四年级奥数教案.docx
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四年级奥数教案
小学生做奥数不失分的四大秘诀
小学生的孩子现在几乎都在学习奥数，为了小升初而准备着。
奥数怎样学才能考取高分呢？
一、注意习惯的养成
我们经常对学生们说，养成好的学习品质，拥有好的学习方法比学习知识本身重要得多，它是学好知识的前提。
学习奥数更是如此。
奥数题对学生们的要求是非常严格的，你既要注意到思维有广度有深度，在做题时还要加倍小心。
有些题往往是一字之差，谬之千里。
习惯的养成不是一朝一夕之功。
要养成好的学习习惯，首先，需要学生对这个问题有个正确的认识，有些同学往往错误地认为。
只要是题目理解了，出点小错没关系。
这样做的结果，往往助长了学生粗心大意之习气。
而在奥数题中，一点小错，往往是致命的。
学生做题出错了，应该找出错误原因并不断积累，是知识方面的，要牢记。
是习惯方面的，要改正。
相信久而久之，好的习惯必能养成。
二、重视题目的每一个环节
有些奥数题步骤很多，很多学生掌握了其中的某些环节，就认为没问题了，而恰恰是某些重要的环节没有去认真考虑，只知其然，不知其所以然。
这势必造成解题时脱节，而有时正是这小小蚁穴，毁了千里之堤。
因此一定要让养成严谨求实的习惯。
三、通过练习逐步形成技能
既要注意已有知识的练习，又要注重利用所学知识去解决实际问题；既要注意基础知识的积累，又要注重知识的深化与提高。
这样的练习后，学生的知识是扎实的；方法是灵活的；思维是敏捷的。
四、及时回顾
知识的遗忘是正常的。
关键是我们怎样去解决这一问题。
养成按时复习所学知识的习惯对所学知识有一个及时的回顾与提高。
但光做了这些题，以后就对所学知识不闻不问，以为万事大吉了，这是错误的。
因为有些题，当过了一段时间，你再拿过来做，可能有些思路已淡忘了。
这就要求大家养成定时复习的好习惯。
一般十几天后，大家就要对原来所学知识有目的的复习一下，这样做，你用时不会太多，但效率是极高的。
学习奥数知识点的掌握是一方面，态度谨慎，集中精神又是另一项得分的关键。
不浮躁、不马虎才能在做奥数题时不失分，得高分。
第01讲，计算问题第03讲
整数与数列
【内容概述】
等差数列的项和运算符号按某种规律排列所得算式的速算与巧算，这里有时要改变运算顺序，有时需通过裂项来实现求和。
按照给定的法则进行定义新运算。
较为复杂的整数四则运算问题。
【典型问题】
2．计算：
1000＋999－998－997＋996＋995－994－993＋…＋108＋107－106－105＋104＋193－102－101．
＝（1000＋999－998－997）＋（996＋995－994－993）＋…＋（108＋107－106－105）＋（104＋193－102－101）
＝4＋4＋…＋4＋4＝［（1000－101）÷1＋1］÷4×4＝900
4．利用公式l×l＋2×2＋…＋n×n＝n×（n＋1）×（2×n＋1）÷6，计算：
15×15＋16×16＋…＋21×21．
＝21×（21＋1）×（2×21＋1）÷6－14×（14＋1）×（2×14＋1）÷6
＝3311－1015＝2296
6．计算：
3333×5555＋6×4444×2222．
＝3×1111×5×1111＋6×1111×4×2×1111＝15×1111×1111＋2×3×1111×1111×4×2
＝1111×1111（15＋48）＝1111×1111×63＝1111×1111×9×7
＝9999×7777＝（1000－1）×7777＝77770000－7777＝77762223
8．两个十位数1111111111与9999999999的乘积中有几个数字是奇数?
