二次函数重点难点总结.docx
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二次函数重点难点总结
初中二次函数知识点总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：
一般地，形如yax
2
，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。
这
bxc（a，b
里需要强调：
和一元二次方程类似，二次项系数a
0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实
数．
2.二次函数yax2bxc的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式：
yax2的性质：
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a
0
向上
0，0
y轴
x
0
时，y随x的增大而增大；x0
时，y随
x的增大而减小；x0时，y有最小值0．
a
0
向下
0，0
y轴
x
0
时，y随x的增大而减小；x0
时，y随
x的增大而增大；x0时，y有最大值0．
2.
y
2
c的性质：
ax
上加下减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a
0
向上
0，c
y轴
x
0
时，y随x的增大而增大；x0
时，y随
x的增大而减小；x0时，y有最小值c．
a
0
向下
0，c
y轴
x
0
时，y随x的增大而减小；x0
时，y随
x的增大而增大；x0时，y有最大值c．
3.
y
ax
2
的性质：
h
左加右减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a
0
向上
h，0
X=h
x
h时，y随x的增大而增大；
xh时，y随
x的增大而减小；xh时，y有最小值
0．
a
0
向下
h，0
X=h
x
h时，y随x的增大而减小；
xh时，y随
x的增大而增大；xh时，y有最大值
0．
4.yax
2
k的性质：
h
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a
0
向上
h，k
x
h时，y随x的增大而增大；
x
h时，y随
X=h
x的增大而减小；
xh时，y有最小值k．
a
0
h，k
x
h时，y随x的增大而减小；
x
h时，y随
向下
X=h
x的增大而增大；
xh时，y有最大值k．
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
方法一：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxh
2
h，k
k，确定其顶点坐标
；
⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到
h，k
处，具体平移方法如下：
2.平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴y
ax2
bx
c沿y轴平移:
向上（下）平移m个单位，y
ax2
bx
c变成
y
ax2
bxc
m（或yax2
bxc
m）
⑵y
ax2
bx
c沿轴平移：
向左（右）平移
m个单位，y
ax2
bx
c变成
y
a（x
m）2
b（xm）c（或y
a（x
m）2
b（xm）
c）
四、二次函数y
ax
2
k与yax2
bx
c的比较
h
从解析式上看，
y
ax
h
2
ax2
bx
c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前
k与y
b
2
4ac
b2
b，k
4acb2
者，即yax
，其中h
．
2a
4a
2a
4a
2
bxc图象的画法
五、二次函数yax
五点绘图法：
利用配方法将二次函数y
ax2
bx
c化为顶点式ya（x
h）2
k，确定其开口方向、
对称轴及顶点坐标，
然后在对称轴两侧，
左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：
顶点、与y轴
的交点0，c、以及
0，c关于对称轴对称的点
2h，c、与x轴的交点
x1，0，x2
，0（若与x轴
没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：
开口方向，对称轴，顶点，与
x轴的交点，与
y轴的交点.
六、二次函数yax2
bxc的性质
1.当a
0时，抛物线开口向上，对称轴为
x
b
，顶点坐标为
b，4acb2
．
2a
2a4a
当x
b时，y随x的增大而减小；当
x
b
时，y随x的增大而增大；当
x
b时，y有最小
2a
2a
2a
值4ac
2
b．
4a
2.当a0
时，抛物线开口向下，对称轴为x
b，顶点坐标为
b，4acb2
．当x
b时，y随
2a
2a
4a
2a
x的增大而增大；当x
b时，y随x的增大而减小；当x
b
时，y有最大值4acb2
．
2a
2a
4a
七、二次函数解析式的表示方法
1.
一般式：
y
ax2
bxc（a，b，c为常数，a
0）；
2.
顶点式：
y
a（x
h）2
k（a，h，k为常数，a
0）；
3.
