邓肯-张模型公式推导-高土(精选.).doc
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王吉亮（2006631011）
邓肯－张模型是一个非线性本构模型，既然是一个本构模型，可想而之他反应的是应力与应变之间的关系。
说它是非线性的，那么反映应力应变关系的模量就不是一个常数Ｅ那么简单。
在介绍该模型之前，先要介绍一个概念，就是反映非线性关系的增量广义胡克定律：
（1）
1963年，康纳（Kondner）根据大量土的三轴试验的应力应变关系曲线，提出可以用双曲线拟合出一般土的三轴试验曲线，即：
（2）
其中，a、b为试验常数。
对于常规三轴压缩试验，。
邓肯等人根据这一双曲线应力应变关系提出了一种目前被广泛的增量弹性模型，一般被称为邓肯－张（Duncan-Chang）模型。
在常规三轴压缩试验中，可以写成：
（3）
将常规三轴压缩试验的结果按的关系进行整理，则二者近似成线性关系（见图1）。
其中，a为直线的截距；b为直线的斜率。
在常规三轴压缩试验中，由于，所以切线模量为
图1线性关系图
（4）
在试验的起始点，，，则：
，这表明a表示的是在这个试验中的起始变形模量Ei的倒数。
如果，则：
（5）
由此可以看出b代表的是双曲线的渐近线所对应的极限偏差应力的倒数。
在土的试样中，如果应力应变曲线近似于双曲线关系，则往往是根据一定的应变值（如）来确定土的强度，而不可能在试验中使无限大，求取；对于有峰值点的情况，取，这样。
定义破坏比Rf为：
（6）
而
（7）
将上式与代入
（8）
得到：
（9）
该式表示为应变的函数，使用时不方便，可将表示为应力的函数形式。
由式
（10）
可以得到，将该式代入得到
将式和代入上式得到：
（11）
根据莫尔－库仑强度准则，有
（12）
如果绘制与的关系图，可以发现二者近似呈直线关系，所以得式：
（13）
其中，为大气压（＝101.4k），量纲与相同；K、n为试验常数，分别代表与直线的截距和斜率。
将
（14）
和
代入，则得到：
（15）
可见切线变形模量中包括5个材料常数K、n、、c、。
2切线泊松比（poisson'sratio）
Duncan等人根据一些试验资料，假定在常规三轴压缩试验中轴向应变与侧向应变之间也存在双曲线关系
（16）
或者
（17）
从上式，试验得到的与的关系可近似为直线关系，从而确定截距f与斜率D。
从式上式可见当时，
即为初始泊松比。
见图（a）。
D为关系渐近线的倒数，见图（b）。
试验表明土的切线
泊松比是与试验的围压有关的。
它们画在单对数坐标中，可假设是一条直线，见图（c），这样：
（18）
G、F为试验常数，其确定见图（c）。
将（16）式微分：
（19）
将表达式代入式（19），则得到
在切线泊松比式中又引入G、F、D三个材料常数。
加上中五个常数，共有八个常数。
根据弹性理论，。
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