息如下。

第1期存款利息：

Apm,

第2期存款利息：

Ap（n-1）,

……

第（n-1）期存款利息：

Ap×2，

第n期存款利息：

Ap×1.

于是，应得到的全部利息就是上面各期利息之和：

Sn=Ap＋Ap×2＋…＋Ap（n－1）＋Apn

=Ap（1+2+…+n）

=1/2·n（n+1）Ap.

应纳税

1/2·n（n+1）Ap×20%=1/10·n（n+1）Ap.

实际取出

nA+1/2·n（n+1）Ap－1/10·n（n+1）Ap

=A[n+2/5·n（n+1）p].

用这个公式求解上面提出的问题时，A=100，n=12，p=0.165%，实际取出

100﹙12+2/5×12×13×0.165%﹚=1210.30（元）。

2.2等比数列

等比数列的应用让我们用举例子来了解。

例1，培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？

解：

由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，逐代的种子数组成等比数列，记为﹛an﹜，其中a₁=120,q=120,因此，

a5=120×1205-1≈2.5×1010.

答:

到第五代大约可以得到种子2.5×1010粒。

例2，某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？

解：

根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列﹛an﹜,其中

a₁=5000,q=1+10%=1.1,Sn=30000,

于是得到

5000（1-1.1n）/（1-1.1）=30000.

整理后，得

1.1n=1.6.

两边取对数，得

nlg1.1=lg1.6.

用计算器算得

n=lg1.6/lg1.1≈0.20/0.041≈5（年）

答：

约5年内可以使总销量达到30000台。

3组合的应用及其相关内容

组合的应用可以概括出两个重要原理

3.1分类计数原理

看下面的问题，

从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。

一天中，火车有3班，汽车有2班。

那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有3+2=5种不同的走法。

故，一般地，有如下原理：

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法。

那么完成这件事共有

N=m1+m2+…+mn

种不同的方法。

3.2分步计数原理

再看下面问题，

从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。

一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

这个问题与前一问题不同，在前一问题中，采用乘火车或乘汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地。

而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到达乙地。

这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2=6种不同的走法。

故，一般地，有如下原理：

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法。

那么完成这件事共有

N=m1×m2×…×mn

种不同的方法。

在日常生活中，我们常常为了防盗而遇到密码的设定等等相关的问题，密码

锁更是随处

可见。

密码锁的使用正是运用组合以及排列的合并使用而设置的。

例1，一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？

解：

由于号码锁的每个拨号盘有从0到9这10个数字，每个拨号盘上的数字有10种取法。

根据分布计算原理，4个拨号盘上的各取1个数字组成的四位数字号码的个数是

N=10×10×10×10=10000.

答：

可以组成10000个四位数字号码。

例2，在100件产品中，有98件合格品，2件次品。

从这100件产品中任意抽出3件。

（1）一共有多少种不同的抽法？

（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？

（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？

解：

（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数

C3100=（100×99×98）/（3×2×1）=161700.

（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有C12种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C298种，因此抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法的种数是

C12·C298=2×4753=9506.

（3）解法①：

从100件产品中抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品这两种情况。

在第

（2）小题中已经求得其中1件是次品的抽法有C12·C298种。

同理，抽出的3件中恰好有2件是次品的抽法有C22·C198种，因此根据分类计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法的种数是

C12·C298+C22·C198=9506+98=9604.

解法②：

抽出的3件中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法的种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即

C3100-C398=161700-152096=9604.

答：

从100件产品中取出3件共有161700种抽法，抽出3件中恰好有1件是次品的抽法有9506种抽法，抽出3件中至少有1件是次品的抽法有9604种。

例3，从4名男同学和6名女同学中选出7人排成一排.

（1）如果要选出3名男同学和4名女同学，共有多少种排法？

（2）如果选出的7人中，4名女同学必须排在一起，共有多少种排法？

（3）如果选出的7人中，3名男同学必须站在中间，共有多少种排法？

解：

（1）从4名男同学中选出3人，有C34种方法；从6名女同学中选出4人，有C46种方法.根据分步计数原理，选出7人共有C34·C61种方法.对于选出的每7个人进行全排列，有A77种方法，因此所求的方法种数是

C34·C46·A77=4×15×7!

=302400.

答：

共有302400种排法.

（2）由第

（1）小题知道，选出3名男同学、4名女同学有C34·C46种方法.在将选出的7人进行排列时，由于4名女同学必须排在一起，可先将她们看成一个整体，作为一个元素与3名男同学进行排列，然后将4名女同学进行排列，于是所求的排法种数是

C34·C46·A44·A44=4×15×24×24=34560.

答：

共有34560种排法.

（3）解法1：

在选出的7人中，由于3名男同学必须站在中间，有A33种排法，4名女同学分在两侧，有A44种排法，因此所求的排法种数是

C34·C46·A33·A44=4×15×3!

×4!

=8640.

答：

共有8640种排法.

解法2：

从4名男同学中选出3人进行排列，有A34种方法；从6名女同学中选出4人进行排列，有A46种方法.根据题意，所求的排法种数是

A34·A46=8640.

