四边简支压电材料层合板弯曲问题的数值模拟.docx

四边简支压电材料层合板弯曲问题的数值模拟.docx

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四边简支压电材料层合板弯曲问题的数值模拟

1绪论

1.1压电材料层合板

1.1.1压电材料

自19世纪80年代居里兄弟首先在石英晶体上发现压电效应后，压电材料的研究和发展就迅速展开[1]。

压电材料是一类重要的、国际竞争极为激烈的高技术新材料，压电材料从使用性能上可以分为结构材料和功能材料两大类，其中结构材料以其强度、韧性、硬度、弹性等力学特性为应用依据，功能材料以其电、磁、光、声、热等物理性能为基础，用以制作有特殊功能的器件。

压电材料是实现机械能与电能相互转换的功能材料，是一类对机、电、声、光、热敏感的电子材料，广泛应用于工业部门和高科技领域[2]。

本文所研究的压电材料为压电陶瓷PZT-4，PZT是PbZrO3和PbTiO3的固溶体,中文名称为锆钛酸铅，具有钙钛矿型结构。

PbTiO3和PbZrO3是铁电体和反铁电体的典型代表，因为Zr和Ti属于同一副族，PbTiO3和PbZrO3具有相似的空间点阵形式，但两者的宏观特性却有很大的差异，钛酸铅为铁电体，其居里温度为492℃，而锆酸铅却是反铁电体，居里温度为232℃，如此大的差异引起了人们的广泛关注。

人们研究PbTiO3和PbZrO3的固溶体后发现PZT具有比其它铁电体更优良的压电和介电性能，PZT压电材料因具有良好的正压电效应和逆压电效应、高的居里温度、强自发极性和高机电耦合系数而广泛应用在微传感器领域中。

压电薄膜材料制备技术的进展为微传感器提供了新的材料和新的可能性，利用压电材料制成的微传感器较现有的硅基材料微传感器具有无可比拟的优势，是微传感器研究的新领域。

在PZT压电薄膜传感器的研究中，常需要对其主要部件压电薄膜的压电效应进行分析，以了解和改善微传感器的性能。

1.1.2层合板

层合板是由多层单向板按某种次序叠放并粘结在一起而制成整体的结构板。

每一层单向板称为层合板的一个铺层。

各个铺层的材料不一定相同，也可能材料相同但材料主方向不同，因而层合板在厚度方向上具有非均匀性。

层合板的性能与各铺层的材料性能有关，还与各铺层的材料主方向及铺层的叠放次序有关。

因而，可以不改变铺层的材料，通过改变各铺层的材料主方向及叠放顺设计出所需力学性能的层合板。

1.2研究背景及其意义

可以毫不夸张地说，压电材料的应用遍及当今社会日常生活的每个角落，人们几乎每天都有可能涉及到压电材料的应用。

香烟、煤气灶、热水器、汽车发动机[3]等的点火要用到压电点火器；电子手表、声控门、报警器、儿童玩具、电话要用压电谐振器、蜂鸣器；银行、商店、超净厂房和安全保密场所的管理以及侦察、破案等场合，要用到能验证每个人笔迹和声音特征的压电传感器；家用电气产品如电视机要用到压电陶瓷滤波器、压电SAW滤波器、压电变压器，甚至压电风扇；收录机要用压电微音器、压电扬声器；照相机和录像机要用到压电马达等等。

压电器件不仅在工业和民用产品上用途广泛，在军事上也同样获得了大量应用。

雷达、军用通讯和导航设备等方面都需要大量的压电陶瓷滤波器和压电SAW滤波器。

压电材料还可以应用于结构缺陷的识别[4]、柔性结构振动的控制[5，6]以及医学上的免疫检测[7]、人工耳蜗[8]；同样压电复合材料也得到了广泛的应用，压电复合材料层合板，在现代飞机结构等智能结构上的应用越来越广泛。

在复合材料层合板中，采用表面粘贴或埋入具有机电耦合性质的压电材料铺层，形成具有机电耦合效应的复合材料层合板，利用这种机电耦合性质，可以通过压电传感器和驱动器来测量和控制复合材料层合板的变形。

