相似三角形六大证明技巧.docx
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相似三角形六大证明技巧
第2讲相似三角形6大证明技巧
模块一］相似三角形证明方法
相似三角形的判定方法总结：
1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
2.三边成比例的两个三角形相似•（SSS）
3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似•（SAS）
4.两角分别相等的两个三角形相似.（AA）
5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似（HL）
相似三角形的模型方法总结：
“反A”型与“反X”型.
示意图
结论
C厶
反A型：
如图，已知△ABC,ZADE=/CJUMDEs公CB
（AA）,•••AEAC=ADAB.
若连CD、BE,进而能证明△ACDs^ABE（SAS）
反X型：
如图，已知角/BAO=/CDO，^UAAOBs/DOC
（AA）,/OAOC=ODOB.若连AD,BC,进而能证明/AODs/BOC.
“类射影”与射影模型
示意图
结论
CB
类射影：
如图，已知△ABC,/ABD=/C,^U/ABDs/
ACB（AA）,•AB2=ADAC.
C
/
、
K
射影定理
如图，已知/ACB=90°,CH丄AB于H，贝U
222
ACAHAB,BCBHBA,HCHAHB
AHB
13
14
“旋转相似”与“一线三等角”
示意图
结论
A
C
旋转相似：
ABAD
如图，已知△ABCs/ADE，则————,/
ACAE
BAC=/DAE,「./BAD=/CAE,
•••△BADs△:
AE（SAS）
DE
—
一线三等角：
如图，已知/A=/C=ZDBE,贝^ADABs/BCE（AA）
ABC
巩固练习
反A型与反X型
射影定理
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模块二1比例式的证明方法
通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A型，X型，线束
型），也离不开上述的6种“相似模型”•但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题•合理的思维方法，能让模
型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。
在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧
技巧一：
三点定型法
技巧二：
等线段代换
技巧三：
等比代换
技巧四：
等积代换
技巧五：
证等量先证等比
技巧六：
几何计算
【例1】如图，平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F,求证:
dccf-
AEAD
【例2】如图，△ABC中，BAC90,M为BC的中点，DMBC交CA的延长线于
D,交AB于E•求证：
AM2MDME
技巧二：
等线段代换
悄悄地替换比例式中的某条线段…
【例4】如图，在△ABC,AD平分ZBAC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线
于F,求证：
FD2FBFC
ECAD•求证：
ACBECEAD-
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【例6】如图，△ACB为等腰直角三角形，AB=AC，/BAC=90°,DAE=45°，求证:
2
ABBECD
延长BP交AC于E，交CF于F•求证：
BPPEPF.
技巧三：
等比代换
【例9]如图，在△ABC中，已知A90时，ADBC于D,E为直角边AC的中点,
过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：
ABAFACDF•
A
【例10】如图，在△ABC中（AB>AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使
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ADAE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：
BPCECPBD
【例11】如图，△ABC中，BD、CE是高，EHBC于H、交BD于G、交CA的延长线于M.求证：
HEHGMH.
求证：
/AEF=ZC
CBDECD.
【例14】在Rt△ABC中，AD丄BC,P为AD中点，MN丄BC,求证MN2ANNC
技巧五：
证等量先证等比
【例15】已知，平行四边形ABCD中，E、F分别在直线AD、CD上，EF//AC,BE、BF
分别交AC于M、N.,求证：
AM=CN.
【例16】已知如图AB=AC，BD//AC，AB//CE,过A点的直线分别交BD、CE于D、E.求证：
AM=NC，MN//DE.
E
【例17】如图，△ABC为等腰直角三角形，点P为AB上任意一点，PF丄BC,PE丄AC,
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AF交PE于N,BE交PF于M.，求证：
PM=PN,MN//AB.
【例18】如图，正方形BFDE内接于△ABC,CE与DF交于点N,AF交ED于点M,CE
与AF交于点P.求证：
（1）MN//AC;
（2）EM=DN.
【例20】（探）如图，梯形ABCD的底边AB上任取一点M，过M作MK〃BD,MN//AC,
分另U交AD、BC于K、N，连KN,分另U交对角线AC、BD于P、Q,求证：
KP=QN.
技巧六：
几何计算
【例21】（2016年四月调考）如图，在△ABC中，AC>AB,AD是角平分线，AE是中线,
BF丄AD于G,交AC于点M,EG的延长线交AB于点H.
（1）求证：
AH=BH,
23
【例22】（2016七一华源）如图：
正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、
CD上，/1=Z2=Z3=a.求证：
（1）EF+EG=AE
（2）求证：
CE+CG=AF
2
HCHAHB
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