逆向思维在数学论证中的作用及培养1.docx

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逆向思维在数学论证中的作用及培养1

年级：

11级

*******

IC卡号：

018211350055

班主任：

曾华明

指导教师：

***

日期：

2012年2月21日

题目逆向思维在数学论证中的作用及培养

摘要：

数学教学的目的是为了培养我们学生的思维能力，训练大家的逆向思维是培养我们思维灵活性的一个重要方法。

逆向思维是一种不按习惯思维方向进行思考，而其反方向进行思考的思维方式。

因此，在数学学习的过程中有机地、使当地注意从概念、公式、法则、定理及从结论反推，从反面入手解题等方面来培养我们自己的数学逆向思维。

关键词：

逆向思维数学思维思维能力

引言：

数学教学思维的目的是为了培养我们学生思维能力，训练大家的逆向思维是培养我们数学思维灵活性的一个重要方法。

逆向思维是一种不按习惯思维方向进行思考，而从其反方向进行思考的思维方式。

当问题的正面思考处于“山重水复疑无路”的困境时，应考虑问题的反面，从反面着手来解决，往往会使我们面前呈现“柳暗花明又一村”的醉人情景。

逆向思维是指根据概念、原理、思维、方法及研究对象的特点，从问题相反或否定的方向思考，以产生新的概念。

在数学学习中，学习和掌握的许多概念、公式、定理、法则，大多是正向思维的结果，是概念、公式的正向应用，否则，我们就会形成一种思维定势，只习惯于正面思考问题，而忽略了概念、公式等的逆向应用，因而缺少了应变能力，不利于思维品质的培养。

所以，在初中数学学习中培养我们大家的逆向思维能力可以从以下几个方面进行：

一：

在基础知识教学中培养逆向思维

基础知识是学习的根本，在教材中有很多基础知识能体现我们学生对逆向思维的培养。

概念的可逆性、可逆定理、可逆公式及可逆法则等，都是我们在基础知识学习中进行逆向思维训练的很好素材。

1、在概念的学习中融入逆向思维的学习

概念是反映客观事物本质属性的思维方式。

定义则是确定的语言或等号把概念的本质属性表达出来，它是揭示概念内涵的逻辑方式。

一般来说，定义中的条件被定义概念来说都是充分必要条件，所以我们要强调定义的运用。

概念、定义在数学学习中占有很重要的位置，我们在研究运用它时考虑它的逆向情形，不仅可解决问题，而且还可逐步使我们养成逆向思维的习惯。

如学习“绝对值”概念时，不但可以问自己：

“6的绝对值是什么？

”还可以问自己：

“什么数的绝对值是6？

”这样从正、逆两个方向提出问题，可以帮助我们自己深刻地理解绝对值的概念。

特别是在平面几何入门阶段，逆向思维训练尤为重要，能为以后的推理论证打下良好的基础。

又如，在学习“余角”和“补角”概念时，应要求我们自己从两个方面去理解：

如果∠1+∠2=180°，那么∠1和∠2互为补角；如果∠1和∠2互为补角，那么∠1+∠2=180°。

如此，才能让我们自己把握“互为补角”的实质：

（1）如果∠1和∠2互为补角，表示∠1是∠2的补角，同时∠2也是∠1的补角；

（2）互为补角的定义规定的是“两个角”，而不是一个角或者两个角以上的角。

因此，诸如“∠1是补角”、“若∠1+∠2+∠3=180°，则∠1、∠2、∠3互为补角”等说法都是错误的：

（3）“互为补角”是两个角之间的数量关系，它与两个角的位置无关。

2、在运算公式逆向运用中体会逆向思维

数学中的公式总是双向的，而很多人只会从左到右运用公式，对于从右到左的逆用，特别是利用变形公式就更不习惯。

其实在应用数学公式时，充分发挥逆向思维能够灵活地逆用公式，解题时就能得心应手，左右逢源。

因此，我们在进行公式学习时，要注意公式是可以逆用的，并要进行适当的训练。

例：

计算1/1×2+1/2×3+1/3×4+1/4×5+…+1/2007×2008+1/2008×2009

解：

原式

=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+…+1/2007-1/2008+1/2008-1/2009

=1-1/2009

=2008/2009

3、在运算法则的逆向应用中体会逆向思维

数学的运算大都有一个与它相反的运算作为逆运算。

如加法和减法、乘法和反映某种变化中的数量关系。

在同一级运算中，一种运算的逆运算都是从它的正运算引出的。

例如利用逆向运算，反过来考虑乘法法则就易得出除法法则，进而利用相反数的概念可转化成x加法，那么除法是否能转化为乘法呢？

这就要考虑倒数的概念。

例：

计算（x+y）²（x-y）

²

分析：

先逆向应用运算法则：

（ab）ͫ=aͫbͫ计算，先乘方，再相乘要简便得多。

解：

原式=[（x+y）（x-y）]²

=（x²-y²）²

=x＾4-2x²y²+y＾4

4、在定理的学习中体会逆向思维

数学定理并非都是可逆的，在学习中除了要探究教材中给出的某些定理的逆定理，如勾股定理及其逆定理，同时也要探索教材中没有给出但却存在的某些定理的逆定理，这样不仅巩固、完备所学知识，激我们探究新知识的兴趣，更能使我们的思维多样化，提高思维能力。

如在学习定理“等高腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合”——“三线合一”后，我们可一起探讨下列命题是否为真：

有一角平分线对边的三角形是等腰三角形；有一角平分线垂直于对边的三角形是等腰三角形；有一边上的中线垂直于这边的三角形是等腰三角形等等。

二、在解题学习中培养逆向思维

在解题过程中，一般都是有所给条件直接向结论逼近，但有些问题，特别是几何问题，需要改变思考的角度，经常要从反面去思考，或者从结论要成立所必须具备的条件去考虑，以获取解题的突破和简捷的方法。

1、解题学习中去理解并应用逆推法

逆推思维是非常有用的，有些数学题，直接从已知条件入手来解，会很难得到结论，或者是解题思路不明确。

此时若运用分析法，从命题的结论出发，逐步往回逆推，往往可以找到合理的解题途径。

例1：

已知A、B为直线MN同侧的两点，试在直线MN上求一点C。

使∠

ACM=∠BCM.