解1：
1111111111×9999999999
＝1111111111×（10000000000－1）＝11111111110000000000－1111111111＝11111111
有10个数为奇数。
解2：
1×9 ＝9奇数的个数为1
11×99＝1089奇数的个数为2
111×999＝110889奇数的个数为3
1111×9999＝11108889奇数的个数为4
……
11111111111×999999999＝1111111110888888889奇数的个数为10
显然其奇数的个数为10。
10．求和：
l×2＋2×3＋3×4＋…＋9×10．
解：
通过这个题，学“裂项”。
看：
1×2＝1×2×3÷3；2×3＝2×3×3÷3＝（2×3×4－1×2×3）÷3；
3×4＝3×4×3÷3＝（3×4×5－2×3×4）÷3……
可以发现：
n×（n＋1）×3÷3＝［n×（n＋1）×（n＋2）－（n－1）×n×（n＋1）］÷3
于是原式＝（1×2×3＋2×3×4－1×2×3＋3×4×5－2×3×4＋…＋9×10×11－8×9×10）÷3
＝9×10×11÷3＝330
注意隔位抵消
12．在两个数之间写上一个?
，用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数，例如：
13?
5=3，6?
2=0．试计算：
（2000?
49）?
9．
解：
2000÷49＝40……40；40÷9＝4……4；所以结果是4。
14．对于自然数1，2，3，…，100中的每一个数，把它非零数字相乘，得到100个乘积（例如23，积为2×3=6；如果一个数仅有一个非零数字，那么这个数就算作积，例如与100相应的积为1）．问：
这100个乘积之和为多少?
解：
从1，2，…，9，的乘积的数字和是45；
从11，12，…，19的乘积的数字和是1×45；
从21，22，…，29，的乘积的数字和是2×45，
…，
从91，92，…，99，的数字和是9×45；
而10，20，…，90，的数字和是45，
100的为1，故，其总和为：
（1＋1＋2＋3＋…＋9＋1）×45＋1＝47×45＋1＝2116
【教学内容】
涉及4个或4个以上的对象，已知数量关系，不便直接运用，与其它知识相关联的复杂和差倍问题。
【典型问题】
1.四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人？
解答：
用131+134=265，这是1个甲、丁和2个乙、丙的总和，因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，所以用265-1=264就刚好是3个乙、丙的和，264÷3=88，就是说乙丙的和是88，那么甲丁和是88+1=89，所以四个班的和是88+89=177人.
2.有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？
解答：
大家想想，我如果把4个数全加起来是什么？
实际上是每个数都加了3遍！
大家一定要记住这种思想！
（45+46+49+52）÷3=64就是这四个数的和，题目要求最小的数，我就用64减去52（某三个数和最大的）就是最小的数，等于12.
3.在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。
例如：
在72中间插入数字6，就变成了762。
有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，求出所有这样的两位数。
解答：
对于这个题来说，首先要判断个位是多少，这个数的个位乘以9以后的个位还等于原来的个位，说明个位只能是0或5！
先看0，很快发现不行，因为20×9=180，30×9=270，40×9=360等等，不管是几十乘以9，结果百位总比十位小，所以各位只能是5。
略作计算，不难发现：
15，25，35，45是满足要求的数
4.某班买来单价为0.5元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得15本；如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10本。
那么，将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱?
解答：
对于这种问题，如果给一个学过工程问题的学生来做的话，简直太简单了，但工程问题是六年级的内容，四年级的学生怎么办呢？
我们可以这样考虑：
我就假设班上有2个女生（动动脑筋，为什么不假设成有1个女生？
），那么就一共有30个练习本，进而推出有3个男生，用30÷（2+3）=6，说明每人应该有6个练习本，所以每人要付3元钱.
5.动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒，那么平均分给三群猴子，每只可得多少粒？
解答：
和上个题目一样我想找到1个数，它既是12的倍数，又是15的倍数，还要是20的倍数。
你能找到吗？
可以找到最小的是60，那么我就假设共有60粒花生，那么可以算出来第一群猴子有5个，第二群猴子有4个，第三群猴子有3个，那就一共有5+4+3=12只猴子，60÷12=5，所以每个猴子是5粒.
6.一个整数，减去它被5除后余数的4倍是154，那么原来整数是多少？
解答：
首先，被除数除以除数，余数肯定小于除数。
所以在这个题里，余数肯定不大于4，这就确定了原来整数只能是：
154+4×0，154+4×1，154+4×2，154+4×3，154+4×4中的一个，检验一下，很快得到结果是154+4×2=162.