两根式：
y
a（x
x1）（x
x2）（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a
二次函数y
ax2
bxc中，a作为二次项系数，显然a0．
⑴当a
0
时，抛物线开口向上，
a的值越大，开口越小，反之
a的值越小，开口越大；
⑵当a
0
时，抛物线开口向下，
a的值越小，开口越小，反之
a的值越大，开口越大．
总结起来，
a决定了抛物线开口的大小和方向，
a的正负决定开口方向，
a的大小决定开口的大小．
2.一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．
⑴在a
0的前提下，
当b
0时，
b
0，即抛物线的对称轴在
y轴左侧；
2a
当b
0时，
b
0
，即抛物线的对称轴就是
y轴；
2a
当b
0时，
b
0
，即抛物线对称轴在
y轴的右侧．
2a
⑵在a
0的前提下，结论刚好与上述相反，即
当b
0时，
b
0
，即抛物线的对称轴在
y轴右侧；
2a
当b
0时，
b
0
，即抛物线的对称轴就是
y轴；
2a
当b0时，
b
0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．
2a
总结起来，在a确定的前提下，
b决定了抛物线对称轴的位置．
ab的符号的判定：
对称轴x
b
0，在y轴的右侧则ab
0，概括的说就是
在y轴左边则ab
2a
“左同右异”
总结：
3.常数项c
⑴当c
0
时，抛物线与
y轴的交点在x轴上方，即抛物线与
y轴交点的纵坐标为正；
⑵当c
0
时，抛物线与
y轴的交点为坐标原点，即抛物线与
y轴交点的纵坐标为0；
⑶当c
0
时，抛物线与
y轴的交点在x轴下方，即抛物线与
y轴交点的纵坐标为负．
总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1.关于x轴对称
y
2
bx关c于x轴对称后，得到的解析式是
y
ax
2
bx
c；
ax
y
ax
2
y
ax
h
2
hk关于x轴对称后，得到的解析式是
k；
2.关于y轴对称
y
2
bx关c于y轴对称后，得到的解析式是
y
ax
2
bx
c；
ax
y
ax
2
y
ax
h
2
hk关于y轴对称后，得到的解析式是
k；
3.关于原点对称
y
2
bx关c于原点对称后，得到的解析式是
y
ax
2
bx
c；
ax
y
ax
2
关k于原点对称后，得到的解析式是
y
a
x
h
2
k；
h
4.关于顶点对称（即：
抛物线绕顶点旋转180°）
2
y
2
bx关c于顶点对称后，得到的解析式是
y
ax
2
bx
c
b；
ax
2a
y
ax
2
k关于顶点对称后，得到的解析式是
y
a
x
h
2
k．
h
5.关于点m，n对称
2
k关于点
2
2nk
yaxh
m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此
a永远不变．求
抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程
ax2
bxc
0
是二次函数yax2
bx
c当函数值y
0
时的特殊情况.
图象与x轴的交点个数：
①当b2
4ac
0时，图象与x轴交于两点Ax1，0，Bx2，0
（x1
x2），其中的x1，x2是一元二次
方程ax
bxc
0a
0
的两根．这两点间的距离
ABx2x1
b
2
4ac.
2
a
②当
③当
1'
2'
0时，图象与x轴只有一个交点；
0时，图象与x轴没有交点.
当a0时，图象落在x轴的上方，无论
当a0时，图象落在x轴的下方，无论
x为任何实数，都有
y
0；
x为任何实数，都有
y
0．
2.抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；
3.二次函数常用解题方法总结：
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号
判断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一
个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bxc（a0）本身就是所含字母x的二次函数；
下面以a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
0
抛物线与
x轴有
二次三项式的值可正、
一元二次方程有两个不相等实根
两个交点
可零、可负
0
抛物线与
x轴只
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
有一个交点
0
抛物线与
x轴无
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
交点
二次函数图像参考：
y=2x2
y=3（x+4）2
y=3x2
y=3（x-2）2
y=x2
y=2x2
y=2（x-4）2
x2
y=
2y=2（x-4）2-3
y=2x2+2
y=2x2
y=2x2-4
x2
y=-
2
y=-x2
y=-2（x+3）
2
y=-2x
2
y=-2（x-3）2
y=-2x2
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