分析：

这是一道作图题，解作图题的关键在于分析，而作图问题的分析，多采用逆推法。

由此想到对称的性质。

B

作法：

先作出点A（或B）关于直线MN的A

对称点A'（或B'）再连结BA'（或AB'）与MN的MN交点即为点C。

图略。

例2：

已知：

Rt∆ABC中，∠BAC=90°,AD是BC边上的高，AB=2AC,求证:

5AD=2BC。

分析：

要证5AD=2BC,则需要找到AD、BC间的关系，B

又因为AD²=AD·BC，而且BC=BD+DC，所以需要求出

AD与BD、DC间的倍数关系。

又已知AB=2AC，D

所以可用∆ADC~∆BDA来求AD与BD、DC间的倍数关系。

AC

证明：

略。

像这种证明问题，采用分析法探究思路，也是培养逆向思维的一种方法。

2、解题学习中理解并能从反面着手解题

例如，某市有100名学生参加围棋比赛，采用输一场即被淘汰的单淘汰赛，轮空者为当然胜者，每场比赛都得定出胜负。

请问：

共需要进行多少场比赛，才能选出冠军?

这是一个非常常见的问题，很多学生拿到这一类的题目就直接从正面入手去解题，事实上这个题目如果从正面直接求解，计算繁难，容易出错，但如果改从目标发面入手，就是去计算产生99名被淘汰者的比赛场数：

按比赛规则，每比赛一场就产生一名被淘汰者，100人参赛，选出冠军一人，就相当于要产生99名被淘汰者，所以共需要比赛99场。

3、解题学习中加强反证法的训练

发证法是一种间接证法，是许多数学问题在用直接证法相当困难时，常常被采用的证法。

它是从特征结论的反面出发，推出矛盾，从而否定要证结论的反面，肯定待证的结论。

加强反证法的训练是促进我们逆向思维逐步形成的必要措施。

如：

已知：

如图，直线a,b被直线c所截,∠1≠∠2

求证：

a不∥b

证明：

假设结论不成立，则a∥b

∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）c

这与已知的∠1≠∠2矛盾1a

∴假设不成立

∴a不∥b2b

结论

通过以上详细的介绍和引用典型的例题和定理的证明，并结合我数学学习的一点体会，可以得到以下结论：

（1）逆向思维是有别于一般的思维方式，简言之，就是反过来想，它与正向思维相反。

在解决问题时，“顺推”有时困难，我们可以考虑“逆推”，有时候会想到意想不到的效果。

（2）我们讲的逆向思维方法跟我们平时用的反证法有区别的，反证法是逆向思维的一种方法，在数学学习过程中有机地，使当地注意从概念、公式、法则、定理及从结论反推，逆向思维在我们平时解题时应用相当广泛。

（3）逆向思维在初中数学中的应用是十分广泛的，我们平时解题时，如果用正常的思维不能够解决时，我们可以想到逆向思维方法。

但是，我们必须对原有知识有了相当熟悉的时候，这时候，不仅能够加深理解知识，还能够丰富自己的思路。

（4）我们应当在今后的学习中培养这种思维，我们知道培养逻辑推理能力是非常重要的，而逆向思维的培养是十分重要的，我们所说的逆向思维能力就是由果索因、知本求源，从原问题的相反方向、否定方向或已有思路的相反方向进行思考的一种思维。

经常训练可以提高我们的解题能力。

总之，逆向思维是培养我们学生数学思维的一种非常重要的思维方式，对克服思维定势大有裨益。

因此，在数学学习过程中有机地，使当地注意从概念、公式、法则、定理及从结论反推，从反面入手解题等方面来培养我们学生的数学逆向思维能力，对优化我们的知识结构，开发思维有着巨大的作用。

参考文献：

[1]郑强.初中数学课堂教学的55个细节[M].四川教育出版

社.2006.

[2]季素月.给数学教师的101条建议[M].南京师范大学出版

社.2005.

[3]任樟辉.数学思维论[M].南宁：

广西教育出版社.1996.

[4]赵景伦.数学解题中逆向思维的培养途径[J].数学教学通

讯.2003.8.

致谢

三年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始。

三年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，思绪万千，心情久久不能平静。

在此论文撰写过程中，要特别感谢我的指导老师李芹老师的指导与督促，同时感谢她的谅解与包容。

从课题的选择到论文的最终完成，李老师始终都给予了细心的指导和不懈的支持，并且再耐心指导论文之余，教给我们很多做人以及做事的道理，是我们终身受益无穷。

没有李老师的帮助也就没有今天的这篇论文。

求学历程是艰苦的，但又是快乐的。

感谢大学的所有任课老师，他们不求回报，无私奉献的精神很让我们感动。

感谢我的爸爸妈妈，养育之恩，无以回报，你们永远健康快乐是我最大的心愿。

在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接收的诚挚谢意！

同时也感谢学院为我提供良好的做毕业设计的环境。

最后再一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友和同学，以及在设计中被我引用参考的论著的作者。