7.若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人？
解答：
家长比老师多，所以老师少于22÷2=11人，也就是不超过10人，家长就不少于12人。
在至少12个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于12÷2=6人，也就是不少于7人。
因为女老师比妈妈多2人，所以女老师不少于9人，但老师最多就10个，并且还至少有1个男老师，所以老师必须是10个（9个女老师，1个男老师），家长12个人中，有7个妈妈，那么爸爸就有12-7=5人.
8.一次数学考试共有20道题，规定：
答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分。
考试结束后，小明共得23分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。
请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题？
解答：
20个题，如果全部做对的话，可以得20×2=40分。
如果不答1道题的话就要少2分，如果做错一道的话就要少3分。
小明得了23分，比总分少40-23=17分。
因为没有做的题是偶数，所以我们可以先想想如果有0道题没答的话，17分都是做错了少的，可是17÷3=5…2，不可能！
再考虑如果有2道题没做的情况，2道题没做就少4分，还有17-4=13分是因为做错了少的，13÷3=4…1，也不可能！
考虑4道题没做的话，就少了8分，还有17-8=9分是因为做错了少的，9÷3=3，所以有3道题是做错的.
9.某种商品的价格是：
每一个1分钱，每五个4分钱，每九个7分钱，小赵的钱至多能买50个，小李的钱至多能买500个。
小李的钱比小赵的钱多多少分钱？
解答：
先在脑袋里算一下，是不是九个7分钱最合算啊？
先看小赵：
50÷9=5…5，所以他有5×7+4=39分钱；再看小李：
500÷9=55…5，所以他有55×7+4=389分钱，那么小李就比小赵多389-39=350分钱。
千万不要认为用（500-50）÷9×7=350就可以了，比如我把500换成400，方法就不对了！
10.某幼儿园的小班人数最少，中班有27人，大班比小班多6人。
春节分桔子25箱，每箱不超过60个，不少于50个，桔子总数的个位数字是7。
若每人分19个，则桔子数不够，现在大班每人比中班每人多分一个，中班每人比小班每人多分一个，刚好分完。
问这时大班每人分多少桔子？
小班有多少人？
（本题是本讲中最难的问题！
！
！
）
解答：
首先桔子的个数在1250（=25×50）和1500（=25×60）之间。
下面大家帮我看以下两种分桔子的办法的区别是多少？
（1）大班每人a+1个，中班每人a个，小班每人a-1个；
（2）无论大中小班，每人a个。
在第一种分法中，我让大班的孩子每人都拿出来1个去补给小班的孩子，每人补1个，因为大班人比小班多6人，所以最后就还多6个桔子。
如果我从所有桔子中拿出6个来，就可以使得原题中的第一种分法变为我的第二种分法。
因为桔子的总数个位是7，减去6后的个位是1，这么多桔子可以分给所有的孩子，并且让每人一样多，所以总的人数和每人所分到的桔子数都是奇数！
！
但很明显每人19个是不够的，所以只能是每人17个，15个，13个等等，15个当然不可能了（因为任何数乘以15后，各位不是5就是0），下面我们来看看可不可能是13个或更少：
至少有1250个桔子，1250÷13=96…2，那么至少有96人，那么大班与小班和起来就至少96-27=69人。
可是小班人最少不会超过中班的27人，所以大班小班和起来不应该超过27+（27+6）=60人，这与我刚才的结果是矛盾的！
所以每人不可能是13个或者更少，这就说明了每人应该是17个苹果。
现在总的苹果数个位是7-6=1，每人17个苹果，所以总的人数个位应该是3！
！
再看：
1250÷17=73…9，1500÷17=88…4，这时就可以找到总人数一定是83。
因为如果是73的话，桔子还没有分完。
所以大班小班共有83-27=56人，用和差问题的公式可以很快得到小班人数是：
（56-6）÷2=25人.
11.一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面两个数的和都等于13，小张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数和为18；小李能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数的和为24，那么贴着桌子的这一面的数是多少？
解答：
大家先想想，我如果用18加上24的话，得到是哪几个面的和？
是4个侧面和2个顶面的和！
四个侧面的和应该是：
13+13=26，这时就可以计算出顶面的数是：
（18+24-26）÷2=8，于是底面的数是：
13-8=5.
