二次函数难题.docx

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二次函数难题

数学二次函数

一．选择题（共2小题）

1．如图，已知动点P在函数y=

（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：

y=﹣x+1交于点E，F，则AF•BE的值为（　　）

A．

4

B．

2

C．

1

D．

2．如图，抛物线y=x2﹣

x﹣

与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

二．解答题（共28小题）

3．已知：

关于x的方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0．

（1）当m取何整数值时，关于x的方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0的根都是整数；

（2）若抛物线y=mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3向左平移一个单位后，过反比例函数y=

（k≠0）上的一点（﹣1，3），

①求抛物线y=mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3的解析式；

②利用函数图象求不等式

﹣kx＞0的解集．

4．已知：

关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+n）x+m+n=0①．

（1）求证：

方程①有两个实数根；

（2）求证：

方程①有一个实数根为1；

（3）设方程①的另一个根为x1，若m+n=2，m为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于x的二次函数y=mx2﹣（2m+n）x+m+n的解析式；

（4）在（3）的条件下，把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC=5，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离．

5．某商场以80元/件的价格购进西服1000件，已知每件售价为100元时，可全部售出．如果定价每提高1%，则销售量就下降0.5%，问如何定价可使获利最大（总利润=总收入﹣总成本）？

6．（2004•长沙）如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连接AP，过P作∠APE=∠B，交DC于E．

（1）求证：

△ABP∽△PCE；

（2）求等腰梯形的腰AB的长；

（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE：

EC=5：

3？

如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．

7．如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P作PE⊥CP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，

（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围；

（2）如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长；

（3）是否存在点P，使△APE沿PE翻折后，点A落在BC上？

证明你的结论．

8．（2007•义乌市）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

9．如图，在直角坐标系xoy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（其中A在原点左侧，B在原点右侧），C为抛物线上一点，且直线AC的解析式为y=mx+2m（m≠0），∠CAB=45°，tan∠COB=2．

（1）求A、C的坐标；

（2）求直线AC和抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否存在点D，使得四边形ABCD为梯形？

若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2006•达州）如图，抛物线y=﹣

x2+bx+2交x轴于A、B两点（点B在点A的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=

，O为坐标原点．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求证：

∠ACB是直角；

（3）抛物线上是否存在点P，使得∠APB为锐角？

若存在，求出点P的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

11．（A）抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等．直线y=3x﹣7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段BM上运动（点P不与点B、M重合），设OQ的长为t，四边形PQOC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围．

（3）对于二次三项式x2﹣10x+36，小明同学作出如下结论：

无论x取什么实数，它的值都不可能等于11．你是否同意他的说法？

说明你的理由．

12．（2012•赤峰）如图，抛物线y=x2﹣bx﹣5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：

|OA|=5：

1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线AF的解析式；

（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？

若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

13．如图1，抛物线y=nx2﹣11nx+24n（n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线上另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．

（1）填空：

点B的坐标为（　_________　），点C的坐标为（　_________　）；

（2）连接OA，若△OAC为等腰三角形．

①求此时抛物线的解析式；

②如图2，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，点M为①中所求的抛物线上点A与点C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作垂直于x轴的直线l与CD交于点N，试探究：

当m为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

14．（2008•濮阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=O和x=4时，y的值相等．直线y=4x﹣16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）P为线段OM上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q．若点P在线段OM上运动（点P不与点O重合，但可以与点M重合），设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

（3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？

如果S有最大值，请求出S的最大值，并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由；

（4）随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC？

如果存在，请求出t的值．

15．（2002•哈尔滨）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等．直线y=3x﹣7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段BM上运动（点P不与点B、M重合），设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

（3）在线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？

若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

16．如图，已知抛物线C1：

y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1；

（1）求a的值；

（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．

17．如图，已知△ABC内接于半径为4的☉0，过0作BC的垂线，垂足为F，且交☉0于P、Q两点．OD、OE的长分别是抛物线y=x2+2mx+m2﹣9与x轴的两个交点的横坐标．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在直线l，使它经过抛物线与x轴的交点，并且原点到直线l的距离是2？

如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由．

18．（2011•永州）如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（﹣2，﹣1），B（0，7）两点．

（1）求该抛物线的解析式及对称轴；

（2）当x为何值时，y＞0？

（3）在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．

19．（2009•江西）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．

20．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点D．

（1）求点A、B、D的坐标；

（2）若点C在该抛物线上，使△ABD≌△BAC．求点C的坐标，及直线AC的函数表达式；

（3）P是

（2）中线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值．

21．（2004•哈尔滨）已知：

抛物线y=﹣x2﹣（m+3）x+m2﹣12与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜0，x2＞0，抛物线与y轴交于点C，OB=2OA．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上，点A的左侧，求一点E，使△ECO与△CAO相似，并说明直线EC经过

