1.2-充分、完备统计量.ppt

1.2-充分、完备统计量.ppt

《1.2-充分、完备统计量.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1.2-充分、完备统计量.ppt（26页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

1.2充分统计量与完备统计量,充分统计量定义:

设是来自总体X具有分布函数当给定时，若样本的条件分布与参数无关，则称是的充分统计量。

一、充分统计量含义,样本中包含关于总体分布中未知参数的信息，是因为样本的联合分布与参数有关。

对统计量T，如果已经知道它的值以后，样本的条件分布就与参数无关。

即在统计量T中包含了参数的全部信息。

1.用定义证明T是充分统计量,例1设总体服从两点分布，即是来自总体的一个样本，证明样本均值是参数的充分统计量证明：

由于,当已知时，样本的条件概率,例2.设是来自泊松分布的一个样本，证明是的充分统计量.,证明：

由泊松分布性质知,给定T=t即,的条件分布为,后，,例3设是来自正态总体的样本，证明是充分统计量.,证明：

由条件知在给定后，对任意有，样本的条件概率密度为：

2.因子分解定理,定理（费希尔奈曼准则）设是来自总体X具有分布函数则为的充分统计量的充要条件是：

样本的联合分布密度函数可以分解为,用因子分解定理证明充分统计量,例1设总体服从两点分布，即是来自总体的一个样本，证明样本均值是参数的充分统计量证明：

由于,例2设是来自泊松分布的一个样本，证明样本均值是的充分统计量,证明：

例3设是来自正态总体的样本，证明是的充分统计量,证明：

样本的联合分布密度为：

例4设是来自正态总体的一个样本，证明是的充分统计量,证明：

样本的联合分布密度为：

定理设是单值可逆函数，则也是的充分统计量,结论：

1统计量用来推测参数的值;2充分统计量把可能丢失信息的统计量筛选;3最优统计量在充分统计量之中;4一个参数的充分统计量不唯一.问题：

在什么情况下，它是唯一的？

二、完备统计量定义设总体的分布函数族为若对任意一个满足的随机变量，总有则称为完备的分布函数族,若一统计量T的分布函数族是完备的，则该统计量为完备统计量.,性质,例设是来自总体服从两点分布的样本，样本均值是参数的充分统计量，验证也是完备统计量证明：

由于,如果一个统计量既是充分统计量，又是完备统计量，则称为充分完备统计量。

定理：

设来自总体的一个样本，的充分完备统计量,如果无偏估计存在，则是唯一的最优无偏估计量,定理设来自总体若样本的联合分布可以分解为,则是的充分完备统计量。

例5设是来自正态总体的一个样本，证明是的充分完备统计量,证明：

样本的联合分布密度为：

是的充分完备统计量。