12.左图是一个道路图。
A处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果先后有60个孩子到过路口B，问：
先后共有多少个孩子到过路口C？
解答：
自己先尝试一下假设A处有1个孩子，2个孩子时有什么问题，发现后来就会出现半个孩子的情况，这是不行的，所以再假设有4个，8个，16个孩子，发现后来还是会出现半个孩子，于是我们就假设A处有32个孩子吧！
（自己动动脑筋：
为什么是1，2，4，8，16，32这些数？
这些数有什么规律吗？
）最后经过计算能发现C处有8个孩子经过，B处有10个孩子经过。
但事实上B处有60个孩子经过，所以原来A处就应该是6个32个孩子！
所以就有8×6=48个孩子经过C点.
13.比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等。
缝制的方法是：
每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。
如果一个足球表面上共有12块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有白色正六边形皮子多少块？
解答：
先算黑皮子共有多少条边：
12×5=60条。
这60条边都是与白皮子缝合在一起的，对于白皮子来说：
每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起，所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的，那么白皮子就应该一共有60×2=120条边，120÷6=20，所以共有20块白皮子.
14.5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？
解答：
大致上可以这样想：
先买161瓶汽水，喝完以后用这161个空瓶还可以换回32瓶（161÷5=32…1）汽水，然后再把这32瓶汽水退掉，这样一算，就发现实际上只需要买161-32=129瓶汽水。
可以检验一下：
先买129瓶，喝完后用其中125个空瓶（还剩4个空瓶）去换25瓶汽水，喝完后用25个空瓶可以换5瓶汽水，再喝完后用5个空瓶去换1瓶汽水，最后用这个空瓶和最开始剩下的4个空瓶去再换一瓶汽水，这样总共喝了：
129+25+5+1+1=161瓶汽水.
15.现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。
如果从每堆苹果中各取出一个，那么在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。
如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍。
问原来三堆苹果数之和的最大值是多少？
解答：
这种题和第十题一样，好做但是不好讲，关键在于如何能让四年级的学生听明白！
从第一个条件开始：
从每堆苹果中各取出一个，在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍，这时假设第二堆是1份苹果，那么第一堆就是3份苹果，差2份苹果。
再看第二个条件：
从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍，因为是从每堆苹果中各取出同样多个，所以第二堆还是比第一堆少2份苹果，所以这个2份应该比34个要少（大家自己考虑一下为什么不能相等？
）所以一份最多就16个，于是在第二个条件时，第二堆还有34-16×2=2个，第三堆还有2÷2=1个，所以回到第一个条件时，第二堆应该是1份16个苹果，第三堆少一个是15个，第一堆是3份共16×3=48个苹果，所以在最开始分别有49，17，16个，总共有49+17+16=82个.
【典型问题】
1.某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，则这个数是多少？
解答：
（6×6+6）÷6-6=1，这个数是1.
2.两个两位数相加，其中一个加数是73，另一个加数不知道，只知道另一个加数的十位数字增加5，个位数字增加1，那么求得的和的后两位数字是72，问另一个加数原来是多少？
解答：
和的后两位数字是72，说明另一个加数变成了99，所以原来的加数是99-51=48.
3.有砖26块，兄弟二人争着去挑。
弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了。
哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半。
弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半。
哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块。
问最初弟弟准备挑多少块？
解答：
先算出最后各挑几块：
（和差问题）哥哥是（26+2）÷2=14，弟弟是26-14=12，然后来还原：
1.哥哥还给弟弟5块：
哥哥是14-5=9，弟弟是12+5=17；2.弟弟把抢走的一半还给哥哥：
抢走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就应该是9+9=18，弟弟是17-9=8；3.哥哥把抢走的一半还给弟弟：
那么弟弟原来就是8+8=16块.
4.甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。
如果他们三人共有81元，那么三人原来的钱分别是多少元？
解答：
三人最后一样多，所以都是81÷3=27元，然后我们开始还原：
1.甲和乙把钱还给丙：
每人增加2倍，就应该是原来的3倍，所以甲和乙都是27÷3=9，丙是81-9-9=63；2.甲和丙把钱还给乙：
甲9÷3=3，丙63÷3=21，乙81-3-21=57；3.最后是乙和丙把钱还给甲：
乙57÷3=19，丙21÷3=7，甲81-19-7=55元.