4概率

4.1随机事件的概率

随机事件的概率，一般可以通过大量重复试验求得其近似值.但对于某些随机事件,也可以不通过重复试验,而只通过对一次试验中可能出现的结果的分析来计算其概率.

例1,掷一枚均匀的硬币,可能出现的结果有

正面向上,反面向上

这2个.由于硬币是均匀的,可以认为出现这2种结果的可能性是相等的,即可认为出现“正面向上”的概率是1/2,出现“反面向上”的概率也是1/2.这与前面表1中提供的大量重复试验的结果是一致的.

又如,抛掷一个骰子,它落地时向上的数可能是情形

1,2,3,4,5,6

之一,即可能出现的结果有6种.由于骰子是均匀的,可以认为这6种结果出现的可能性都相等,即出现每一种结果的概率都是1/6.这种分析与大量重复试验的结果也是一致的.

现在进一步问:

骰子落地时向上的数是3的倍数的概率是多少?

由于向上的数是3,6这2种情形之一出现时,“向上的数是3的倍数”这一事件（记作事件A）发生，因此事件A的概率

P（A）=2/6=1/3.

一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1/n.如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率

P（A）=m/n.

例2，一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.

4.1共有多少种不同的结果？

4.2摸出2个黑球有多少种不同的结果？

4.3摸出2个黑球的概率是多少？

解：

（1）从装有4个球的口袋内摸出2个球，共有

C24=6

种不同的结果，即由所有结果组成的集合I含有6个元素。

（如图1-1）

（2）从3个黑球中摸出2个球，共有C23=3种不同的结果，这些结果组成I的一个含有3个元素的子集A,如图1-1所示.

答：

从口袋内摸出2个黑球有3种不同的结果.

（3）由于口袋内4个球的大小相等，从中摸出2个球的6种结果是等可能的.又在这6种结果中，摸出2个黑球的结果有3种，因此从中摸出2个黑球的概率

P（A）=3/6=1/2.

答：

从口袋内摸出2个黑球的概率是1/2.

例3，储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每位上的数字可在0到9这10个数字中选取.

（1）使用储蓄卡时如果随意按下一个四位数字号码，正好按对这张储蓄卡的密码的概率只有多少？

（2）某人未记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时如果前三位号码仍按本卡密码，而随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？

解：

（1）由于储蓄卡的密码是一个四位数字号码，且每位上的数字有从0到9这10种取法，根据分步计数原理，这种号码共有104个.又由于是随意按下一个四位数字号码，按下其中哪一个号码的可能性都相等，可得正好按对这张储蓄卡的密码的概率

P1=1/104

答：

正好按对这张储蓄卡的密码的概率只有1/104.

（2）按四位数字号码的最后一位数字，有10种按法.由于最后一位数字是随意按下的，按下其中各个数字的可能性相等，可得按下的正好是密码的最后一位数字的概率

P2=1/10.

答：

正好按对密码的概率是1/10.

4.2互斥事件有一个发生的概率

例如，某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：

年降水量

（单位：

mm）

[100,150﹚

[150,200﹚

[200,250﹚

[250,300﹚

概率

0.12

0.25

0.16

0.14

表2formtwo

求年降水量在[100，200﹚（mm）范围内的概率；

（1）求年降水量在[150，300﹚（mm）范围内的概率.

解：

（1）记这个地区的年降水量在[100，150﹚、[150，200﹚、[200，250﹚、[250，300﹚（mm）范围内分别为事件A、B、C、D.这4个事件是彼此互斥的.根据互斥事件的概率加法公式，年降水量在[100，200﹚（mm）范围内的概率是

P（A+B）=P（A）+P（B）=0.12+0.25=0.37.

答：

年降水量在[100，200﹚（mm）范围内的概率是0.37.

（2）年降水量在[150，300﹚（mm）范围内的概率是

P（B+C+D）=P（B）+P（C）+P（D）

=0.25+0.16+0.14=0.55.

答：

年降水量在[150，300﹚（mm）范围内的概率是0.55.

4.3相互独立事件同时发生的概率

例如，甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：

（1）2人都击中目标的概率；

（2）其中恰有1人击中目标的概率；

（3）至少有1人击中目标的概率.

解：

（1）记“甲、乙2人各射击1次，甲击中目标”为事件A,“甲、乙2人各射击1次，乙击中目标”为事件B.由于甲（或乙）是否击中，对乙（或甲）击中的概率是没有影响的，因此A与B是相互独立事件.又“两人各射击1次，都击中目标”就是事件A·B发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到

P（A·B）=P（A）·P（B）

=0.6×0.6=0.36.

答：

2人都击中目标的概率是0.36.

（2）“2人各射击1次，恰有1人击中目标”包括两种情况：

一种是甲击中、乙未击中（事件A·

发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件

·B发生）.根据题意，这两种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件A·

与

·B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是

P（A·

）+P（

·B）

=P（A）·P（

）+P（

）·P（B）

=0.6×（1－0.6）+（1－0.6）×0.6

=0.24+0.24

=0.48

答：

其中恰有1人击中目标的概率是0.48.

（3）解法1：

“2人各射击1次，至少有1人击中目标”的概率

P=P（A·B）