而由于压电材料固有的脆性，其在工艺制造和设计使用过程中会产生各种缺陷，可能会造成应力或电载荷的集中现象，从而会对压电元件的使用和寿命造成影响。

实际使用的压电元件大多数是薄长片或薄圆片形。

这两者均可看成为一种板结构。

而板结构在工程实际中应用广泛，对其理论分析和研究，有助于进一步指导工程实际应用。

所以，对压电层合板的弯曲问题进行分析研究，不仅具有理论上的意义，还具有实际的生产指导意义。

考虑复合材料、压电材料及其集成结构的一系列力学、电学、机电耦合等性能，研究压电材料层合板的力学问题，对压电材料在变形控制方面的应用有重要的意义[9]。

1.3国内外研究现状

1.3.1普通材料板的弯曲问题

在普通材料的弯曲方面，前人做了很多工作：

Zakharov和Becker[10]研究了椭圆形各向异性层合薄板受拉弯耦合作用时，其内应力与内应变的状态。

Chen和Shen[11]把Lekhnitskii的复势函数法扩展到解决非对称层合板弯曲的问题上，得到了相应的应力、应变和变形的解析表达式。

1.3.2压电材料弯曲问题的研究

在压电材料方面，也有很多科学家对此进行了大量的研究：

Heyliger和Brooks[12]研究了压电层合板圆柱弯曲的二维问题。

Lu等人用Stroh[13]公式研究了简支功能梯度压电层合板圆柱弯曲问题。

杨丽敏和柳春图[14]基于Reissner板理论将有限元法和解析法相结合，研究了无限大含圆孔压电板弯曲的力电集中问题，给出了压电效应对正应力和剪应力的影响。

在磁电弹材料的弯曲方面：

Pan和Heyliger[15]利用Stroh公式和传播矩阵的方法研究了简支磁电弹层合板受圆柱弯曲的通解，并给出了二层压电/磁电弹层合板和四层压电/磁电弹层合板的数值解。

1.4本文研究内容

熟悉ANSYS软件的应用，了解ANSYS软件中SOLID5单元，四边简支压电材料层合板弯曲问题的数值模拟,用SOLID5单元数值模拟在均布载荷作用下的弯曲问题,讨论位移及应力随相关参数的变化。

Solid5介绍:

具有三维磁场，热场，电场，压电场和结构场分析能力，并能在各场之间实现有限的耦合。

本单元有8个节点，每个节点最多有6个自由度。

用有限元软件ANSYS对压电材料板的弯曲问题进行了数值研究。

首先对ANSYS软件及其分析过程进行介绍；然后对压电层合板的弯曲进行数值模拟；得出应力。

1.5本章小结

本章首先介绍了压电材料、层合板，然后简要介绍了利用压电材料这种智能材料做成的自适应结构在各个工程领域中的一些实际应用，其次讨论了众多学者在此方面所做的工作和研究现状，最后介绍了本文主要研究的内容。

