必修三1.3算法初步算法案例.ppt

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1.3算法案例,案例1辗转相除法与更相减损术,35,915,问题1：

在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？

创设情景，揭示课题,1830,2,3,18和30的最大公约数是23=6.,先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.,问题2:

我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？

比如求8251与6105的最大公约数?

研探新知,1.辗转相除法:

例1求两个正数8251和6105的最大公约数。

分析：

8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数.,解：

8251610512146,显然8251与6105的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。

研探新知,1.辗转相除法:

例1求两个正数8251和6105的最大公约数。

解：

8251610512146;,6105214621813;214618131333;18133335148;333148237;1483740.,则37为8251与6105的最大公约数。

以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。

也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。

完整的过程,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=335+148,33=1482+37,148=374+0,显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数,S1：

用大数除以小数,S2：

除数变成被除数，余数变成除数,S3：

重复S1，直到余数为0,利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：

第一步：

用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；（m=nq0+r0）第二步：

若r00，则n为m，n的最大公约数；若r00，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；（n=r0q1+r1）第三步：

若r10，则r0为m，n的最大公约数；若r10，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；（r0=r1q2+r2）依次计算直至rn0，此时所得到的rn-1即为所求的最大公约数。

练习1：

利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数.,20723=40815+318;4081=31812+265;318=2651+53;265=535+0.,2.更相减损术:

我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。

更相减损术求最大公约数的步骤如下：

可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

翻译出来为：

第一步：

任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。

若是，用2约简；若不是，执行第二步。

第二步：

以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。

继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。

例2用更相减损术求98与63的最大公约数.,解：

由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，,即：

986335;633528;35287;28721;21714;1477.,所以，98与63的最大公约数是7。

先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4,练习2：

用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。

3.辗转相除法与更相减损术的比较:

（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.,案例2秦九韶算法,教学设计,问题1设计求多项式f（x）=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法,并写出程序.,点评:

上述算法一共做了15次乘法运算,5次加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高.,这析计算上述多项式的值,一共需要9次乘法运算,5次加法运算.,问题2有没有更高效的算法?

分析:

计算x的幂时,可以利用前面的计算结果,以减少计算量,即先计算x2,然后依次计算,的值.,第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到结果.,问题3能否探索更好的算法,来解决任意多项式的求值问题?

f（x）=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=（2x4-5x3-4x2+3x-6）x+7=（2x3-5x2-4x+3）x-6）x+7=（2x2-5x-4）x+3）x-6）x+7=（2x-5）x-4）x+3）x-6）x+7,v0=2v1=v0x-5=25-5=5v2=v1x-4=55-4=21v3=v2x+3=215+3=108v4=v3x-6=1085-6=534v5=v4x+7=5345+7=2677,所以,当x=5时,多项式的值是2677.,这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.,例1:

用秦九韶算法求多项式f（x）=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.,解法一:

首先将原多项式改写成如下形式:

f（x）=（2x-5）x-4）x+3）x-6）x+7,v0=2v1=v0x-5=25-5=5v2=v1x-4=55-4=21v3=v2x+3=215+3=108v4=v3x-6=1085-6=534v5=v4x+7=5345+7=2677,所以,当x=5时,多项式的值是2677.,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即,练一练:

用秦九韶算法求多项式f（x）=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值.,解:

原多项式先化为:

f（x）=2x6-5x5+0x4-4x3+3x2-6x+0=（2x-5）x+0）x-4）x+3）x-6）x+0,注意:

n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项应将其系数补0.,v0=2v1=v0x-5=25-5=5v2=v1x+0=55+0=25v3=v2x-4=255-4=125-4=121v4=v3x+3=1215+3=605+3=608v5=v4x-6=6085-6=3040-6=3034v6=v5x+0=30345+0=15170+0=15170,f（x）=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+a1x+a0.,我们可以改写成如下形式:

f（x）=（anx+an-1）x+an-2）x+a1）x+a0.,求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即,v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即,一般地,对于一个n次多项式,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,vn=vn-1x+a0.,这样,求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.,案例3进位制,问题1我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?

不同的进位制之间又有什么联系呢?

进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的一种记数系统，约定满二进一,就是二进制;满十进一,就是十进制;满十六进一,就是十六进制;等等.,“满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是几.,可使用数字符号的个数称为基数.基数都是大于1的整数.,如二进制可使用的数字有0和1,基数是2;十进制可使用的数字有0,1,2,8,9等十个数字,基数是10;十六进制可使用的数字或符号有09等10个数字以及AF等6个字母（规定字母AF对应1015）,十六进制的基数是16.,注意:

为了区分不同的进位制,常在数字的右下脚标明基数,.,如111001

（2）表示二进制数,34（5）表示5进制数.,十进制数一般不标注基数.,十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表示2个十,1表示1个一,从而它可以写成下面的形式:

3721=3103+7102+2101+1100.,思考：

把二进制数1011

（2）转换成十进制数,1011

（2）=123+022+121+120.,同理:

3421（5）=,C7A16（16）=,353+452+251+150.,12164+7163+10162+1161+6160.,一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式,anan-1a1a0（k）（0ank,0an-1,a1,a0k）,意思是:

（1）第一个数字an不能等于0;

（2）每一个数字an,an-1,a1,a0都须小于k.,k进制的数也可以表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即,anan-1a1a0（k）=ankn+an-1kn-1+a1k1+a0k0.,注意这是一个n+1位数.,二进制只用0和1两个数字,这正好与电路的通和断两种状态相对应,因此计算机内部都使用二进制.计算机在进行数的运算时,先把接受到的数转化成二进制数进行运算,再把运算结果转化为十进制数输出.那么二进制数与十进制数之间是如何转化的呢?

练习:

把二进制数110011

（2）化为十进制数.,解:

110011

（2）=125+124+023+022+121+120=132+116+12+1=51.,把三进制数10221（3）化为十进制数吗?

解:

10221（3）=134+033+232+231+130=81+18+6+1=106.,k进制数转化为十进制数的方法,先把k进制的数表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即,anan-1a1a0（k）=ankn+an-1kn-1+a1k1+a0k0.,再按照十进制数的运算规则计算出结果.,例2:

把89化为二进制的数.,分析:

把89化为二进制的数,需想办法将89先写成如下形式,89=an2n+an-12n-1+a121+a020.,89=64+16+8+1=126+025+124+123+022+021+120=1011001

（2）.,但如果数太大,我们是无法这样凑出来的,怎么办?

89=442+1,44=222+0,22=112+0,11=52+1,5=22+1,2=12+0,1=02+1,892=441442=220222=110112=5152=2122=1012=01,89=1011001

（2）,可以用2连续去除89或所得商（一直到商为0为止）,然后取余数-除2取余法.,441,把89化为二进制的数.,我们可以用下面的除法算式表示除2取余法:

220,110,51,21,10,01,把算式中各步所得的余数从下到上排列,得到,89=1011001

（2）.,这种方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法,称为除k取余法.,例3:

把89化为五进制的数.,解:

以5作为除数,相应的除法算式为:

174,32,03,89=324（5）.,问题2把三进制数10221（3）化为二进制数,解:

第一步:

先把三进制数化为十进制数:

10221（3）=134+033+232+231+130=81+18+6+1=106.,第二步:

再把十进制数化为二进制数:

106=1101010

（2）.,