5.甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着乙从丙处取来一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增加了一倍。
现在三人的糖豆一样多。
如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？
解答：
先假设后来三个人都是4份，还原后得到甲、乙、丙分别是3份，5份，4份，实际上甲原来有51粒，51÷3=17，那么我们可以把1份看成17粒，所以乙最开始有糖豆17×5=85粒.
6.有一筐苹果，把它们三等分后还剩2个苹果；取出其中两份，将它们三等分后还剩两个；然后再取出其中两份，又将这两份三等分后还剩2个。
问：
这筐苹果至少有几个？
解答：
如果最后的1份只有1个的话，我们很快就可以发现前面的11份就是（1×3+2）÷2=2.5个，这是不可能的，所以最后的那一份至少是2个，那么这筐苹果原来至少有：
（2×3+2）÷2×3+2=23个.
7.今年父亲的年龄是儿子的5倍，15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍，问：
现在父子的年龄各是多少岁？
解答：
今年父子的年龄差是儿子的5-1=4倍，15年后父子的年龄差是儿子的2-1=1倍，这说明在过了15年后，儿子的年龄是现在的四倍，根据差倍问题的公式可以计算出儿子今年的年龄是15÷（4-1）=5岁，父亲今年是5×5=25岁.
8.有老师和甲乙丙三个学生，现在老师的年龄刚好是三个学生的年龄和；9年后，老师年龄为甲、乙两个学生的年龄和；又3年后，老师年龄为甲、丙两个学生的年龄和；再3年后，老师年龄为乙、丙两个学生的年龄和。
求现在各人的年龄。
解答：
老师=甲+乙+丙，老师+9=甲+9+乙+9，比较一下这两个条件，很快得到丙的年龄是9岁；同理可以得到乙是9+3=12岁，甲是9+3+3=15岁，老师是9+12+15=36岁.
9.全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。
四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73岁。
问：
现在各人的年龄是多少？
解答：
73-58=15≠4×4，我们知道四个人四年应该增长了4×4=16岁，但实际上只增长了15岁，为什么呢？
是因为在4年前，弟弟还没有出生，那么弟弟今年应该是几岁呢？
我们可以这样想：
父亲、母亲、姐姐三个人4年增长了12岁，15-12=3，3就是弟弟的年龄！
那么很快能得到姐姐是3+2=5岁，父母今年的年龄和是73-3-5=65岁，根据和差问题，就可以得到父亲是（65+3）÷2=34岁，母亲是65-34=31岁.
10.学生问老师多少岁，老师说：
“当我象你这么大时，你刚3岁；当你象我这么大时，我已经39岁了。
”求老师与学生的年龄。
解答：
老师的这句话表示3，学生年龄，老师年龄，39这4个数是一个等差数列，即学生年龄-3=老师年龄－学生年龄=39-老师年龄，我们可以先求出这个差是多少：
（39-3）÷3=12，所以学生年龄是3+12=15岁，老师年龄是15+12=27岁.
11.哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁。
问：
哥哥现在多少岁？
解答：
假设弟弟当年年龄是1份，那么哥哥现在的年龄就是3份，因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在年龄（=哥哥当年年龄），哥哥现在年龄这三个数是等差的，所以弟弟现在年龄（=哥哥当年年龄）就刚好是2份，那么兄弟现在的年龄和是3+2=5份，一份就是30÷5=6，哥哥现在是6×3=18岁.
12.梁老师问陈老师有多少子女，她说：
“现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍。
”问陈老师有多少子女。
解答：
2年前，年龄差是子女年龄和的10-1=9倍；今年，年龄差是子女年龄和的6-1=5倍；6年后，年龄差是子女年龄和的3-1=2倍。
这个时候可以看到这个题中的年龄差不是一定的，否则年龄差是9，5，2倍数，至少是90，这是不合常理的，也就是说子女个数不会是2个。
如果这个题目不用方程的话，我想最好的方法就是先假设陈老师有1个子女，很快就会得到矛盾，最后可以算出陈老师是3个子女。
本题推荐使用方程求解！
13.今年是1996年。
父母的年龄和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。
四年后，父的年龄是弟的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍。
那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时是公元哪
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