2基本方程

2.1引言

板的弯曲性质在很大程度上和板的厚度有关。

根据板的厚度，可以将板划分成薄板和中厚板两大类。

本章首先介绍了弹性薄板弯曲的基本假设和薄板在均布载荷作用下弯曲问题的基本方程。

其次，压电材料由于其独特的力电耦合效应而在实际应用领域中占有重要地位，本章对压电材料的压电效应和基本方程做了简单的介绍。

2.2薄板弯曲理论简介

2.2.1弹性薄板基本假设

由两个平行表面和垂直于表面的柱面所限制的物体，当表面间的距离远小于表面本身的尺寸时，称为薄板。

两个平行表面之间的距离称为板的厚度，用h表示；与两表面等距离的平面称为中面。

若中面的特征尺寸为l，则当h/l<<1时称为薄板，否则称为厚板。

对于一般的计算精度要求，只要h/l不超过大约1/5时，即可以按薄板计算[16]。

2.2.2薄板在均布载荷作用下弯曲问题的基本方程

四边简支的矩形薄板,如图2.1,当无支座沉陷时,其边界条件为

图2.1四边简支矩形薄板

纳维把挠度

的表达式取为如下三角函数：

（2-1）

其中的m和n都是任意正整数。

显然，上列的边界条件都能满足。

将式（2-1）代入弹性曲面的微分方程，得到

（2-2）

为了求出系数Amn，需将式（2-2）右边的q展为与左边同样的重三角数，即

（2-3）

现在求出（2-3）式中的系数Cmn。

将式（2-3）的左右两边都乘以

，其中的i为任意正整数，然后对x积分，从0到a，注意

（2-4）

就得到

（2-5）

再将此式的左右两边都乘以

，其中的

也是任意的正整数，然后对

积分，从0到

（2-6）

就得到

（2-7）

因为

和

是任意的正整数，可以分别换成

和

，所以上式可以换写为

（2-8）

解出Cmn，代入式（2-7），得到q的展式

（2-9）

与式（2-9）对比，即得

（2-10）

当薄板受均布载荷

时，

为常量

，由式（2-4）得到

（2-11）

或

（2-12）

代入式（2-1），即得挠度的表达式

（2-13）

2.3压电基本理论简介

2.3.1压电效应

所谓压电效应，就是当压电晶体受到外力而发生形变时，在它的某些表面上出现与外力成线性比例的电荷积累的现象。

其中，

石英晶体是一种典型的具有压电效应的晶体材料。

早在1880年

石英晶体就被发现具有压电效应，因此它是最早被发现的压电晶体，同时也是目前应用最好的和最重要的压电晶体之一。

它的最大特点是性能稳定和频率温度系数低，在通信技术中占据重要的地位[17]。

法国的两位科学家—居里兄弟在研究石英晶体的物理性质时，发现了一种特殊的现象：

这就是若按某种方位从石英晶体上切割下一块薄晶片，在其表面贴上电极，当沿着晶片的某些方向施加作用力而使晶片产生形变后，会在两个电极表面上出现等量的正、负电荷。

电荷的面密度与施加的作用力的大小成正比；当作用力撤除后，电荷也就消失了。

这是因为受机械荷载时，在压电材料的内部会产生极化现象，同时在两个相对表面出现正负相反的电荷。

这种由于机械力的作用而使石英晶体表面出现电荷的现象，称为正压电效应。

如图2.2所示。

后来，发现有许多晶体与石英晶体一样也具有这种现象。

图2.2压电材料正压电效应示意图图2.3逆压电效应示意图

发现正压电效应的第二年，由李普曼在理论上预言，由居里兄弟在实验上证实了另一种物理现象：

如果将一块压电晶体置于外电场中，由于电场的作用，会使压电晶体发生形变，而形变的大小与外电场的大小成正比，当电场撤除后，形变也消失了。

这种由于电场的作用而使压电晶体产生形变的现象，称为逆压电效应。

如图2.3所示。

这些具有压电效应的晶体统称为压电晶体[18]。

2.3.2压电材料的基本方程

为了准确地知道压电材料的各种性能参数，需要对其以实验的方法进行测量。

测量时根据压电材料的机械或电边界条件的不同，可分为如下几类[19]：

（1）通常测量压电晶片的频率特性时，晶片的中心被夹住，晶片的边界却处于机械自由状态。

这时晶片边界上的应力为零而应变不为零，这样的边界称为机械自由边界条件。

（2）若测量电路的电阻远小于压电晶片的电阻，则可认为外电路处于短路状态，这时电极面上没有电荷积累，样品内的电场强度为零或为常数。

这样的边界条件称为电学短路边界条件。

（3）如测量时，压电晶片的边界被刚性夹住，这是边界的应变为零，应力不为零，这样的边界条件称为机械夹持边界条件。