（1）中抛物线的顶点D；

（3）过

（2）中的点E的直线y=

x+b与

（1）中的抛物线相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为M′、N′，点P为线段MN上一点，点P的横坐标为t，过点P作平行于y轴的直线交

（1）中所求抛物线于点Q．是否存在t值，使S梯形MM'N'N：

S△QMN=35：

12？

若存在，求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由．

22．（2008•莆田）如图，抛物线c1：

y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P为线段BC上一点，过点P作直线l⊥x轴于点F，交抛物线c1点E．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）当点P在线段BC上运动时，求线段PE长的最大值；

（3）当PE为最大值时，把抛物线c1向右平移得到抛物线c2，抛物线c2与线段BE交于点M，若直线CM把△BCE的面积分为1：

2两部分，则抛物线c1应向右平移几个单位长度可得到抛物线c2？

23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3）．

（1）求抛物线及直线AC的解析式；

（2）E、F是线段AC上的两点，且∠AEO=∠ABC，过点F作与y轴平行的直线交抛物线于点M，交x轴于点N．当MF=DE时，在x轴上是否存在点P，使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是位于抛物线对称轴左侧图象上的一点，试比较锐角∠QCO与∠BCO的大小（直接写出结果，不要求写出求解过程，但要写出此时点Q的横坐标x的取值范围）．

24．（2011•沈阳）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求直线BC的函数表达式；

（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．

①当线段PQ=

AB时，求tan∠CED的值；

②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

温馨提示：

考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．

25．已知，如图，抛物线y=

x2+bx+3与x轴的正半轴交于A、B两点（A在B的左侧），且与y轴交于点C，O为坐标原点，OB=4．

（1）直接写出点B，C的坐标及b的值；

（2）过射线CB上一点N，作MN∥OC分别交抛物线、x轴于M、T两点，设点N的横坐标为t．

①当0＜t＜4时，求线段MN的最大值；

②以点N为圆心，NM为半径作⊙N，当点B恰好在⊙N上时，求此时点M的坐标．

26．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点的横坐标分别是﹣1，3（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点M在直线y=3x﹣7上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段BM上运动（点P不与点B、M重合），设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

（3）在线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？

若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

27．如图，抛物线y=x2﹣4x﹣1顶点为D，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．

（1）求这条抛物线的顶点D的坐标；

（2）经过点（0，4）且与x轴平行的直线与抛物线y=x2﹣4x﹣1相交于M、N两点（M在N的左侧），以MN为直径作⊙P，过点D作⊙P的切线，切点为E，求点DE的长；

（3）上下平移

（2）中的直线MN，以MN为直径的⊙P能否与x轴相切？

如果能够，求出⊙P的半径；如果不能，请说明理由．

28．（2011•攀枝花）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且与x轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标为（﹣1，0）．

（1）求二次函数的关系式；

（2）在抛物线上有一点A，其横坐标为﹣2，直线l过点A并绕着点A旋转，与抛物线的另一个交点是点B，点B的横坐标满足﹣2＜xB＜

，当△AOB的面积最大时，求出此时直线l的关系式；

（3）抛物线上是否存在点C使△AOC的面积与

（2）中△AOB的最大面积相等？

若存在，求出点C的横坐标；若不存在说明理由．

29．如图1，抛物线C1：

y=﹣x2+4x﹣2与x轴交于A、B，直线l：

y=﹣

x+b分别交x轴、y轴于S点和C点，抛物线C1的顶点E在直线l上．

（1）求直线l的解析式；

（2）如图2，将抛物线C1沿射线ES的方向平移得到抛物线C2，抛物线C2的顶点F在直线l上，并交x轴于M、N两点，且tan∠EAB=

•tan∠FNM，求抛物线C1平移的距离；

（3）将抛物线C2沿水平方向平移得到抛物线C3，抛物线C3与x轴交于P、G两点（点P在点G的左侧），使得△PEF为直角三角形，求抛物线C3的解析式．

30．（2009•湘西州）在直角坐标系xoy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，其中A在B的左侧，B的坐标是（3，0）．将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过点B、C．

（1）求k的值；

（2）求直线BC和抛物线的解析式；

（3）求△ABC的面积；

（4）设抛物线顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．