苏教版选修23高中数学32《空间向量的运用》word学案.docx
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苏教版选修23高中数学32《空间向量的运用》word学案
3.2.1直线的方向向量与平面的法向量
一、学习目标
1．理解直线的方向向量和平面的法向量；
2．会用待定系数法求平面的法向量。
教学重点：
直线的方向向量和平面的法向量
教学难点：
求平面的法向量
二、课前自学
平面坐标系中用直线的倾斜角、斜率来刻画直线平行与垂直的位置关系。
如何用向量来描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？
1、直线的方向向量
我们把直线
上的向量
（
）以及与
共线的非零向量叫做直线
的方向向量.
2、平面的法向量
如果表示非零向量
的有向线段所在直线垂直于平面α，则称向量
垂直于平面α，记作
，此时，我们把向量
叫做平面α的法向量。
三、问题探究
例1．在正方体
中，求证：
是平面
的法向量。
变式：
求平面
的一个法向量。
例2．如图所示，在三棱锥
中，
是边长为4的正三角形，SA=SC=4,平面
平面
，
分别是
的中点。
（1）求平面
的一个法向量；
（2）求证：
；
（3）求平面
的一个法向量.
例3．在空间直角坐标系内，设平面
经过点
，平面
的法向量为
，
为平面
内任意一点，求
满足的关系式。
四、反馈小结
课本P101练习1,2,4
1、直线的方向向量与平面法向量的概念；
2、求平面法向量的方法。
3.2.2空间线面关系的判定
（1）
一、学习目标
1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；
2．能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理；
3．能用向量方法判断空间线面垂直关系。
重点、难点：
用向量方法判断空间线面垂直关系
二、课前自学
1、复习回顾：
（1）空间直线与平面平行与垂直的定义及判定；
（2）直线的方向向量与平面的法向量的定义。
2、填空：
设空间两条直线
的方向向量分别为
，两个平面
的法向量分别为
，则有如下结论：
平行
垂直
与
与
与
上表给出了用向量研究空间线线、线面、面面位置关系的方法，要理解掌握。
三、问题探究
例1．证明：
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（三垂线定理）
已知：
如图,OB是平面
的斜线，O为斜足，
，A为垂足，
求证：
例2．证明：
如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
（直线与平面垂直的判定定理）
例3．在直三棱柱
中，
是
得中点。
求证：
四、反馈小结
在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P，使B1D⊥面PAC？
3.2.2空间线面关系的判定
（2）
一、学习目标
1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；
2．能用向量方法判断空间线面平行与垂直关系。
重点、难点：
用向量方法判断空间线面平行与垂直关系
二、课前自学
复习回顾：
用向量研究空间线面关系，设空间两条直线
的方向向量分别为
，两个平面
的法向量分别为
，则由如下结论
平行
垂直
与
与
与
三、问题探究
例1．如图，已知矩形
和矩形
所在平面互相垂直，点
分别在对角线
上，且
求证：
平面
例2．在正方体
中,E,F分别是
中点，求证：
平面ADE
例3．已知正三棱柱
的各棱长都为1，M是底面BC边的中点，N为侧棱
的点。
（1）当
为何值时，
;
（2）在棱
上是否存在点D，使
平面
若存在，求出D的位置，若不存在，说明理由。
例4（选讲）如图，四边形
是边长为1的正方形，
平面
，
平面
，且
，E是BC的中点．
（1）求异面直线
与
所成角的余弦值；
（2）在线段
上是否存在点S，使得
平面
?
若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由。
3.2.3空间的角的计算
（1）
一、学习目标
能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题
重点、难点：
异线角与线面角的计算
二、课前自学
复习回顾：
1、异面直线所成的角、线面角的定义及求解方法
2、空间向量的夹角公式
思考：
（1）如何利用向量探求异面直线所成角？
能否用两条直线的方向向量的夹角来刻画异面直线所成角？
它们的关系如何？
（2）如何利用向量探求线面角？
设平面
的斜线l与平面
所的角为
1，斜线l与平面
的法向量所成角
2，则
1与
2互余或与
2的补角互余。
三、问题探究
例1.在正方体
中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1B1=
A1B1，D1F1=
D1C1，求BE1与DF1所成的角的余弦值
例2.在正方体
中,F是BC的中点，点E在D1C1上,且
D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值
.
例3.在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=
，SB=
（1）求证：
SC⊥BC；
（2）求SC与AB所成角的余弦值
四、反馈小结
如图，在正方体
中，E是
的中点.
（１）求证：
;
（2）求
与
所成的角的余弦值；
（3）求
与平面
所成的角的余弦值。
3.2.3空间的角的计算
（2）
一、学习目标
能用向量方法解决二面角的计算问题
重点、难点：
二面角的计算
二、课前自学
复习回顾：
1、二面角的定义及求解方法
2、用向量来探求线面角的方法
思考：
你能仿照线面角的求解，研究：
如何用向量来求解二面角？
一个二面角的平面角
1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角
2相等或互补。
注：
利用向量求二面角的大小的方法：
方法一：
转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：
要特别关注两个向量的方向）
方法二：
求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。
方法三：
转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角或其补角。
三、问题探究
例1．在正方体
中,求二面角
的余弦值。
例2．已知E,F分别是正方体
的棱BC和CD的中点，求：
（1）A1D与EF所成角的大小；
（2）A1F与平面B1EB所成角的余弦值大小；
（3）二面角
的余弦值大小。
例3．在如图所示的坐标系中，正方体
的棱长为2，P、Q分别是
、
上的动点，且
.
（1）确定点P、Q的位置，使得
;
（2）当
时，求二面角
的余弦值大小.
四、反馈小结
1．在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面得距离的2倍，求这个二面角的度数。
2．如图，在正方体
中,O是底面
的中心，M是
的中点。
（1）求证：
是平面
的法向量；
（2）求二面角
的余弦值大小。
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