压电晶体具有机电耦合的性质。

压电晶体的介电性质所遵从的电学规律是介电关系；而压电晶体的弹性性质所遵从的力学规律是弹性关系；除此之外，压电晶体还具有压电性质。

因此，压电晶体的压电性质所遵从的规律是机电规律，可以用压电方程来描述。

压电方程由边界夹持条件和电路边界条件的不同可以分为四类：

第一类压电方程：

（2-14）

第一类压电方程的特点在于以应力σ和电场E为自变量，应变γ和电位移D为因变量，即认为应变张量γ，电位移张量D的变化是由应力张量σ，电场张量E变化引起的。

式中还包括了短路弹性顺服常量SE，自由介电常数

以及压电常数dij。

其中dij为第一类压电常数，也称压电应变常数。

第二类压电方程：

（2-15）

第二类压电方程的特点在于以应变张量γ和电场强度E为自变量，应力张量σ和电位移D为因变量，即认为应力张量σ，电位移D的变化是由应变张量γ，电场张量E变化引起的。

式中还包括了短路弹性劲度常量cE，是在外电路为短路的条件下测得的弹性劲度常量；

称为机械夹持介电常数，是在机械夹持条件下，测得的介电常数。

其中eij为第二类压电常数，也称压电应力常数。

第三类压电方程：

（2-16）

第三类压电方程的特点在于以应力张量σ和电位移D为自变量，应变张量γ和电场强度E为因变量，即认为应变张量γ和电场强度E的变化是由应力张量σ和电位移D变化引起的。

式中还包括开路弹性顺服常量sD，是在外电路为开路的条件下测得的弹性顺服常量；

称为自由介电隔离率，是在机械自由条件下，测得的介电隔离率。

其中gij为第三类压电常数，也称压电电压常数。

第四类压电方程：

（2-17）

式中，

称为开路弹性劲度常量，是在外电路为开路的条件下，测得的弹性劲度常量；

称为夹持介电隔离率，等于夹持介电常数

的倒数，其中hij称为第四类压电常数，也成为压电劲度常量[20]。

在本文的参数选择中，将采用第二类压电方程，需要用到的参数由第二类方程决定。

2.4层合板的基本理论

所谓层合板，是指由两层或多层单层板粘合在一起作为一个整体的结构元件。

而各单层的材料主方向的布置一般不同，从而使得结构元件能承受几个方向的载荷。

因此，层合板具备有单层板所不具备的性能，其应用也更为宽广。

在本文的研究中，我们假定层合板由理想粘结的许多单层板组成，而且假定单层板非常薄且没有剪切变形，即单层边界两边的位移是连续的，层间不能滑移。

那么，可以把这样的层合板等价于一块具有特殊性能的单层板。

下图为层合板示意图[21]：

图2.4层合板示意图

2.5总结

本章通过对薄板的定义及其基本假设的阐述，介绍了四边简支弹性薄板弯曲的基本理论和公式。

确定了本文计算的依据和理论来源。

随后介绍了压电的基本知识，描述了基本的压电效应、压电基本方程、层合板的基本理论等知识，为下文弹性材料属性和压电材料属性的输入提供了理论引导。

3压电板弯曲问题的有限元模拟

3.1引言

有限元软件ANSYS是目前在工程实际当中应用很广泛的一款软件。

由文献[22]可知，ANSYS软件是一款融结构、热、流体、电磁、声学于一体的大型通用有限元商用分析软件，可广泛应用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、电子、造船、汽车交通、国防军工、土木工程、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电等工业及科学研究。

而更为可贵的是，其中的ANSYS多物理场耦合模块可进行压电分析。

用于分析二维或三维结构对AC、DC或任意随时间变化的电流或机械载荷的响应。

这种分析可用于换热器、振荡器、谐振器、麦克风等部件及其电子设备的结果动态性能分析。

可进行四种类型的分析：

静态分析、模态分析。

谐波响应分析和瞬态响应分析[23]。

基于ANSYS有限元软件在压电分析上的可行性，本文用软件对四边简支压电层合板的弯曲问题进行了模拟分析。

首先，对压电材料单层板进行了数值模拟分析；其次，以3层板为基础与其他层合板进行对比，以讨论位移及应力随相关参数的变化,三层板即上下两层为压电材料PZT-4，中间为弹性材料环氧树脂的3层压电层合板,每层厚为0.006m，板厚为0.018m；然后依次分析了增加层数，增加各层厚度，增加宽度的压电层合板；并依次和三层原有的压电层合板进行了对比分析同时得出结论。

3.2ANSYS压电分析过程

3.2.1ANSYS结构分析过程

1、建立有限元模型

（1）指定工作文件名和工作标题；

文件名和工作标题在用于对多个工程问题进行分析的时候，可以确保不把以前所做的分析覆盖，以及更好地分类整理。

（2）定义单元类型和单元关键字；

（3）定义单元实常数；

实常数指某一单元的补充几何特性，如单元的厚度、梁的横截面积和惯性矩等，指定单元类型之后，应根据单元类型指定相应的实常数。

（4）定义材料属性；在所有的分析中都要输入材料属性，材料属性根据分析问题的物理环境不同而不同。

（5）创建几何模型；

（6）进行有限元网格划分；

有限元模型是将几何模型划分为有限个单元，单元间通过节点相连接，在每个单元和节点上求解物理问题的近似解。

2、加载求解

（1）定义分析类型和分析选项；

ANSYS分析的类型包括：

静态、瞬态、调谐、模态、谱分析、挠度和子结构分析等。

可根据具体问题选择。

（2）加载；

ANSYS的载荷分为6大类：

位移载荷、力和力矩、面载荷、体积载荷、惯性载荷和耦合场载荷，这些载荷大部分可以施加到几何模型上，包括关键点、线和面；也可以施加到有限元模型上，包括单元和节点。

（3）制定载荷步选项；

载荷步选项的功能是对载荷步进行修改和控制，包括对子步数、步长和输出控制等

（4）求解初始化；

其主要功能是在ANSYS软件数据库中获得模型和载荷信息，进行计算求解，并将结果数据写入到结果文件和数据库中。

3、查看求解结果

程序计算完成后，可用通用后处理器POST1和时间历程后处理器POST26查看求解结果。

POST1用于查看整个模型或部分模型在某一时间步的计算结果，POST26用于查看模型定点在所有时间步内的计算结果。

3.2.2ANSYS压电分析

压电分析研究的是电场和结构之间的耦合分析，压电效应是诸如石英和陶瓷等材料的自然属性。

在石英压电陶瓷等一些压电材料上施加一定的电压时,这些材料形状会发生变化,即产生位移的变化;反之,如果在它们表面施加力使之发生形变,其内部会极化产生电压的效应。

压电分析类型可是静态,模态,预应力模态,谐波等等。

在ANSYS中，对于压电材料有专门的单元类型。

如进行压电分析，需要使用一下单元类型的其中一种。

表3.1压电分析单元类型

压电分析单元类型

PLANE13

KEYOPT

（1）=7

耦合场四边形实体单元

SOLID5

KEYOPT

（1）=0或3

耦合场六面体单元

SOLID98

KEYOPT

（1）=0或3

耦合场四面体单元

PLANE223

KEYOPT

（1）=1001

耦合场8节点四边形单元

SOLID226

KEYOPT

（1）=1001

耦合场20节点六面体单元

SOLID227

KEYOPT

（1）=1001

耦合场10节点四面体单元

压电单元如表3.1所示。

KEYOPT选项激活压电自由度、位移以及电压。

对于SOLID5和SOLID98，KEYOPT

（1）=3仅激活压电选项。

本文研究的是四边简支压电层合板在均布载荷作用下的弯曲问题,我们采用耦合场六面体单元SOLID5。

在ANSYS压电分析中，需要将相应材料的介电系数矩阵、压电矩阵和弹性系数矩阵输入进去。

本文采用压电陶瓷极化方向是沿z轴,此时压电材料在xoy平面内是各向同性的,对于压电材料参数的ANSYS矩阵形式和ANSYS参数输入图如下：

1、介电系数矩阵与介电系数的输入

图3.1介电系数矩阵的输入

2、压电矩阵与压电矩阵的输入

可以用

形式——压电应力矩阵或用

形式——压电应变矩阵定义压电矩阵。

矩阵通常与以刚度矩阵

形式表示各向异性弹性输入有关，而

矩阵和柔度矩阵相关。

图3.2压电应力矩阵的输入

3、弹性系数矩阵与刚度系数矩阵的输入

该矩阵为

对称矩阵（对于2-D模型为

矩阵），它确定刚度系数（

矩阵）或柔度系数（

矩阵）。

图3.3刚度系数矩阵的输入

在下面的分析中，采用了一种压电材料，是压电陶瓷PZT-4。

这种材料在工程应用中比较常见，下面给出这种材料的三个矩阵：

1、PZT-4材料属性

2、弹性基质属性

表3.2环氧树脂材料属性

材料名称

材料密度

杨氏模量

泊松比

环氧树脂

1200

3.89

0.38

3.3单层压电板模拟分析

首先取PZT-4材料单层板进行分析，设板的尺寸为：

长为1m，宽为0.5m，板厚为0.018m。

在板的上表面受均布载荷

作用。

在软件中建立几何模型后，对其进行网格划分。

得到的网格划分图如所示。

在上表面加载完毕后，进入ANSYS的求解器进行求解，类型选为静态分析。

经过计算之后，进入ANSYS的通用后处理器中，得到压电单层板网格变形图和压电板弯曲作用的总应力云图,以及在y向坐标为1/2时应力与z向位移随x坐标变化的曲线。

图3.5网格划分示意图

图3.5变形网格示意图

图3.6单层板总应力示意图

图3.7z向挠度随长度变化的曲线

图3.8宽度中轴总应力随长度变化曲线

3.4三层矩形压电层合板的数值模拟

取PZT-4材料和环氧树脂组成的层合板进行分析，其结构如图3.4所示,设板的尺寸为：

长为1m，宽为0.5m，每层板厚0.006m。

在板的上表面受均布载荷

作用。

在软件中建立几何模型后，对其进行网格划分。

在上表面加载完毕后，进入ANSYS的求解器进行求解，类型选为静态分析。

经过计算之后，进入ANSYS的通用后处理器中，得到压电层合板网格变形图和压电板弯曲作用的总应力云图以及在y向坐标为1/2时应力与z向位移随x坐标变化的曲线。

图3.9层合板结构示意图

图3.10层合板变形示意图

图3.11层合板总应力示意图

图3.7z向挠度随长度变化的曲线

图3.13三层矩形总应力随长度变化曲线

3.5五层矩形压电层合板的数值模拟

取PZT-4材料和环氧树脂组成的层合板进行分析，其结构如图所示,设板的尺寸为：

长为1m，宽为0.5m，每层板厚0.0036m。

在板的上表面受均布载荷

作用。

在软件中建立几何模型后，对其进行网格划分。

在上表面加载完毕后，进入ANSYS的求解器进行求解，类型选为静态分析。

经过计算之后，进入ANSYS的通用后处理器中，得到压电层合板网格变形图和压电板弯曲作用的总应力云图以及在y向坐标为1/2时应力与z向位移随x坐标变化的曲线。

图3.14层合板结构示意图

图3.15层合板变形示意图

图3.16层合板总应力示意图

图3.17五层矩形z向挠度随长度变化的曲线

图3.18五层矩形总应力随长度变化曲线

3.6三层正方形压电层合板的数值模拟

取PZT-4材料和环氧树脂组成的层合板进行分析，设板的尺寸为：

长为1m，宽为1m，每层板厚0.006m。

在板的上表面受均布载荷

作用。

在软件中建立几何模型后，对其进行网格划分。

在上表面加载完毕后，进入ANSYS的求解器进行求解，类型选为静态分析。

经过计算之后，进入ANSYS的通用后处理器中，得到压电层合板网格变形图和压电板弯曲作用的总应力云图以及在y向坐标为1/2时应力与z向位移随x坐标变化的曲线。

图3.19层合板变形示意图

图3.20层合板总应力示意图

图3.21三层正方形z向挠度随长度变化曲线

图3.21三层正方形总应力随长度变化曲线

3.7三层增加厚度压电层合板的数值模拟

取PZT-4材料和环氧树脂组成的层合板进行分析，设板的尺寸为：

长为1m，宽为0.5m，每层板厚0.008m。

在板的上表面受均布载荷

作用。

在软件中建立几何模型后，对其进行网格划分。

在上表面加载完毕后，进入ANSYS的求解器进行求解，类型选为静态分析。

经过计算之后，进入ANSYS的通用后处理器中，得到压电层合板网格变形图和压电板弯曲作用的总应力云图以及在y向坐标为1/2时应力与z向位移随x坐标变化的曲线。

图3.22层合板变形示意图

图3.23层合板总应力示意图

图3.